Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4629 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Физические основы прогнозирования долговечности конструкционных материалов

..pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
19.11.2023
Размер:
29.97 Mб
Скачать
☆

где at и

c-j — главные напряжения;

дгв — длина волны света;

сс— постоянная

фотоупругости

материала;

d — толщина

пластины.

фотоупругости позволяет

получить

форму упругой

Метод

волны в неискаженном виде. На рис. 5.21 приведена осцилло­

грамма

упругого

импульса

от равно­

 

 

 

мерно растущей трещины. Длительность

 

 

 

переднего фронта

импульса

оказалась

 

 

 

равной времени роста трещины, что со­

 

 

 

гласуется

с

результатами

машинного

 

 

 

моделирования.

можно считать, что

 

 

 

Таким

образом,

Рис. 5.21.

Осциллограм­

длительность

переднего фронта

акусти­

ма упругого импульса от

ческого

сигнала

t\ линейно

связана

трещины,

растущей

с по­

с размером

образующейся

трещины.

стоянной

скоростью

[132]

Сделанный вывод

подтверждается дан­

 

 

 

ными, приведенными на рис. 5.22 [221]. Для их получения был использован специально разработанный в ФТИ им. А. Ф. Иоффе

АН СССР

блок обработки

акустических сигналов [250], позво­

ляющий

выделять

первую

продольную

составляющую упругих

 

 

 

 

 

импульсов, оценивать ее длительность

 

 

 

 

 

и

амплитуду

в

реальных

условиях,

 

 

 

 

 

осложненных

тем

обстоятельством,

 

 

 

 

АХ

что при зарождении трещины в нагру­

 

 

 

1

 

женном

образце

генерируется

им­

-f

 

'у

У Г \1

пульс,

который

затем

возбуждает в

 

 

1

системе

образец — датчик целый

ряд

 

 

 

V

 

 

 

I

резонансных

колебаний,

что вызвано

 

 

1

1

!

отражением волн в образце, на гра­

А

 

 

 

1,г

нице образец — датчик,

наложением

____L

5‘

различных мод колебаний и т. д. В ре-

о -4

-2

0

4 lg L,

 

 

форма

регистрируемого

пье-

 

 

 

 

4 lSL»Mзультате

Рис. 5.22. Связь между раз-

зопреобразователем

акустического

мором трешниы г и длитель­

сигнала

существенно отличается

от

ностью Л

переднего фронта

формы, приведенной на рис. 5.20, что

продольной составляющеи

в

ряде

случаев

исключает

возмож­

упругой

волны:

 

ность определения величин t{ м Л.

• —пористей.-

стекло:

V—

сталь: □ —стекловолокно: О —

 

Для устранения указанных ослож­

оргстекло; Д—гранит: > —зем­

нений нагруженный образец и датчик

летрясения [221]

 

 

 

 

 

 

помещают в

согласующую

жидкость

■от поперечных

 

 

(рис. 5.23), что позволяет избавиться

и поверхностных

колебаний

н выделить

про­

дольную составляющую. Отметим, что па рис. 5.22 приве­ дены результаты, полученные в экспериментах с крупно­ масштабными объектами, а также для трещин в земной коре, вызывающих землетрясения. Из рис. 5.22 видно, что не­

смотря

на различия в напряженных состояниях и скоростях

роста

трещин,

приводящие к разбросу, экспериментальные

16 Заказ N t 218

241

точки удовлетворительно

подчиняются

общей

зависимости

в диапазоне

10 порядков, что свидетельствует о единстве физи­

 

 

 

 

 

 

ческих

законов

трещинообра-

 

 

 

 

 

 

зования

на различных

мас­

 

 

 

 

 

 

штабных уровнях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Все сказанное выше о форме

 

 

 

 

 

 

сигнала ЛЭ относится к оди­

 

 

 

 

 

 

ночным

трещинам. Как

изме­

 

 

 

 

 

 

нятся его параметры при раз­

 

 

 

 

 

 

витии

укрупненных

трещин?

 

 

 

 

 

 

Как отмечалось в п. 5.1, воз­

 

 

 

 

 

 

никновение укрупненных

тре­

 

 

 

 

 

 

щин свидетельствует

о

пере­

Рнс. 5.23. Структурная схема измере­

ходе

процесса

на

стадию

ния акустического curna.'ia и согласу­

предразрушения, в связи с чем

ющей жидкости:

 

 

-

их

фиксация играет

важную

1— образец; 2 — сосул

с жидкостью;

роль в

проблеме прогнозиро­

иьезопреобразовнтели:

^ тснзостаиции;

5 — усилители;

в — генератор

импулъесш;

вания разрушения. Для ответа

7 — осциллограф

 

 

 

на поставленный вопрос в ра­

с пористым

стеклом

 

 

 

боте [255]

проводились опыты

(пороситаллом),

явившимся

удобным

модельным

материалом.

В

нем

образование

трещин

соот­

ветствует разрыву перемычек между порами. При разрыве оди-

Рпс. 5.24.

Осциллограмма

Рпс. 5.25. Осциллограмма

сигнала ЛЭ

прн разрыве

сигнала ЛЭ от крупной тре­

одиночной перегородки в по-

щины в пороситалле

риситаллс

 

ночной перемычки по схеме, приведенной на рис. 5.23, регистри­ ровался импульс, форма которого приведена на рис. 5.24. Ам­ плитуда сигнала и его длительность пропорциональны размеру разрыва. При достижении параметром кластеризации значений

К ^ 4

появляются сигналы

(рис. 5.25), форма которых отлича­

ется

от первоначальной и

которые, очевидно, соответствуют

кластеризации трещин. На

рис. 5.26 приведены частотные спек­

тры одиночных и укрупненных разрывов. Видно, что при оди­ ночном разрыве имеется только одна полоса частот. При слож­ ном же разрыве имеются три полосы, две из которых близки к области частот, соответствующих одиночному разрыву. Это

242

.позволяет сделать вывод, что в данном случае образование укрупненной трещины включает в себя как первичный одиноч­ ный разрыв, так и последующий «наведенный» разрыв еще од­ ной перемычки в системе трещин. Возникновение такого двой­ ного разрыва приводит к высвобождению энергии из большего объема, в результате чего в спектре появляется низкочастотная компонента. Таким образом, метод акустоэмиссии позволяет ре-

.рнс. 5.26. Частотные спектры си-

Рис. 5.27. Структурная схема

ком-

гнг;.оп ЛЭ при разрыве одиночной

плскса по изучению АЭ

 

и нескольких перемычек

 

 

гпстрировать не только отдельные акты трещинообразоваиия, по и эволюцию в ансамбле трещин, отражаемую генерацией коллективных сигналов.

Практическое использование метода АЭ в прогностических целях предполагает создание передвижной системы регистра­ ции параметров АЭ-сигналов в автоматизированном режиме

вреальном масштабе времени. Схема установки, разработанной

вФТИ [250], приведена на рис. 5,27 в варианте, предназначен­ ном для испытаний на сжатие. Образец, нагруженный с помо­ щью пресса, помещается между двумя динамометрами, в кото­ рые вмонтированы демпфированные иьезопреобразователи. С их помощью осуществляется линейная локация источника упругих волн. Сигналы с датчика поступают па предварительный усили­ тель (ПУ) и далее на систему ЛОК, которая по разности вре­ мен прихода сигнала позволяет проводить локацию. Основной

анализ АЭ производится по одному из каналов. Электрический сигнал после предварительного усиления поступает па основной усилитель (У) и далее на регистратор однократных импульсов (РОЯ), в котором происходит оцифровывание поступающей ин­ формации. Затем сигнал в цифровом виде поступает на ЭВМ для исследования его амплитудно-частотного спектра.

Для анализа всего массива акустических сигналов использу­ ется другой канал. После основного усилителя импульс в ана­ логовом виде поступает на блок обработки сигналов (БОС), вырабатывающий ряд стандартизированных импульсов, каждый из которых связан с амплитудой и длительностью первого вступления продольной составляющей упругой волны. Затем

16*

243

стандартизированные импульсы следуют в анализатор импуль­ сов (АИ), который кодирует каждый из параметров н время прихода акустического сигнала. Анализатор импульсов может накапливать до 103 сигналов и пересылать их в ЭВМ для хра­ нения либо обработки по различным программам. Существенно, что при регистрации АЭ в конкретном материале необходимо выделить соответствующий частотный диапазон, определяемый характерным размером образующихся трещин. Этот диапазон диктует выбор датчика.

Глава 6

СТАТИСТИКА ТЕПЛОВЫХ РАЗРУШАЮЩИХ ФЛУКТУАЦИИ

6.1. Статистическая кинетика термофлуктуационного преодоления цепочки барьеров

Термофлуктуационная концепция требует учета и выяснения роли в явлениях разрушения статистики тепловых разрушаю­ щих флуктуаций (случайного характера времени их возникнове­ ния). Это обстоятельство впервые было отмечено в работе [302], но систематически не изучалось.

Согласно п. 1.4 статистика — общее свойство термофлуктуационного преодоления потенциального барьера: подсистема под воздействием термостата при абсолютной температуре Т «пере­ брасывается» через барьер U за время t, которое является слу­

чайной величиной с функцией распределения

Р„,,=

1 - е х р ( - //в ),

(6.1)

где 0 — среднее время ожидания перехода,

0 = т оехр {U/kT).

Р(п (t) — вероятность того,

что барьер будет

преодолен к мо­

менту времени t, т. е. за время меньшее, чем t. При этом пред­ полагается, что переход начинается при /= 0 и протекает в ста­ ционарных условиях, в которых U(t) = const. Структура Рм (0 также может быть найдена из следующих простых вероятност­

ных соображений. Вероятность перехода через барьер Poi(t) dt

в

интервале времени t, t+dt равна произведению вероятности

1

— Poi(t) того, что переход к моменту t erne не совершен, и ве­

роятности dtl& перехода за время dt, которая пропорциональна

dt с нормирующим коэффициентом

1/0

(выражение для кото­

рого при этом не определено), т. е. структура

Poi(t) определя­

ется уравнением

—

/ W

e ) ,

P o .i = 0

что и дает выражение (6.1) при Р0] =

0. 6 (0 — const.

Решение уравнения для Р01 в нестационарном случае и при

начале отсчета времени в момент

t'

приводит к обобщению

(6.1) в виде

 

 

 

Ро., (Г, 0 - 1 - е х р [ - { dt"/e (<")j.

245

Заметим, что справедливость выражения (6.1) была дока­ зана экспериментально в работе [274].

Начнем изучение статистики тепловых разрушающих флук­ туаций с рассмотрения цепочки последовательно преодолевае­

мых барьеров. Этот

случай, очевидно, прежде всего относится

к локализованному

трещипообразованию — росту очага разру­

шения, а также, что менее очевидно, но будет далее показано,—

 

 

 

 

 

к

кинетически неодно­

 

 

 

 

 

родному

трещинообра-

 

 

 

 

 

зонатшю.

 

термо-

 

 

 

 

 

 

Представим

 

 

 

 

 

флуктуационное

пре­

 

 

 

 

 

одоление цепочки барь­

 

 

 

 

 

еров как направленное

 

 

 

 

 

движение

изображаю­

 

 

 

 

 

щей точки по

некото­

 

 

 

 

 

рой траектории

(в кон­

 

 

 

 

 

фигурационном

прост­

Рис.

6.1.

Схема энергетического рельефа

ранстве

 

нагруженного

при

термоакгишфованном

развитии

очага

и

разрушаемого тела)

 

 

разрушения:

 

 

с

дискретным

числом

U — энергия подсистемы, содержащей

очаг:

состояний

1— 1

2, ...

/ — помер состояния очага; Ui — энергия ак­

. . а. Пусть начиная с

 

тивации перехода

I- 1~*~1

 

I — а,

процесс

стано­

Переход

/ — 1—^ /, осуществляемый

вится атермическим.

тепловыми

флуктуациями

в случайный момент времени /, опишем функцией распределения

Pi -,. IV',

/) = 1 - exp |^ - J dt"!<-), (/")],

(6.2)

где нестационарная

(в общем случае) плотность

перехода

0~*(/) через разделяющий состояния / — 1 и /

потенциальный

барьер Ui в классической области температур

имеет структуру

 

О/ = т0 exp [Ui (a)/k7'].

 

(6.3)

Для простоты мы пренебрегли в выражении

(6.3)

возможной

зависимостью от / предэкспоиенты и положим далее, что

 

Ui = U — Y/<7.

 

(6.3а)

Это позволяет движению но траектории сопоставить преодо­ ление некоторой совокупности барьеров — энергетического рель­ ефа {17/}. Схема его представлена на рис. 6.1. Рельеф на уча­ стке перехода / — 1 — / представляет собой две ямы с энерги­ ями, понижающимися на величину и (за счет энерговылеления при трещинообразовании), разделенные барьером И*. Уровень ям монотонно понижается с номером /, но изменение высоты барьеров носит, вообще говоря, немонотонный характер, что

246

отражает пространственно-временную неоднородность поля внутренних напряжений (включая эффекты пластической ре­ лаксации). При l = a Ua+i=0.

Мы не будем здесь заниматься выяснением характера тер­ мически активируемых разрывов сплошности (трещин) в твер­ дом теле под нагрузкой и вычислением соответствующего на­ бора \Ui(t)}, а сосредоточимся на построении статистической кинетики преодоления заданного энергетического рельефа {Ui\. Такой подход имеет оттенок феиоменологичностн, но позволяет сосредоточиться на общих закономерностях проявления термофлуктуациониой статистики при разрушении.

Основополагающий постулат (6.2) о характере «кванта» термофлуктуацнонной временной статистики (независимость от индексов, меньших / — 1) позволяет рассматриваемый случай­ ный процесс классифицировать в терминах теории вероятностен как марковскую цепь с дискретным числом состояний и непре­ рывным временем. Марковским называют случайный процесс «без памяти», для которого вероятность будущего события опре­ деляется только знанием настоящего и не зависит от прошлого. Другими словами, состояние процесса в настоящий момент полностью определяет его состояние в будущем. В марковском приближении пренебрегают, в частности, кинетическими эффек­ тами, содержащими память о ближайшем прошлом, например кинетической энергией, набираемой при пробеге между состоя­ ниями, способной облегчить дальнейшие переходы. Марковость позволяет проводить рассмотрение в конфигурационном (коор­ динатном), а не в фазовом (координатно-импульсном) про­ странстве. Подчеркнем, что у пас марковость относится только к кинетике движения по траектории, являющейся конфигураци­ онной, но сама траектория может быть определена с учетом по­ следействий, т. о. с памятью.

Кинетика прохождения участка пути [/', /] описывается двумя разными, но взаимосвязанными (поскольку оба выража­ ются через совокупность времен {0}г. /) характеристиками: ве­ роятностью Q/o. /(Г, /) того, что изображающая точка в фикси­ рованный момент времени наблюдения i находится в состоянии /, и вероятностью /V./(/°, t) того, что изображающая точка до­ стигает фиксированной координаты / к .моменту /'. В обоих слу­

чаях предполагается, что в начальный момент времени

про­

цесс с достоверностью находится в состоянии /', т. е.

 

Q*.. <.(/', l') = Pi', v (Л О = 1.

(6.4)

Функцию Q называют обычно переходной матрицей, а Р — функцией распределения времени первого достижения (процес­ сом состояния / после выхода из /'). С математической точки зрения Qi(l) является функцией распределения случайной ко­ ординаты /, параметрически зависящей от t. Функция Pi{f). наоборот, является распределением случайного времени t, пара­

метрически зависящим от координаты /. (Здесь различие под­ черкнуто обозначениями: заключением аргумента функции рас­ пределения в круглые скобки и вынесением параметра в ниж­ ний индекс.) Это свойство позволяет рассматривать их как ана­ логи, у которых координата I и время t меняются местами. Физический смысл функций Q \\ Р различен. Функция Qt(l) описывает распределение ансамбля изображающих точек по со­ стояниям, а функция P,(t) будучи характеристикой термофлуктуационного разброса времени, затрачиваемого на преодоление цепочки состояний при / = а, является основой для вычисления термофлуктуационной компоненты функции распределения дол­ говечности и представляет для нас наибольший интерес. Пере­ ходная матрица Q широко рассматривается в физической ки­ нетике процессов, моделируемых марковской цепью (см. п. 1.4). Функцией распределения времен первого достижения Р в физи­ ческих приложениях интересуются гораздо реже, н она изучена

впростейших частных случаях (например, в задаче о диффузии

споглощающим экраном) в недостаточной для нас мере.

Воснове вычисления Q лежит уравнение Смолуховского

 

/

 

 

 

Qt°, t-

\t {t » /) = 2

Qt°. t {l Уl )Qt, t : \tl ,

/)•

(6.5)

 

r=r

 

 

 

Выражение

(6.5) является

формулой полной

вероятности,

определяющей вероятность случайной координаты / при пере­

ходе

—►/ в момент времени / + Д/

при выходе из V в момент

времени

Я как произведение вероятностей некоторого перехода

/"

к

некоторому

моменту

t и

завершающего перехода

/ за

оставшееся

время Д/,

просуммированное но всем воз­

можным случайным промежуточным координатам /", причем параметр At произволен.

Уравнение для Я, аналогичное уравнению (6.5) (в указан­ ном выше смысле координаты и времени как фиксированного параметра, и случайного аргумента), имеет вид

t

 

/V. i+д/(Л 0 = \ Pr.,(ta t')p,., ь м ( й ) d t .

(6.6)

В работе [265] формально получена следующая связь между функциями Q и Я:

t

 

QP. I (l\ l) = \ -gp- I Pf. r i f , t')\ Qt., t (/", l) dt'.

(6.7)

Перейдем к решению уравнений для Q и Р. Для нас наи­ больший интерес представляет Я, а рассмотрение Q играет вспомогательную роль. Заметим, что величина Q аналогична рассмотренной в п. 1.4 переходной вероятности Я/. Соотвегст-

248

%v
Рис. 6.2. Общая структура развития кинетиче­ ского марковского элемента
вующую аналогию выявляет и приводимый ниже вывод кинети­ ческого уравнения для Q.
Положим для краткости начальный момент времени
а при рассмотрении Q проанализируем общую ситуацию, когда возможна траектория движения, граф которой представлен на рис. 6.2, из v состояний таких, что из каждого состояния воз­ можен переход в любое v — 1 состояние. Набор плотностей пе­ рехода i' l, V ^ i ^ /, характеризующий траекторию, те-
V

перь

образует матрицу [071 Очевидно, что £

.= 0 . Та­

ким

образом,

1=1

 

диаго­

 

нальные элементы этой

 

матрицы

можно

запи­

 

сать

в

следующем

 

виде:

 

 

 

 

О/') г — — X ©*',* ь ;=i

Вероятность одно­ шагового перехода за интервал времени At

описывается показательным распределением

Q.w (*\ i) — 1

— exp (—Д

0, i Ф ‘;

Q.w (i,

l ) = exp (Д*/0,-

.')•

Выберем произвольный интервал Д/-> 0. Тогда

Qt+\t ~ Q/ -Ь ДtQt-

За время At не может быть совершено более одного пере­ хода, т. е. функция QUAI в первой части уравнения (6.5) совпа­ дает с вероятностью одношагового перехода:

Qt+л/ U з I) » бг, i + At/Qi",!(/),

(6*9)

где

0, 1ф1" 1, 1 = 1

В результате придем к системе уравнений кинетического баланса

Qt(/', /) = 2>)Д(0<2*(/\ О-

(6-Ю)

Левая часть — это изменение за единицу времени

вероятно­

сти нахождения изображающей точки в состоянии / в момент

249

времени t. Это изменение обусловлено всевозможными прихо­ дами в состояние / и уходами из пего. Обозначив

IIQ ( I , ;)H Q ,

! = в 'Л

перепишем систему (6.10) в матричной форме

Q = Qe~ 1

(6.10а)

с начальным условием

 

Q*-„ = Q°.

(6ЛОб)

Вследствие того,

щ Х е Й З

Рис. 6.3. Простейшая схе­ ма развития кинетическо­ го элемента:

О —^ d переход—деформиро­ вание, d—>-f переход —pav рушение

что элементы переходной матрицы суть вероятности, имеет место нормировка по строкам вида

Z Q ( / ' . 0 = 1 -

(6 .1 0 B )

i —I

 

Матричное уравнение (6.10а) произ­ вольной стационарной матрицы в~ в общем виде имеет следующее решение:

Q, = Q ° e x p ( e - 7 ) .

(6 .1 1 )

Смысл матричной экспоненты в выражении (6.11) раскрыва­ ется формулой Сильвестра для функции <р от матрицы А:

Ч(А) = Y, Ч(«/)

П

Л — аг 1

(6. 12)

1=]

 

=I ai ~ ai'

’

где щ — собственные значения матрицы А, являющиеся корнями характеристического уравнения

det (А — а1) = 0.

(6ЛЗ)

Здесь А — единичная матрица.

к отысканию Q

Для иллюстрации развитого общего подхода

найдем переходную матрицу процесса, характеризуемого графом из \* = 3 необратимых последовательных состояний, представлен­ ных на рис. 6.3, рассмотрение которого может быть полезно при выяснении взаимосвязи кинетик деформирования и разрушения

(см. гл. 8). Матрица плотности

перехода,

соответствующая

рис. 6.3 и условию (6.8), имеет вид

 

 

 

0 7 1 ©7'

0

 

(в.i4)

0

0; '

в / '

•

0

0

0

 

 

Ее характеристическое уравнение (6.13)

 

 

- 4 T 5T + ,-)U-+

X) “

0

<6|5)

250

Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности