книги / Проектирование бесконтактных управляющих логических устройств промышленной автоматики

[103], из всякой полной системы, содержащей пять функций, можно* образовать полную подсистему не более, чем из четырех функций. А если какая-либо функция не обладает ни одним из указанных пятисвойств, то она одна образует полную систему.

Система, состоящая из набора всех элементарных функций, являет­ ся максимальной.

Полная система функций называется минимальной, если удаление из нее хотя бы одной любой функции превращает систему в неполную. Минимальные системы могут быть построены с помощью одной, двух*, трех и четырех функций.

Так, например, функция Шеффера образует полную систему, ибо она не обладает ни одним из отмеченных пяти свойств. Функции инвер­ сии и дизъюнкции (конъюнкции) образуют полную минимальную систему функций, так как инверсия не сохраняет нуля, не сохраняет единицы и не является монотонной, а дизъюнкция (конъюнкция) не является ни самодвойственной, ни линейной. Функции конъюнкции, неэквивалентности и эквивалентности образуют полную минимальную систему, поскольку для каждого из пяти свойств существует в этой системе такая функция, которая его не имеет.

Минимальная полная система из четырех функций обязательно* содержит хотя бы одну функцию, зависящую более чем от двух пере­ менных (кроме конъюнкции, дизъюнкции, нулевой и единичной). В ка­ честве примера такой системы можно привести систему, состоящую из функций:

?. = 0, <р,= 1, <р, — аЬ, ?4= а ф & ф с .

Из табл. 1-9 видно, что минимальные полные системы* элементарных функций могут состоять не более чем из трех функций. Все возможные варианты этих систем приведены в табл. 1-10.

к представлению функций в какой-либо минимальной полной системе, необходимо операции инверсии, конъюнкции и дизъюнкции выразить посредством операций выбранной минимальной системы, а затем и каждую из остальных элементарных функций представить только* с помощью операций минимальной системы, используя свойства этих операций и законы алгебры логики.

Пример 1-2. Представить все элементарные функции в минимальной полной си­ стеме {0,

Сначала, учитывая, что

а-*Ь = а-\-Ь,

получаем:

а = а~* 0;

яЬ = я5 = я -) -Т = я -*~Ь— [а - * ( Ь - * 0)] -*0 ;

а + & = я + & = я -*• 6= (я-»0)-* 6.

Затем находим:

В [39, 72] приведены таблицы, в которых все элементарные функ­ ции представлены в каждой из минимальных полных систем.

Таким образом, существуют различные полные системы функций алгебры логики. Каждая из них может быть принята в качестве исход­ ной для выбора стандартного набора логических элементов, и любая функция алгебры логики может быть выражена через функции при­ нятой системы. Выбор той или иной полной системы функций за исходную зависит от характера рассматриваемой задачи и конкретных условий ее решения.

1-7. НОРМАЛЬНЫЕ И СОВЕРШЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ

Элементарные конъюнкция и дизъюнкция

Элементарной конъюнкцией (дизъюнкцией) называется конъюнк­ ция (дизъюнкция) любого числа различных независимых переменных, входящих в данную конъюнкцию (дизъюнкцию) с инверсией или без нее не более одного раза. Например, выражения

abc, abc, ас, а, Ь, с - 1 ,1

являются элементарными конъюнкциями, а выражения

(a-\-b)c, abbc, ас

не являются элементарными конъюнкциями. Аналогично выражения

a-\ -b-{-c, a -j-c , a-\-b-\-c, а, Ь, <2-{-0, 0

являются элементарными дизъюнкциями, а выражения

аЬ “I- с, а —|—с -j- а, а -j—b -j- а, а —|—b —|—с

не являются элементарными дизъюнкциями.

32

Количество переменных в элементарной конъюнкции (дизъюнкции) называется ее длиной и определяет ее ранг. Например, конъюнкция abc является конъюнкцией 3-го ранга.

Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы

Дизъюнкция любого числа элементарных конъюнкций называется

дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). Например,

a-\-bc~{- obc -}- abc.

Конъюнкция любого числа элементарных дизъюнкций называется

конъюнктивной нормальной формой (КНФ). Например,

а (а + Ь) (Ь-ф-с) {a -j- b -|- с).

Для каждой функции может существовать несколько дизъюнктив­ ных и конъюнктивных нормальных форм (являющихся равносильными друг другу). Инверсия любой функции, записанной в дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной форме, может быть записана в конъюнк­ тивной (дизъюнктивной) нормальной форме путем замены знаков « + » на «•» и «•» на « + » и инверсирования каждой переменной. Например, инверсия функции

f — а^ЫА-~аЬс

имеет вид:

J = a { b + c)(a + b + c).

Логическую функцию, заданную любым аналитическим выраже­ нием, можно непосредственно преобразовать к нормальной дизъюнк­ тивной (или конъюнктивной) форме. Для этого необходимо:

выразить все операции через операции конъюнкции, дизъюнкции и инверсищ.

избавиться от инверсии над целыми выражениями, перейдя к фор­ ме, в которой имеются инверсии только отдельных переменных;

раскрыть скобки, применяя закон дистрибутивности; привести конъюнкции (дизъюнкции) к элементарным.

Например, для приведения функции

33

Таким образом,

/ —'а -* (aj~ с) (Ь -» с) + ’я~^"с'== abc + ас.

Для приведения данной функции к конъюнктивной нормальной форме нужно применить несколько раз второй дистрибутивный закон

Тогда

1=аБс~\-ас= (аБс-\-а) (аБс-)-с)=(а-( а) {а-\-Ъс) (с+а) (с+Бс) =

= (а-|-а) (а-f-Ъ) (а+с) (с+«) (Б-И) (с+ с)= а(а+ 5) (а+с) (а+с) (Б+с).

2П дизъюнктивно связанных элементарных конъюнкций п-то ранга, так как количество различных наборов п двоичных переменных равно 2". Например, при п = 2

1 -•= ab -\-ab4-ab-\-ab.

Конституентом единицы для данного числа переменных называется всякая конъюнкция всех переменных, взятых по одной с инверсией или без нее. Например, для трех переменных а, Ь, с конституентами едини­ цы будут конъюнкции abc, abc, аЪс и т. д.

Конституент единицы для некоторого набора строится следующим образом: каждая переменная в него входит без инверсии, если значение этой переменной в данном наборе равно единице, или с инверсией, если значение этой переменной в данном наборе равно нулю. Например, набору 00111 соответствует конституент единицы abode. Отсюда следует: каждый конституент единицы, как функция переменных, равняется еди­ нице только на одном соответствующем ему наборе. На всех остальных наборах данный конституент единицы равен нулю. ‘Действительно, если взять другой набор 00011, то для него значение вышеприведенного конституента единицы abode равно нулю.

Если считать в общем случае нуль функцией п переменных, то его можно разложить на 2П конституентов (составляющих), т. е. на 2П конъюнктивно связанных элементарных дизъюнкций п-то ранга, так как количество различных наборов п двоичных переменных равно 2". Например, при п = 2

0 = (а + Ь) (а + Ь) (а-4 - Ь) ( а + Щ.

Конституентом нуля для данного числа переменных называется всякая дизъюнкция всех переменных, взятых по одной с инверсией или без нее. Например, для трех переменных а, Ъ, с конституентами нуля, будут дизъюнкции a + b + с, a + b + с, а + Б + с и т. д.

Конституент нуля для некоторого набора значений строится следу­ ющим образом: каждая переменная в него входит без инверсии, если значение этой переменной в данном наборе равно нулю, или с инвер­ сией, если значение этой переменной в данном наборе равно единице. Например, набору 00111 соответствует конституент нуля a + b + c + d + e.. Отсюда следует: каждый конституент нуля, как функция п переменных, равняется нулю только на одном соответствующем ему наборе. На всех остальных наборах данный конституент нуля равен единице. Действи­ тельно, для другого набора 00011 значение вышеприведенного консти­ туента нуля а + Ь + с + й + ё равно единице.

34

Совершенные дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы

Существует один вид дизъюнктивной нормальной формы и один вид конъюнктивной нормальной формы, в которых функция может быть записана только единственным образом. Они называются совершенны­ ми нормальными формами. В совершенной дизъюнктивной (конъюнк­ тивной) нормальной форме:

каждая элементарная конъюнкция (дизъюнкция) включает все переменные (с инверсиями или без них);

нет одинаковых конъюнкций (дизъюнкций).

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) данной логической функции называется дизъюнкция конституентов единицы тех наборов значений переменных, где данная функция равна единице.

Выше было показано, что любую функцию можно привести кДНФ (или к КНФ). От любой ДНФ можно перейти к СДНФ функции при помощи равносильных преобразований. Такой переход называется развертывйнием. Для этого необходимо:

ввести недостающие переменные в каждую конъюнкцию умноже­

избавиться от повторяющихся конъюнкций на основании закона идемпотентности ( а + а = а ) .

Для рассматривавшегося несколько выше примера была получена ДНФ в виде

1= аЬс-\ -ас.

Следуя изложенному правилу перехода к СДНФ, получаем:

f = abc -\-ac{b-\- b) = abc -{- abc-\~ abc.

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) данной

логической функции называется конъюнкция конституентов нуля тех наборов, где данная функция равна нулю.

Например, из таблицы истинности (табл. 1-12) для функции f= a b следует ее запись в СКНФ: f = (а + 6 ) (а+ В ) {а+ Ь ).

Переход от КНФ к СКНФ осуществляется по аналогии с переходом от ДНФ к СДНФ. Для этого необходимо:

ввести недостающие переменные в каждую дизъюнкцию, используя закон противоречия а а ~ 0 (а — недостающая переменная);

35

произвести преобразования, применяя второй закон дистрибутивно­ сти а+ Ь с= = (а+ Ь ) (а+ с) и коммутативный закон а + Ь — Ь + а;

избавиться от' повторяющихся дизъюнкций на основании закона идемпотентности аа = а.

Например, развертывание КНФ вида

f = {a + b)(b-\r c)(a+~c)

вСКНФ осуществляется следующим образом:

/= (a -j- b -(- 0) (Ь- f - с -j- 0) (а -{-с -j- 0) = (а + b - j- сс) (й- j- с -j*-аа) (а -(-

-4-Ь-| с) {а-\-Ь-\-с).

Совершенные нормальные формы обладают следующими особен­ ностями:

если при каком-то наборе функция равна единице, то в СДНФ только один из ее членов принимает единичное значение;

если функция для данного набора равна нулю, то в СДНФ ни один из членов не принимает единичного значения;

если для данного набора функция равна нулю, то в СКНФ только один из членов принимает нулевое значение;

если для данного набора функция равна единице, то в СКНФ ни один из членов не принимает нулевого значения.

Отсюда следует: СДНФ имеет столько членов, сколько единиц в таблице истинности; СКНФ имеет столько членов, сколько нулей в таб­ лице истинности.

Следует отметить, что сумма числа членов СДНФ и чи&ла членов СКНФ равна 2”, где п — число переменных даннбй функции. Очевидно, что если функция тождественно-истинная, т. е. в ее таблице истинности стоят только одни единицы, то число членов СДНФ будет равно 2п, а число членов СКНФ будет равно нулю. Если же функция тождествен­ но-ложная, то тогда число членов СДНФ будет равно Нулю, а число членов СКНФ будет равно 2п.

Имея в виду правила получения конституентов СДНФ и СКНФ, можно заметить, что дизъюнкции СКНФ могут быть получены инверси­ рованием конъюнкций, не вошедших в СДНФ, т. е. конъюнкций, на которых функция принимает нулевое значение. Поэтому для того, чтобы получить СКНФ из СДНФ, необходимо:

найти не вошедшие в СДНФ конъюнкции; составить их дизъюнкцию; взять инверсию от этой дизъюнкции.

Например, имея СДНФ вида f=ab-\-ab, для получения СКНФ необходимо: найти не вошедшие в СДНФ конъюнкции аЬ, об;

составить их дизъюнкцию ab-\~ab; взять инверсию этой дизъюнкции

ab + a b = (а + Ь) (а + Ь) = (а + b) (a -j- Ь).

Полученное выражение есть СКНФ исходной функции.

Аналогичным образом можно перейти от СКНФ к СДНФ. Предла­ гаем читателю убедиться в этом самостоятельно.

Совершенные нормальные формы для элементарных логических функций приведены в табл. 1-4.

36

Пример 1-3. Для функции

/={'К«'~<0 + (в I Ь)] ( а ф Ь ) } - с

построить таблицу истинности; найти СДНФ и СКНФ.

Таблица истинности (табл. 1-13) строится и заполняется следующим образом: вы­ писываются все переменные (а, Ь, с) и для них составляются все возможные наборы; для каждого набора последовательно определяются значения всех элементарных опе­ раций, входящих в заданную формулу функции; в итоге для каждого набора опре­ деляется значение функции.

СДНФ составляется для наборов 1—4, 6—8:

/==«Бс-{-aSc-f аЬс-\ abc-\-abc-\-abc+abc.

СКНФ составляется для набора 5:

f=a-\-b-\-c.

Совершенные нормальные формы находят широкое применение при логическом синтезе и анализе релейных устройств.

Так, например, при анализе схем часто требуется установить рав­ носильность двух функций. Основные способы выявления равносиль­ ностей были приведены ныше. Однако они имеют некоторые недостатки. Способ, основанный на сравнении таблиц истинности рассматриваемых функций, наиболее нагляден, но неудобен при большом числе перемен­ ных, так как таблицы становятся громоздкими. Формальный способ приведения одной из рассматриваемых функций к виду другой функции в ряде случаев может оказаться удобным, однако он неалгоритмичен, так как нельзя указать общий порядок применения равносильностей. Поэтому нельзя утверждать, что эти функции неравносильны, если не удается привести их к виду одной из них. Указанных недостатков мож­ но избежать, если для доказательства равносильности функций при­ менить способ, состоящий в сравнении их СДНФ или СКНФ. Функции равносильны, если их СДНФ или СКНФ совпадают, в противном случае функции неравносильны.

Проблема разрешимости, т. е. определение того, не приводится ли некоторая сложная функция f = f ( a , b, . . . , w) к виду f = 1 или / = 0, решается приведением заданной функции к ДНФ или КНФ.

Задача нахождения для некоторой функции всех наборов, при которых эта функция принимает значение 1 (или 0), также решается приведением заданной функции к СДНФ (или СКНФ).

37

1-8. ПРИМЕНЕНИЕ КАРТ КАРНО ДЛЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Понятие о карте Карно

Рассмотрим логическую функцию двух входных переменных f(a, b). Две входные логические переменные а и Ь могут образовать всего

четыре возможных набора (табл. 1-14).

Карно (рис. 1-1). В эту клетку записывается значение функции (0 или 1) для данного набора. Входные переменные располагаются по внеш­ ним сторонам карты напротив ее строк и столбцов. При этом значение каждой из входных переменных относится ко всей строке (или столбцу) и равно 1, если напротив строки (или столбца) стоит под скобкой обоз­ начение этой переменной; для остальных строк (столбцов) значение этой переменной равно 0, Эти значения входных переменных не пишут­ ся на карте, а подразумеваются.

Следует отметить, что каждая из входных переменных делит карту Карно на две равные части, в одной из которых значение этой перемен­

Составление карт Карно по таблицам истинности

В таблицах истинности, с помощью которых задаются логические функции, число строк равно числу всех возможных наборов (напомним, что число строк определяется как 2п, где п — число входных перемен­ ных). Поэтому таблицы истинности для функций больше чем двух переменных становятся громоздкими. Изображение логических функций посредством карт Карно является более компактным, так как каждому набору в ней соответствует клетка, а не строка.

Карта Карно может составляться непосредственно по таблице истинности. Для этого строится карта с числом клеток, равным числу строк таблицы. По внешним сторонам карты определенным образом располагаются входные переменные. Для каждого набора (строки) таблицы отыскивается соответствующий набор (клетка) карты. В эту клетку проставляется значение функции для данного набора.

Например, для функции трех переменных ^==/(а, Ь, с), заданной таблицей истин­ ности (табл. 1-15), карта Карно имеет вид, представленный на рис. 1-2.

Число клеток карты Карно определяется величиной 2”, где я равно числу входных переменных. Отсюда следует, что прибавление каждой

38

новой переменной удваивает число клеток, т. е. увеличивает карту вдвое, При этом, как это будет видно в дальнейшем, новые переменные должны располагаться так, чтобы иметь общую площадь со всеми прежними переменными.

Таблица 1-15

Составление карт Карно по алгебраическим выражениям

Карта Карно для логической функции, заданной алгебраическим выражением, может быть составлена в следующем порядке:

по числу переменных, входящих в выражение заданной функции,

ас {&—j-5)-\-bc (a-j-a) -j-e& (c-f-ё) = a c b + acb+ bca+ bca+ abc+ abc=

=abc-\-alc^abc^abc^abc^abc==abc+abc+abc+abc\

функция имеет значения, равные 1, в клетках карты, соответствующих конституентам СДНФ, т. е. карта Карно для заданной функции имеет вид, представленный на рис. 1-3.

Можно воспользоваться приведением исходного выражения к СКНф. В этом случае в клетки карты, соответствующие конституентам нуля, записывается 0, в остальные 1.

Основное применение карты Карно находят при решении обратной задачи, т. е. при определении алгебраических выражений функций по картам, полученным в результате логического синтеза релейных устройств.

Свойства карты Карно

1. Наборы значений переменных для соседних клеток карты Карно отличаются значением лишь одной переменной. При переходе из одной клетки в соседнюю всегда изменяется значение лишь одной переменной от своего прямого значения к его инверсии и обратно.

39

Рассмотрим карту для четырех переменных рис. 1-4. Значения функции 0 или 1 в клетках карты пока во внимание не принимаются.

Для клеток второго столбца и клеток третьей строки выписаны соответствующие им наборы:

тырех переменных.

Видно, что выражения для соседних клеток отличаются друг от друга значением только одной переменной.

2. Соседними между собой являются также крайние левые клетки карты с крайними правыми и крайние верхние клетки карты с край­ ними нижними (как если бы карты были свернуты в цилиндры по вер­ тикали и по горизонтали).

В этом легко убедиться, сравнивая первые и последние выражения, записанные выше для второго столбца и третьей строки.

3. Рассмотрим карту для пяти переменных (рис. 1-5), не принимая пока во внимание значения функции в клетках карты.

Выпишем наборы значений переменных для клеток второй строки, следуя слева направо.

Укажем на некоторые клетки в такой карте, которые называются соседними. Клетка 1 является соседней с клеткой 2 (отличается значе­ нием переменной е), с клеткой 8 (отличается значением переменной с) и с клеткой 4 (отличается значением переменной d). Клетка 5 является соседней с клеткой 4 (переменная с), 6 (переменная е) и 8 (перемен­ ная d).

Аналогично устанавливается соседство других клеток.

Таким образом, все клетки, отличающиеся значением только одной переменной, являются соседними, несмотря на то, что иногда они рас­ положены не рядом.

40