книги / Физические основы прогнозирования долговечности конструкционных материалов

где i — число его уже разрушенных соседей, и изучалось фор­ мирование кластеров из i = 1, 2 ... расположенных вплотную разрушенных элементов. Кластер размера i был назван г-мером. Было задано уо/кТ =\0. Наблюдалось делокализованное накоп­ ление мономеров, двумеров и т. д., пока, наконец, не формиро­ вался irмер, переходящий в //+ 1-мер быстрее, чем появлялся хотя бы еще один новый ц-мер. В работе [121] величина эюго кластера — очага разрушения системы — была ц= 8. Время дальнейшего его роста через весь образец было уже сравни­ тельно мало. х\налогичные результаты были затем получены в работах [93, 147, 163, 236], где рассматривались уже струк­ турно-неоднородные системы (элементам которых приписаны различные значения параметра у), и варьировался характер корреляций при разрушении элементов (вблизи кластера), за­ даваемый зависимостью концентрации напряжения от его раз­ мера. В частности, принималась зависимость ac/0 = l+ ia. Было установлено, что чем меньше а, тем сильнее выражена стадия делокализованного накопления и больше величина критического ir-мера, вызывающего локализацию. Аналогичным образом дей­ ствует снижение напряжения а, приложенного к системе: с уменьшением напряжения разрушенные элементы располага­ ются все более однородно, тогда как при больших напряже­ ниях процесс быстро локализуется. В работе [93] при имитаци­ онном моделировании на ЭВМ численно подтверждено выраже­ ние (3.3а), описывающее переход от делокализованного накоп­ ления разрушенных элементов к локализованному росту кластера.

Данные обычного (натурного) эксперимента, приведенные в гл. 5, также подтверждают двустадийную модель н позво­ ляют сделать вывод о том, что кинетика увеличения масштаба разрушения при значениях y o jk T ^ l лимитируется формирова­ нием укрупненных трещин, а не их ростом, который протекает сравнительно быстро.

В заключение вернемся еще раз к обсуждению причин дело­ кализованного трещинообразоваипя. Выше было проведено рас­ смотрение с позиций кинетики разрушения. Оно приводит к вы­ водам, качественно согласующимся с натурным и машинным экспериментами. Делокализованное трещниообразование иногда пытаются объяснять со структурных позиций, используя пред­ ставление о неоднородности материала, вследствие которой ря­ дом с разрушившимся «слабым» элементом может оказаться «прочный». Однако при понижении о и повышении Т в кинетике разрушения структурная неоднородность нс проявляется (это будет показано в п. 4.3), тогда как тенденция к делокализован­ ному трещинообразовапию усиливается. Это требует поиска бо­ лее общих причин, приводящих к делокализации и в однород­ ном материале.

Обратимся к наиболее обшему термодинамическому анализу геометрического аспекта трещинообразоваипя в твердых телах

151

иод нагрузкой. Зарождение трещин в нагруженном теле приво­ дит к выделению энергии, что проявляется в экспериментально зарегистрированных эффектах выхода летучих продуктов раз­ рушения, тепловой, электронной и акустической эмиссиях [208]. Эперговыделение является необходимым условием существова­ ния стабильных трещин и понижает величину запасенной в теле упругой энергии, что обусловливает причинность процесса раз­ рушения. Образование трещины размера г в однородной упру­ гой среде под напряжением а приводит к разгрузке над и под трещиной области объемом ~г'л и высвобождению запасенной в ней энергии ~ о ггг!2 Е (Е — упругий модуль среды).

Пусть доля а этой энергии идет на образование берегов трещины и пластическую деформацию неразрушенного мате­

Коэффициент поглощения О < ос <! 1 зависит от а, г, Т. На­ личие энерговыделения требует рассматривать нагруженное разрушаемое тело как неравновесную незамкнутую (для обмена энергией со средой) систему. Как было показано в п. 1.3, при переходе к равновесию свободная энергия F таких систем по­ нижается, т. е. / < 0. В этой связи естественно предположить, что в процессе перехода из всех возможных траекторий релак­ сации [перехода к равновесию) реализуется та, для которой скорость уменьшения свободной энергии максимальна

«Барьерный» характер релаксации (связанное е термофлуктуациопным преодолением энергетического барьера разрушение элементов — зарождение трещин) позволяет изучаемое нерав­ новесное состояние классифицировать как метастабнльное рав­ новесие и описывать его, пользуясь результатами равновесной статистической механики. Мы постулируем, что в течение всего процесса термоактивированного разрушения его элементарным актом является зарождение стабильной трещины размером г, выступающей таким образом в роли геометрического «кванта» разрушения, разрушение тела описывается совокупностью не­ которого генерируемого их множества. Представление о на­ чальных трещинах как о «квантах» разрушения делает удоб­ ным введение элементной модели (не путать с элементами многомасштабнон системы), когда тело разбивается на дис­

152

В рамках элементной модели укрупнение трещин не может быть иным как связанным с разрушением элементов (генера­ цией начальных трещин) и образованием из них кластеров.

Будем рассматривать каждый из элементов как квазиизолированиый, помещенный в термостат (при температуре тела Т)% а их ансамбль считать подчиняющимся распределению Гиббса (1.30)

W со ехр (—Н/кТ)

для вероятности W состояния элемента с энергией Н.

Примем для простоты, что энергетический спектр Н элемента^

рассматривать асимптотику а~+0 в (3.7)]. Наконец, положим, что спектр Н достаточно густой, а число элементов в теле до­ статочно мало. Таким образом, в каждом состоянии оказыва­ ется не более одного элемента. Тогда свободная энергия тела с N неразрушенными элементами

Появление здесь числа N1 возможных перестановок .V эле­ ментов учитывает их одинаковость и статистическую независи­ мость. Из выражения для F(N) следует, что при разрушении одного элемента свободная энергия изменяется на величину

\F = F (N — \) — F( N) = —и — kTXnN = \ Н — Т AS.

В последней форме записи полученный результат становится очевидным; при разрушении одного элемента свободная энер­ гия тела понижается па величину ЛF за счет энерговыделения Л// = —и и возрастания статистической энтропии на величину YS — V In N, вызванных наличием N различных равновероятных

153

способов выбора одного разрушаемого элемента из Л нераз­ рушенных.

Итак, при характерном времени разрушения элемента b/ N искомая величина — Р для ветви релаксации, обусловленном де­ локализованным трещннообразоваписм, равна

Локализованный рост очага разрушения (кластера—концен­ тратора напряжений) характеризуется повышенным (по срав­ нению с делокализованным процессом) значением величины и!6 [согласно (3.2), (3.7) являющейся возрастающей функцией о], но не приводит к изменению энтропии, и в условиях локали­ зации

где индекс «с» указывает на зависимость величины от напряже­ ний Gc возле кластера.

Согласно (3.8) с учетом (3.2) процесс трещинообразовании

Здесь основным является вклад экспоненты, и условие делока­ лизации (3.10) можно приближенно записать в виде

Выражение (3.10а) совпадает с (3.3а), но при его гермоди­ намическом выводе лучше раскрывается физический смысл де­ локализации. Как видно, тенденции к локализации противодей­ ствует статистический энтропийный фактор k in ,V, вызванный случайным характером тепловых разрушающих флуктуаций, приводящим к хаотическому размещению трещин в объеме тела. Термофлуктуационная статистика в условиях, если спра­

разрушения. Напротив, эффект локализации имеет механическое происхождение. При выключении теплового движения (нрн Т= = 0) делокализация невозможна, как это формально следует из выражения (3.10а).

154

в образце I любых разрушенных элементов сеть

С1п( М Щ \

где комбинаторный множитель осуществляет их нивелировку. Если разрушенный элемент имеет длину г, то для вероятно­ сти Pi полного разрушения отрезка AL. полагая ЛL = ir, имеем

P,. = CA(ir/L)'.

Полностью такой разрушенный отрезок назовем кластером pa3i\icpa /. Па paccMaipuBaeiMOH липни число кластеров раз­ мера i

Формулу (3.11) можно проверить в двух предельных слу­ чаях. При £=1 гц=п, т. е. число единичных кластеров щ (со­

имеем 1, что здесь имеет смысл числа кластеров размера всего отрезка при его полном разрушении. Эти предельные случаи имеют характер нормировки, тогда как стандартная нормировка Ри содержащая суммирование по г, нс имеет смысла, поскольку i — фиксированный параметр, а не случайная величина.

С учетом известного соотношения

(п — /)! п \/п1 при n^>i

выражение для щ (3.11) принимает вид tii ж LAllril!,

где величина

А = nir/L = i/K

есть срешее число разрушенных элементов в отрезке, а К имеет смысл среднего расстояния Ljrn между ними в единицах их размера г. Выражение A l/i\ аналогично известной формуле Пу­ ассона, но отличается отсутствием множителя е-Л, учитываю­ щего вероятность непопадания в отрезок разрушенных элемен­ тов более рассматриваемого числа. В нашем случае плотного заполнения отрезка разрушенными элементами эта вероятность равна 1. Используя далее в (3.11) асимптотическую формулу Стирлинга для факториала

156

Осуществим переход к трехмерному случаю, когда среднее относительное расстояние между трещинами есть

Мы рассматриваем линию, проходящую через разрушенные элементы. В трехмерном теле объемом V разрушено п = CV эле­ ментов, и длина этой линии L = пКг. Таким образом, выраже­ ние (3.11а) принимает вид [182]

где К находится по формуле (3.12).

Наконец, заметив, что У2 = е и № ^ 1, придем к оконча­ тельному выражению для числа кластеров пи содержащих не менее i начальных трещин;

которое справедливо для всех

мерный параметр кластеризации К (3.12) (среднее расстояние между начальными трещинами С~]/3 в единицах их размера г) становится равным

Результат (3.14), который может быть назван концентраци­ онным критерием кластеризации (укрупнения) трещин, решает поставленную задачу оценки критической концентрации, при достижении которой в теле спонтанно формируется кластер заданного размера и. Критической является концентрация

Величина Ci устанавливает предел объемного трещинообразования в нагруженном теле: накопление трещин с концентра­ цией выше величины С, вследствие спонтанной статистической кластеризации невозможно. Заметим, что здесь не учтена вто­ рая стадия. Однако се вклад незначителен, поскольку она сравнительно коротка, и трещннообразовапие на второй ста иш носит локализованный характер.

Как следует из выражения (3.14), при достаточно большой величине оо концентрационный критерий кластеризации К/ утрачивает зависимость от размера кластера ц и становится равным числу е (основанию натуральных логарифмов):

157

Этот результат обусловлен характером зависимости т(е!К)

возникновение кластеров носит пороговый характер: они возни­

.мера г\. Это трещины 1-го ранга (первичные). Идет процесс их делокализованного накопления, приводящий при достижении критической концентрации к формированию укрупненной тре­ щины, которая затем (сравнительно быстро) растет, но стаби­ лизируется, достигнув (по определению являющейся для псе стопором) границы элемента 2-го ранга, превращаясь в тре­ щину 2-го ранга размером г2. Дальнейшее разрушение идет пу­ тем накопления и объединения трещин 2-го ранга и т. д.

Состояние разрушаемого многомасштабиого тела характери­ зует «матрица трещинообразования», компонента которой есть число в нем кластеров из i трещин /-го ранга. Важной ха­ рактеристикой разрушения является единичная компонента этой матрицы, задающая максимальный размер имеющегося в теле

При разрушении многомасштабиого тела существует иерар­ хия: трещины /-го ранга могут быть образованы лишь из тре­ щин / — 1 ранга. Однако механизм повышения ранга обладает геометрическим подобием, делающим его нечувствительным к рангу трещнн. В основе этого механизма лежит установлен­ ный выше концентрационный критерий. Другими словами, кон­ центрационный критерий кластеризации трещин является инва­ риантным относительно ранга исследуемых трещин. В этой связи при рассмотрении перехода / — 1->-/ достаточно говорить лишь, о начальных и укрупненных трещинах вне зависимости от ве­ личины /, которая играет роль параметра.

158

Обратимся для проверки представлений о концентрационном критерии кластеризации трещин к экспериментальным данным, имея в виду, во-первых, что инвариантность концентрациониого критерия позволяет для его проверки на опыте использовать трещины любого фиксированного размера, удобного для реги­ страции, во-вторых, что, контролируя предел объемного трещииообразования, концентрационный критерий кластеризации при­ обретает статус критерия разрушения.

Уже в первой работе по количественному изучению делока­ лизованного трещинообразования [82] для нескольких полиме­ ров было экспериментально найдено, что к моменту разрыва образца накапливается объемная концентрация субмикротрещнн С у такая, что среднее расстояние С“1/3 между ними в еди­

ницах их размера г становится К ^~3. Впоследствии эта зако­ номерность наблюдалась не только для полимеров, но и для других классов твердых тел при вариации значений г и С у

вочень широком диапазоне (см. далее).

Внастоящее время делокализованное множественное трепшнообразованис хорошо изучено на опыте. Параметры ансамбля начальных трещин измеряются с помощью различных физиче­ ских методов, использующих три основных свойства трещин:

выделение запасенной упругой энергии при зарождении (в форме тепла, звуковых и электронно-магнитных волн); спо­ собность отражать и рассеивать падающие волны (свет, рент­ геновские лучи, звук, электроны); изменение характеристик ма­ териала (плотности, модуля упругости). Разнообразие методов позволило исследовать различные классы твердых тел: поли­ меры, металлы, горные породы. Оказалось, что разрыв харак­ теризуется определенной концентрацией трещин Су, зависящей лишь от их регистрируемого размера г. Использование различ­ ных материалов, масштабов объектов и методов исследования позволило варьировать величину г в диапазоне 12 порядков. При этом величина С у варьировалась в диапазоне свыше 35 по­ рядков. Однако несмотря на эти гигантские диапазоны, как видно из рис. 3.4, между зафиксированным размером трещин г

и средним пре дельным расстоянием между ними Су1/Лобнаружи­ вается универсальная связь, а именно:

CT' l3= KFr.

Причем все экспериментальные точки лежат нс ниже прямой, соответствующей величине KF ~ 3, т. е. нижнему пределу рас­ четных значений К/ = е.

Заметим, что график, приведенный на рис. 3.4, построен в двойных логарифмических координатах, что сглаживает имею­ щийся небольшой разброс значений КF, фактически варьируе­ мых в интервале (табл. 3.1) Кк = 2,5ч- 6.

159

Таблица 3.1

Размер трещин г, разрывная концентрация С F и параметр KF в различных материалах

брос может, кроме того, отражать и недостатки эксперименталь­ ного метода расчета CF. Дело в том, что в настоящее время на опыте концентрация трещин обычно оценивается путем усреднения по объему тела. Из-за присущей материалу неодно­ родности этот метод, предполагающий однородность, может приводить к занижению значения Ср и завышению Кр по срав­ нению с истинным, характеризующим «слабейшую» область, где происходит формирование разрушающей тело трещины.

Подчеркнем, что в указанном на рис. 3.4 диапазоне разме­ ров трещин в качестве начальных фигурируют как первичные, образованные непосредственно из термофлуктуацнй (в полиме­ рах), так и многоранговые (в случае таких объектов как гор­ ные породы). Их равноправное рассмотрение вытекает из пред-

160