книги / Физические основы прогнозирования долговечности конструкционных материалов

таким образом, вносят пренебрежимо малый вклад в описание характеристик равновесных замкнутых систем па основе прин­ ципа максимума энтропии.

Заметим также, что среднеквадратичные флуктуации не имеют отношения и к проблеме термофлуктуациопного разру­ шения.

Рассмотрим замкнутую равновесную систему с энергией Я. Выделим в ней малую часть, содержащую макроскопическое число частиц, которую назовем телом, а оставшуюся часть си­ стемы назовем термостатом. Пусть тело и термостат находятся в тепловом контакте (т. е. могут обмениваться энергией). Пусть {Нп} — энергетический спектр. Если тело находится в п-м состоянии с энергией Нп, то энергия термостата равна Я — Яп. Найдем вероятность W{Hn) того, что тело имеет энергию Яп.

где Т — температура термостата. Таким образом, искомая вероятность

W = A ex р ( ~ ^ ) -

Она называется распределением Гиббса. Коэффициент пропор­

Оно похоже на распределение Больцмана. Отличие состоит в том, что распределение Гиббса относится к макросистеме,

открытой для обмена энергией с термостатом, тогда как распре­ деление Больцмана описывает размещение но энергетическому спектру ансамбля невзаимодействующих частиц, образующих замкнутую равновесную систему.

В статистической механике постулируется эргодическая ги­ потеза, согласно которой ансамбль тождественных стохастиче­ ских систем эквивалентен одному члену ансамбля, случайно из­ меняющему со временем свои состояния, так сказать, флуктуи­ рующему. Тогда распределение Гиббса можно интерпретировать как относительную долю времени пребывания тела в состоянии

^ п ЛЯ с энергией Нп и в этой связи величину 0схехр-—----как время

к/ перехода в состояние с приращением энергии АН. Это уже при­

ближает нас к описанию кинетики энергетических флуктуаций.

(1.31), является фундаментальной характеристикой тела, обме­ нивающегося энергией (находящегося в тепловом контакте) с термостатом, и обладает рядом свойств. Во-первых, при рав­ новесии тела свободная энергия минимальна в отличие от мак­

нимумом. Второе свойство заключается в аддитивности свобод­ ной энергии тела в отсутствие взаимодействия между его ком­ понентами, обусловленной аддитивностью энергии и мультипли­ кативностью числа состояний. Поэтому свободная энергия

52

тела F, состоящего из N невзаимодействующих одинаковых ча стиц, есть

XП

где F\ — свободная энергия одной частицы с энергетическими уровнями Иа* Третье свойство свободной энергии состоит в том, что она, определяя давление на границе тела

при постоянном числе частиц N и температуре Т (и энергии Н)> лежит в основе метода Гиббса расчета уравнения состояния тела в термостате, алгоритм которого содержит определения энергетического спектра {Нп} (из решения уравнения Шредннгера без времени) и вычисления статистической суммы Z и F (1.29).

Приложим изложенные общие представления статистической механики к описанию элементов твердого тела.

Возбуждение фононов. Найдем в теле при температуре Т заселенность Nk фононами k-ii моды с частотой о>л, определяю­ щую амплитуду (1.24) соответствующих колебаний. Поскольку

Как видно, величина Nk растет с Г, что позволяет говорить о тепловом возбуждении атомных колебаний в твердом теле. При достаточно высокой температуре в формуле (1.32)

(|з2а)

н средняя энергий й-й моды

53

Как влияет нагрузка на фононную подсистему твердого тела? В гармоническом приближении влияния ист. Ангармоиизм потенциала межатомного взаимодействия, как показано в п. 1.1, приводит к уменьшению частоты колебаний с»)Л и энер­ гии кванта его возбуждения. Соответственно число фононов Nh при заданной температуре возрастает. В этой связи можно говорить о том, что нагрузка рождает новые фононы. Разуме­ ется, этот вывод имеет качественный характер, как н все ре­ зультаты, относящиеся к колебательным модам и фононам в ан­ гармоническом кристалле, которые определены строго лишь в гармоническом приближении (которого, однако, недостаточно для понимания явления разрушения нагруженного твердого тела).

Свободная и средняя энергии гармонического осциллятора.

Согласно (1.23) квантово-механнческий гармонический осцил­ лятор с циклической частотой о) может иметь энергии

При ее вычислении, обозначив х=е~ь<°1кТ использовали выра­ жение для суммы убывающей прогрессии

Свободная энергия (1.29) есть

Первое слагаемое (1.33) является нулевой энергией осцилля­ тора. Введя обозначение y=hw/2kT и используя представление

выражение (1.33) можно переписать в иной (но эквивалентной) форме:

F = - k T \ n Z = kT\n(2sh

Для средней полной энергии имеем

График выражения (1.34) приведен на рис. 1.9. Выделяются две области (квантовая и классическая) соответственно в обла-

54

вое понятие, отсутствующее в классической физике. В этой связи рассматриваемая область и называется квантовой.

Характеристическую температуру Т0, опре­ деляемую уравнением

температурный ход которой воспроизводит график (см. рне. 1.9).

Выражения (1.33) и (1.33а) относятся к гармоническому ос­ циллятору с потенциалом ц>= (д2/2 (д — смещение от положе­ ния равновесия). В случае, когда для ф справедливо выраже­ ние (1.3) статистическая сумма принимает вид

z=exP"i?rZexP(—&■)>

п

а свободная энергия

Fi = —D + кГ 1п (2 sh-Ц г-).

Распределение осцилляторов. Согласпо раопределению Гиббса (1.30) вероятность d\V того, что гармонический осцил­ лятор с частотой со, находящийся в термостате при темпера­ туре Т, будет иметь амплитуду колебаний в интервале А, A+dA есть

55

Величина В находится из условия нормировки

оо

jd W = 1,

—ос

что дает

Данное выражение относится к классической области, где среднее значение энергии осциллятора П ^ к Т .

Полагая, что в распределении Гиббса для классического ос­ циллятора kТ имеет смысл /7, для статистического распределе­ ния получим

Снова определяя из условия нормировки коэффициент про­

Результат (1.36a) был получен Блохом (1932 г.) путем ре­ шения уравнения Шредингсра для квантового осциллятора и

56

интерпретируя р как вероятность состояния осциллятора с энер­ гией Н в квантовой области. Это представление оказывается полезным при интерпретации данных для низкотемпературных зависимостей долговечности и прочности, приведенных в п. 2.4.

Гармонический одномерный кристалл. Приближение Дебая.

Рассмотрим одномерную циклическую цепочку (свернутую в кольцо) из N «атомов» — осцилляторов гармонического типа. В п. 1.1 было показано, что с точки зрения классической меха­ ники движение такой системы имеет характер суперпозиции бе­

колебаний. Вид так называемой спектральной плотности

определяется дисперсионным соотношением to(лс). Рассматривая свободную энергию F такой системы как сумму независимых N различных квантовых осцилляторов с частотами и опираясь на выражение (1.336) с учетом свойства аддитивности, имеем

Суммирование ведется по всем волновым числам к.

В больших системах уместно перейти от суммирования к ин­ тегрированию, заменив

J р (го) doy.

k {и)}

Далее обычно используется так называемое приближение Дебая, суть которого в следующем.

1. Дисперсионное соотношение (представленное па рис. 1.5

57

Она вводится так, чтобы несмотря на изменение спектра ча­ стот колебаний их полное число N сохранялось. Индекс (1) означает одномерный случай.

Таким образом, в приближении Дебая выражение (1.37) принимает вид

F = - ^ xj- j k71n(2sh --($-) Л-> — ND.

Аналогично введенной ранее температуре Эйнштейна для разделения классической и квантовой областей равенством H(i)D/kTD= 1 вводится температура Дебая TD. В рассматривае­ мом одномерном случае

« ’ = - ^ ’ - - 3 , 1 . 3 9 )

Уравнение состояния одномерного кристалла в квазигармоническом приближении. Свободная энергия ангармонического одномерного кристалла в термостате в так называемом квазнгармоническом приближении имеет вид

Здесь записано выражение (1.37) для свободной энергии гармонического одномерного кристалла, и с целью учета энгар­ монизма межатомного потенциала в соответствии с (1.14) и (1.10в) введены новые частоты

и энергия связи

где e=Aa/a — деформация межатомной связи; E-^f/a — модуль растяжения; G=ga/6f — коэффициент Грюнайзена.

Запишем уравнение состояния системы с выражением (1.40) для свободной энергии и объемом V^Ncv' согласно методу Гиббса:

58

где Л ко л — средняя энергия атомных колебаний, равная сумме энергий всех осцилляторов (см. (1.34)),

В классическом пределе, когда средняя энергия одной коле­ бательной моды равна kТ,

Отсюда видно, что равновесная деформация тела_ е пропор­ циональна объемной плотности энергии колебаний //кол. Коэф­ фициент пропорциональности содержит коэффициент Грюнайзена G. В этой связи и поскольку в классической области //ко:i°°T (1.416), величину е можно назвать тепловым расши­ рением и сказать, что тепловое расширение — ангармонический эффект, отсутствующий в гармоническом приближении. Продиф­ ференцировав е по температуре, имеем

db 3О йНкОЛ

~ Ж ~ ~ Ё V dT

или, поскольку коэффициент теплового линейного расширения

приходим к соотношению Грюнайзена:

р3G

cv Е

Из него следует, что в классической области, где су = к/а3, коэффициент теплового расширения

оЗкС

59

В квантовой области величина р уже зависит от темпера­ туры и воспроизводит температурный ход теплоемкости, однако отношение коэффициента теплового расширения к теплоемкости от Т не зависит во всем температурном интервале:

Р (T)/cv {Т) = const (Т).

Если рассматриваемый одномерный кристалл находится в термостате и нагружен растягивающим напряжением о, то его деформация е определится нз уравнения

т. е. деформация обусловлена суперпозицией действия растяги­ вающего напряжения а (закон_Гука) и так называемого коле­ бательного давления а1;ол = 3GHuoalV9 обусловленного ангармонизмом атомных колебаний. В классической области аКОл= ~3GkT/cP и вызывает тепловое расширение, в связи с чем его можно называть «тепловым давлением» (термин Я. И. Френ­ келя).

Температурно-силовая неустойчивость: предельная прочность и ее температурная зависимость. При достаточно больших де­ формациях в температурно-силовом ноле уравнение состояния (1.41) одномерного кристалла в классической области (при ус­ ловии (1.416)) принимает вид

—Ег + 3ОЕг* + — т^^тт-г- + о = 0.

Оно приводится к кубическому уравнению для деформации

которое не имеет действительных положительных решении при

что означает невозможность существования рассматриваемой атомной цепочки как системы связанных осцилляторов. Дру­ гими словами, в области (1.45) (рнс. 1.10) возникает динамиче­ ская неустойчивость твердого тела, приводящая к разрушению

60