книги / Проектирование бесконтактных управляющих логических устройств промышленной автоматики

Это свойство карты является очень важным для определения мини­ мальных алгебраических выражений функции.

Определение СДНФ и СКНФ логических функций по картам Карно

СДНФ логической функции, изображенной в виде карты Карно, определяется следующим образом:

для каждой клетки, в которой функция имеет значение 1, записы­ вается конъюнкция всех входных переменных (прямых или инверсных), соответствующих этой клетке;)

составляется дизъюнкция этих конъюнкций, которая и представляет собой СДНФ данной функции.

СКНФ логической функции определяется по карте Карно в следую­

щем порядке:

для каждой клетки, в которой функция имеет значение 0, записы­ вается дизъюнкция инверсий входных переменных, определяющих дан­

Определение по карте Карно алгебраических выражений логических функций

Для некоторой логической функции, представленной посредством карты Карно, можно записать несколько алгебраических выражений различной сложности в дизъюнктивной или конъюнктивной форме.

Приведем правила, которыми следует при этом руководствоваться: 1. Все единицы (при записи функции в дизъюнктивной форме) и все нули (при записи функции в конъюнктивной форме) должны быть

заключены в прямоугольные контуры. Единичные контуры могут объединять несколько единиц, но не должны содержать внутри себя нулей. Нулевые контуры могут объединять несколько нулей, но не должны содержать внутри себя единиц. Одноименные контуры могут накладываться друг на друга, т. е. одна и та же единица (или нуль) может входить в несколько единичных (нулевых) контуров.

2. Площадь любого контура должна быть симметричной относи­ тельно границ переменных, пересекаемых данным контуром. Другими словами, число клеток в контуре должно быть равно 2”, где п—0, 1, 2, 3, 4 ..., т. е. число клеток выражается числами 1, 2, 4, 8, 16, 32 ...

3.Во избежание получения лишних контуров, все клетки которых вошли уже в другие контуры, построение следует начинать с тех единиц или нулей, которые могут войти в один единственный контур.

4.В контуры можно объединять только соседние клетки, содержа­ щие единицы или нули. Соблюдение этого правила особенно необхо­ димо проверять при числе переменных, большем четырех, когда сосед-

41

туру соответствует выражение сЗ. Применяя правило 7, можно записать для задан­

ной логической функции алгебраическое выражение в дизъюнктивной форме:

{—а5с-\-Ьсё-{-аЬ3-\-аЗе-\-Ш.

Переходя к определению выражения функции по нулевым значениям, получаем три обязательных контура (жирные пунктирные линии):

(5-фаЦ-ё), (a-f-b-f-5), (6-f-c+e).

Остальные нули могут быть заключены в два наибольших контура (a—j-c) (с—j—<J), изображенных тонкими пунктирными линиями. Алгебраическое выражение функции в конъюнктивной форме, записанное по нулевым контурам, имеет вид:

(5-)-5-(-ё) (5-f-b-fd) (b+c+ej (a+c) (c+d).

Следует заметить, что на карте можно образовать еще другие единичные или нулевые контуры (один из них показан штрихпунктирной линией), однако они явля­ ются лишними, так как заключенные в них единицы или нули уже вошли в обязатель­ ные контуры, без которых обойтись нельзя.

1-9. М И Н И М И З А Ц И Я Л О Г И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И И

Общие понятия и сведения о минимизации

Одна из задач, которую приходится решать при построении логиче­ ских устройств по заданной (или полученной в процессе синтеза) логи­ ческой функции, состоит в следующем.

Известны (либо заданы):

реализуемая логическая функция (в виде аналитического выраже­ ния, СДНФ, таблицы истинности, карты Карно и др .);

система элементарных логических функций и соответствующий ей стандартный набор типовых логических элементов;

сравнительная сложность реализации каждой из элементарных функций системы, которая характеризуется условным коэффициентом (так называемой «ценой»), связанным с каждым из стандартных ло­ гических элементов;

критерий минимизации (экономичность, быстродействие, минимум элементов какого-либо типа, количество логических операций, входя­ щих в формулу, и др .).

Требуется найти алгебраическое выражение заданной функции и соответствующую ему схему, удовлетворяющую заданному критерию минимизации.

Эту проблему называют проблемой минимизации. Обычно ее реше­ ние связано с проблемой реализации различных схем и устройств с по­ мощью минимального количества выбранных типовых элементов.

Наиболее разработаны и употребительны методы минимизации со­ вершенных нормальных форм функций. Поэтому для минимизации функции с помощью этих методов нужно предварительно переходить К С Д Н Ф (СК Н Ф ).

Целесообразность представления этой функции в той или иной си­ стеме зависит от того, какие элементарные логические функции реали­ зуют отдельные логические элементы, входящие в выбранный набор.

Набор функциональных типов логических элементов выбирается исходя из технических условий проектирования схемы логического устройства. В этот набор могут входить электромеханические реле или бесконтактные логические элементы.

Обычно при минимизации формул в системе И, ИЛИ, НЕ принима­ ется, что, во-первых, функции конъюнкции и дизъюнкции одинаково

43.

сложны при реализации и, во-вторых, инверсия над переменными не влияет на усложнение реализации и может не учитываться. Однако за­ частую на практике следует принимать во внимание отклонения от этих допущений, особенно для бесконтактных логических элементов.

Методы минимизации логических функций, известные в настоящее время, разработаны применительно к задаче получения формул мини­ мальной длины. Критерием минимизации здесь является количество букв, входящих в алгебраическое выражение заданной функции. Фор­ муле: минимальной длины всегда соответствует релейно-контактная схема с минимальным числом контактов. Для схем из бесконтактных логических элементов это соответствие может не выполняться, т. е. ми­ нимальная длина формулы не является достаточным условием получе­ ния схемы минимальной сложности. Например, преобразование форму­ лы логической функции посредством выноса переменных за скобки, уменьшая длину формулы, всегда позволяет построить более простую релейно-контактную схему, для бесконтактной же схемы такое преобра­ зование часто приводит к ее усложнению.

Применение методов минимизации, разработанных для релейно­ контактных схем, при синтезе схем из бесконтактных логических эле­ ментов не позволяет учесть ряд специфических особенностей последних (например, реализацию любой элементарной логической функции одним элементом; наличие нескольких входов и одного выхода элемента; спо­ собность передавать сигналы только в одном направлении; необходи­ мость фазировки сигналов и др.). Поэтому применительно к бескон­ тактным логическим схемам можно говорить не о минимальных, а о ми­ нимизированных в определенной степени схемах.

Для каждой логической функции может быть найдено несколько нормальных форм, отличающихся друг от друга как числом входящих в них букв, так и числом операций. При подсчете количества букв для определения длины формулы учитываются и одинаковые буквы (пере­ менные) .

Нормальная форма (ДНФ или КНФ) некоторой логической функ­ ции, которая содержит наименьшее число букв по сравнению с любыми другими, эквивалентными ей формами, называется минимальной нор­ мальной формой. Процесс упрощения функции с целью получения ми­ нимальной нормальной формы называется минимизацией. Минимальная формула заданной логической функции может быть найдена перебором всех возможных эквивалентных формул. Однако такой алгоритм прак­ тически невыполним даже для функций от небольшого числа перемен­ ных. так как перебору подлежит очень большое число эквивалентных формул. Для упрощения функции целесообразнее применять те или иные методы минимизации. Однако любой из этих методов не гарантирует получения минимальных форм, хотя позволяет получить формы, близ­ кие к минимальным.: Следует заметить также, что одна и та же функ­ ция может иметь несколько минимальных форм.

Различные методы минимизации основаны на тождественных пре­ образованиях нормальных и совершенных нормальных форм посредст­ вом следующих законов алгебры логики: полного склеивания— (1-19), (1-19'); неполного склеивания — ab + aB—a+ctb + ab: (а+&) (а + Ь) = = а ( а + Ь) (а + Б ); обобщенного склеивания— (1-20), (1-20'), элементар­ ного поглощения— (1-17), (1-17'), дистрибутивности— (1-16), (1-16').

Эти преобразования позволяют получать эквивалентные формы с меньшим количеством членов меньшей длины в отличие от исходных

44

и выполняются до тех пор, пока дальнейшее упрощение формулы с их помощью становится невозможным.

Ниже рассмотрены некоторые наиболее употребительные методы минимизации логических функций.

Метод непосредственного упрощения [50, 51J

Вначале отметим, что конституенты, имеющие одинаковое число букв и отличающиеся друг от друга значением лишь одной входящей в них переменной, называются соседними.

Непосредственное упрощение исходной логической функции, задан­ ной в СДНФ, выполняется в следующем порядке.

Для каждой из возможных пар соседних конституентов СДНФ при­ меняется операция полного склеивания. При этом из них исключается по одной переменной. Затем выполняется приведение подобных членов. Этот процесс повторяется до тех пор, пока в полученном выражении не будет больше конъюнкций, отличающихся друг от друга значением одной переменной. Полученная таким образом форма называется со­ кращенной нормальной формой. Конъюнкции, входящие в сокращенную нормальную форму, называются простыми импликантами. Каждой ло­ гической функции соответствует лишь одна сокращенная форма.

Применяя к сокращенной нормальной форме операцию обобщен­ ного склеивания, исключают из нее лишние конъюнкции (импликанты). Полученная в результате последовательного ряда таких преобразова­ ний форма, не допускающая дальнейших склеиваний, называется тупи­ ковой формой логической функции. Тупиковых форм для одной функции может быть несколько.

Полученная тупиковая форма может случайно оказаться мини­ мальной. Минимальной формой является тупиковая форма минималь­ ной длдны. В общем случае для отыскания минимальной формы необ­ ходим перебор тупиковых форм, позволяющий найти одну или несколь­ ко минимальных форм логической функции.

Пример 1-5. Найти минимальную форму функции, заданной СДНФ вида

f=adc~yade-l-adc-\-abc-\-ab5-\-cibc.

Применяя операцию полного склеивания к сочетаниям каждого из конституентов со всеми соседними и приводя подобные члены, получаем сокращенную нормальную форму:

f=a5-|-5.c-|-ac-Pa6+6c-]-fflf-

Применение операции обобщенного склеивания к импликантам можно осущест­ вить в нескольких вариантах. Каждому из них соответствует одна из следующих ту­ пиковых форм:

f 1=ас-УЪс-УЪс-]-ас; fs=ac-}-bc-\-ad;

f з— С—j- flf?—\—U(‘,,

Очевидно, что рассматриваемой функции соответствуют две минимальные нор­ мальные фОрМЫJ 2 Иfs.

Пример 1-6. Минимизировать функцию jf(a, b, с), заданную следующей СДНФ: f—adc-\ аЪс-\-адс-\-аЬс.

Имеем три пары соседних конъюнкций:

аде, аде; аде, abc• аде, аде.

45

Применяя к ним операции полного склеивания, получаем простые импликанты:; аЬ, ас, Ъс. Дизъюнкция их даст сокращенную нормальную форму:

f=ab-\-ac-\-bc.

Применяя к ней операцию обобщенного склеивания, получаем тупиковую форму, являющуюся в данном случае минимальной:

f=aS-f-ac.

Для исходной функции, заданной в виде СКНФ, минимизация ме­ тодом непосредственного упрощения выполняется так:

вначале к членам СКНФ применяют операцию полного склеивания (1-19'). Пользуясь законом дистрибутивности, раскрывают скобки в по­ лученном выражении;

приводят подобные члены и применяют операцию поглощения (1-17'). Полученную таким образом ДНФ минимизируют в указанном выше порядке.

Метод минимизации с помощью карт Карно [11, 51]

Для получения по карте Карно минимального выражения логиче­ ской функции следует руководствоваться единственным правилом (кро­ ме общих правил, изложенных выше, в § 1-8): единицы или нули долж­

Знак тильда в клетках карты может и не проставляться. Пустая клетка соответствует условному значению функции.

Наличие условных значений функции в клетках карты Карно позво­ ляет включать эти клетки в контуры с единицами или нулями (по усмо­ трению проектировщика), что способствует получению минимальных алгебраических выражений для данной логической функции.

Пример 1-7. Минимизировать функцию, представленную в виде карты Карно на

рис. 1-8.

Следуя правилам определения алгебраических выражений по карте Карно (см, § 1-8), руководствуясь правилом минимизации и учитывая наличие условных значе­ ний функции, можно записать следующие выражения для данной логической функции:

по единичным контурам

Z—ac-\-ad-\-cd-\-ce-,

по нулевым контурам

2=(a-fc) (с+5) (fl-j-d-f-e).

46

Нетрудно убедиться, что полученные выражения равносильны.

Выражение, полученное в дизъюнктивной форме, можно еще упростить, вынося за скобки общие сомножители:

Z—a( c-j-S) -\-с (d-\-ё),

или

Z =c(a-\-e)-{-d(a-\-c),i

или

Z—ad-\-c{a-\-d-f-ё).

Формы, в которых встречаются скобки, называются скобочными формами функ­ ции. Минимизация с использованием скобочных форм рассматривается подробнее в [51, 74].

Рассмотренный метод минимизации с помощью карт Карно позво­ ляет весьма наглядно и достаточно просто осуществить минимизацию логической функции 4— 6 переменных, хотя иногда его применяют и для минимизации функций от большего числа переменных. Однако при уве­ личении числа переменных применение карт Карно усложняется, так как появляются затруднения при определении соседних состояний клеток.

Метод Квайна [51, 72, 74]

Теорема Квайна. Если исходя из СДНФ логической функции, про­ извести все возможные операции неполного склеивания, а затем все операции элементарного поглощения, то в результате получится сокра­ щенная ДНФ.

Эта теорема позволяет получить только сокращенную, но не тупи­ ковую и не минимальную формы логической функции. Для получения минимальной формы из сокращенной применяется импликантная ма­ трица Квайна. Построение ее рассмотрим на примере.

Пример 1-8. Минимизировать функцию, заданную в виде следующей СДНФ:

f == пЬс + a b c + abc + а^с ■

Произведем неполное склеивание между следующими парами членов:

abc + аЬ с = Ь с + abc + ab с;

ab с + abc = ас 4 - &Ъ с + abc;

abc -f- abc = ab + abc + abc.

Получтцвыражение:

f = b с + шГ+ ab + abc + ab c 4 . abc + abc.

Применим операцию поглощения:

/ = b с (1 -t- a + a) -+- ас (1 -Ц6) + ab ( l + с) = b c + ac + ab.

Полученное выражение есть сокращенная ДНФ.

Теперь строим импликантную матрицу Квайна, располагая по вертикали простые импликанты из сокращенной ДНф, а по горизонтали — конетитуенты единицы задан­ ной функции (табл. 1-16).

Для каждой импликанты отыскиваются конетитуенты, частью которых она явля­ ется, что отмечается знаком «-)-» в соответствующей клетке матрицы.

Из матрицы непосредственно определяются импликанты для образования тупи­ ковых ДНФ функции.-Среди тупиковых ДНФ определяются минимальные ДНФ. Им­ пликанты, соответствующие столбцам с одним знаком «-+-», обязательно войдут в ту-

47

пиковую или минимальную ДНФ. Поэтому в данном примере сразу можно записать выражение

Рассмотренный метод Квайна позволяет сравнительно легко опре­ делить минимальную форму логической функции небольшого числа пе­ ременных. Однако применение метода Квайна для более сложных функций обнаруживает одно существенное неудобство. Оно связано с необходимостью исчерпывающего попарного сравнения всех членов исходной СДНФ функции. Число таких сравнений растет с увеличением числа членов СДНФ, что влечет возможность ошибки.

Модификацией метода Квайна является метод Мак-Класки [51, 72, 74], основное отличие которого состоит в том, что алгебраическая запись членов СДНФ заменена записью в виде двоичных чисел. Эти числа разбиваются по числу содержащихся в них единиц на непересекающиеся группы, и попарное сравнение членов производится только между соседними группами. При этом число необходимых сравне­ ний существенно уменьшается. Двоичная запись позволяет легко произ­ водить сравнение и уменьшает возможность ошибки.

Дальнейшее усовершенствование методов Квайна и Мак-Класки, позволяющее значительно упростить процедуру минимизации СДНФ, приводится в [72].

Метод Блека [77, 79]

Если минимизируемая функция задана в виде ДНФ, то можно раз­ вернуть ее в СДНФ и применить какой-либо из методов минимизации, соответствующий этой форме. Однако при желании избежать процеду­ ры развертывания можно воспользоваться методом Блека.

Теорема Блека. Если в произвольной ДНФ произвести конечное число операций обобщенного склеивания и элементарного поглощения, то в результате получится сокращенная ДНФ данной логической функции.

Таким образом, применение этого метода предусматривает следую­ щий порядок действий:

в заданной ДНФ выполняют все возможные преобразования в со­ ответствии с законом обобщенного склеивания (1-20). Полученное вы­ ражение вновь и вновь преобразуют таким же образом до тех пор, пока получение новых членов с помощью этого закона станет невозможным; применяя в полученном выражении операцию поглощения, находят

сокращенную нормальную форму.

Пример 1-9. Минимизировать функцию f(a, 6, с), заданную в виде ДНФ:

а-\-Ъс-\-аЬс.

48

Применяя закон обобщенного склеивания для первого и третьего членов a-\-abc=a-\-abc-\ Ьс

и для второго н третьего членов

bc-\~abc—bc-\-abc-\-acc—bc-\ abc-] ас,

получаем:

а+аЬс-}~Ьс-\-Ьс-\-ёЬс-\-ас=а-^аЬс+Ьс+Ьс+ас.

В полученном выражении подобным же образом получим: для первого и второго членов

а-\-ЗЬс=а-\-аЬс-\-Ьс;

для первого и пятого членов

Ct~‘\ йС—О.—j—Й/Г! -С\

для второго и четвертого членов

a6c-j-bc==abc~rSc-j-ac.

При этом видно, что только во втором случае получен новый член с. Следова­ тельно, полученное ранее выражение преобразовано к виду

а^аЬс-\-Ьс-\-Ъс-^ас-\-с,

в котором новых членов больше получить нельзя. Применяя операцию поглощения, находим:

o-j-ebc-f-6c-f-5c-(-ec-j-c=a+c (ab+b + 5+ g-f 1)= a + c .

Полученная сокращенная нормальная форма

а—с

является в то же время и минимальной для данного случая.

Вообще же дальнейшая минимизация сокращенной ДНФ, получаемой методом Блека, проводится другими методами.

Кроме рассмотренных методов минимизации имеется еще целый рйд других методов. Можно указать на некоторые из них.

Метод Нельсона, описанный в [72], применяется для минимизации на основе конъюнктивной нормальной формы. Он, как и метод Блека, довольно-.громоздок, так как раскрытие скобок конъюнктивной формы

иприведение членов требует большого числа операций.

В[51, 74, 102] приводится метод минимизирующих карт, основан­ ный на сравнении рабочих и запрещенных состояний логической функ­ ции, представленной в виде СДНФ. Этот метод при числе переменных более 6— 7 становится весьма трудоемким.

В[40] рассмотрен способ получения упрощенного общего решения, основанный на методе Витсона, использующем цифровой эквивалент логической функции. Получение упрощенного общего решения хотя и не гарантирует определение минимальной формы, однако позволяет находить более простые схемы.

Обзор и классификация основных методов минимизации приведены

в[15].

1-10. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИСКРЕТНЫХ АВТОМАТАХ

Основная модель дискретного автомата

Математической моделью управляющего логического устройства является дискретный автомат.

Управляющее логическое устройство может быть представлено условно, как показано на рис. 1-9, где оно имеет п входных сигналов, которым сопоставлены входные переменные а\, а2, ... , ап, и г выходных сигналов, которым сопоставлены выходные переменные Z\, z2, ..., zr. По­ лагают, что как п, так и г конечны, а каждая входная переменная сц

49

и каждая выходная переменная Zj также принимают только конечное число значений, в частности только двоичные значения 0 или 1 в любой данный момент времени.

Логические устройства, выходные сигналы которых зависят не толь­ ко от входных воздействий в данный момент времени, но и от предыду­ щих входных воздействий, должны быть способны сохранять информа­ цию о предыдущих входных воздействиях.

Для описания этого условия вводится поня­

ствиях. Эта информация хранится в устройстве в виде внутреннего сигнала или конечной совокупности внутренних сигналов. Каждое со­ стояние может быть представлено набором значений внутренних сигна­ лов, отличным от наборов значений внутренних сигналов, представляю­ щих другие состояния. Эти внутренние сигналы обозначаются внутрен­ ними, (промежуточными) переменными ри р2, ..., ps, каждая из которых как каждый внутренний сигнал, может принимать, как полагают, конеч­ ное число значении.

Таким образом, логическое устройство может иметь конечное число состояний.

Набор хт значений всех входных переменных Oi, а2, Л ., ап назы­ вают входом. Совокупность всех попарно различных упорядоченных п- значных наборов образует входной алфавит X, буквами которого явля­

ются СИМВОЛЫ {X i, Х2, , ■., xm, . . Х м } -

Аналогично набор yi значений всех выходных переменных Z\, г2, ...

..., 2Г называется выходом. Множество всех попарно различных упоря­ доченных r-значных наборов определяет выходной алфавит У, буквами которого являются символы {уи уг, ..., уи .,., yL}.

Соответственно набор qk значений всех внутренних переменных pi, р2, ..., ps представляет собой состояние. Множество всех попарно раз­ личных упорядоченных s-значных наборов определяет алфавит состоя­ ний Q, буквами которого являются символы {qi, q% ..., Як, ..., qn).

Из определения входного алфавита, выходного алфавита и алфави­

выходные переменные zi, z2, ..., zr могут быть заменены одной выход­ ной переменной у, алфавит которой У определяется выражением

внутренние переменные ри р2, ..., ps могут быть заменены одной пере­ менной состояния q, алфавит которой Q определяется выражением

50