книги / Физические основы прогнозирования долговечности конструкционных материалов

межатомных связей, ответственных за колебательный режим. Таким образом, результат (1.45) можно интерпретировать как температурно-силовой критерий общей (наступающей одновре­ менно на всех связях) неустойчивости (полного разрушения) рассматриваемого одномерного кристалла.

Возникновение неустойчивости, связанной с отсутствием по­ ложительных корней уравнения (1.44), иллюстрирует рис. 1.11,

товых эффектов

где равновесие твердого тела представлено в виде баланса трех напряжений:

межатомного взаимодействия

оф = —Ее + 3GEE\

теплового давления

__ 3GkT

Окол— ai ( , _ 6 G e )

и растягивающего напряжения о.

Неустойчивость наступает, когда кривые аФ и оиол+ п пере­ стают иметь общие точки. В этой связи можно сказать, что критерием полного разрушения твердого тела является превы­ шение межатомного притяжения суммой теплового давления и внешнего растягивающего напряжения.

Как следует из (1.45), при 7 = 0 общая неустойчивость воз­ никает при о > от (1.44а). Этот результат был уже получен при рассмотрении разрушения внешней силой ангармонического осциллятора (см. (1.15)). Максимально возможное напряжение, которое способно выдержать не разрушаясь твердое тело при температуре 7,

назовем предельной прочностью (атермический предел в (1.45а) ст называют теоретической прочностью).

61

Как видно, предельная прочность оо убывает с температурой Т. Однако и абсолютные значения оъ, и ее температурная зави­ симость не соответствуют реальной (измеряемой на опыте) прочности, которая связана е неучтенными здесь флуктуациями теплового атомного движения.

ограниченном смысле, в каком на атомной цепочке можно мо­ делировать явление плавления твердых тел, температуру Тт можно назвать температурой плавления. Этот вывод подтвер­ ждается хорошей корреляцией величины Тт (1.446) с экспери­ ментальными данными для температуры плавления Тп.х. Отме­ тим, что при предельной температуре среднеквадратичная ам­ плитуда колебаний

Параметры от и Тт описывают предельные случаи чисто силового и теплового разрушения тела, а выражение (1.15) — смешанное разрушение в температурно-силовом иоле. Формулу (1.45) можно интерпретировать как температурную зависимость предельной прочности, либо как зависимость предельной темпе­ ратуры от давления. (В последнем случае она качественно со­ гласуется с эмпирическим уравнением Симона.)

Ниже температуры Дебая в квантовом пределе уравнение (1.41) принимает вид

62

Величина amKB меньше своего классического аналога от на величину

Влияние квантового эффекта на границу устойчивости обо­ значено на рис. 1.10 пунктиром. Расчет (1.47) определяет точку на оси ординат. Остальная квантовая область аналитического рассмотрения не допускает.

1.4. Кинетика*

Рассмотрим три класса явлений.

1. Движение к равновесию (релаксация) неравновесной зам­ кнутой системы, сопровождаемое увеличением энтропии (в част­ ности, рассасывание градиентов температуры, химического по­ тенциала и давления, осуществляемое процессами теплопровод­ ности, диффузии н течения).

энергией) с термостатом, приводящий к уменьшению свободной энергии тела.

3. Образование устойчивых структур в открытой системе, приводящее к уменьшению ее энтропии и поддерживаемое ис­ точниками энергии и вещества.

В отличие от равновесной статистической механики в кине­ тике рассматривается изменение характеристик системы со вре­ менем /, подчиняющееся уравнениям эволюции — кинетическим уравнениям. Однако по-прежнему описание системы остается вероятностным. Оно характеризуется функцией R(q, t) распре­ деления по совокупности конфигураций, задаваемых набором обобщенных координат q (к числу которых относятся как меха­ нические, так и тепловые характеристики — температура и др.). Смена состояний системы носит случайный характер: изобра­ жающая систему точка блуждает в пространстве конфигураций и кинетическое уравнение описывает этот процесс.

Основные уравнения. Для выяснения сгруктуры кинетиче­ ских уравнений без ограничения физической общности, но ради математического упрощения рассмотрим одномерную систему: изображающая точка блуждает по линии с координатой q, на­ ходясь в этой точке в момент времени t с вероятностью R(q, t). Зависимость от времени t указывает на неравновесное состоя­

* В параграфе использованы раооты [179, 290].

63

Написанное означает, что вероятность найти систему в точке q в момент времени t+At есть произведение вероятности нахо­

вольно. При этом предполагается, что вероятность wfJ не зави­ сит от временной предыстории (не содержит производных по времени)— условий (скорости, ускорения) попадания в состоя­ ние q. Такой процесс называется марковским. Уравнение (1.48) называется уравнением Смолуховского, а в математике — урав­ нением Колмогорова—Чепмена.

Для решения уравнение (1.48) преобразуется так, что произ­ вольный параметр At-+0. При этом в левой части производится разложение

R(q, t+ lt) * * R { q 9 l)+ A tR (q 9 t).

Далее используются два подхода к преобразованию правой части. При первом подходе рассматривается случай дискретных

I & (0 = 1); Whi(At) — вероятность Л-W перехода за время At

(так называемая матрица вероятностей локального k -+ i пере­ хода).

Для малых At —^ 0 возможно представление

(1.486)

Величина 1/0*£ называется плотностью k-+i перехода. Ве­ личину wu найдем из условия нормировки

n

E 1Wik= 1,

откуда с учетом (1.486) следует

П

i = w,i + E r wi><=*»// + E

или

(1.48B)

64

(штрих означает пропуск при повторяющихся индексах, здесь —

Соотношения (1.49) называются системой уравнении кинети­ ческого баланса. В (1.49) левая часть описывает изменение ве­ роятности нахождения системы в /-м состоянии за единицу вре­ мени. Это изменение обусловлено приходами и уходами в дан­ ное состояние с соответствующими плотностями переходов I/O.

Второй подход к преобразованию правой части (1.48) учи­ тывает то обстоятельство, что за малое время Л^->0 значе­ ние q' должно быть также мало, и возможно разложение по qr в ряд

£<7,гМ<7'> Д0 = и

исредней «скорости расплывания» (коэффициента диффузии)

“2^Г £ <ГйМ<У'. Д0 = £>

я'

с учетом условия нормировки

£ а М '/ , At) — 1,

я'

окончательно из уравнения Смолуховского в рассматриваемом

Выражение (1.50) называется уравнением Эйнштейна—Фок- кера—Планка. Оно, как и уравнение кинетического баланса (1.49), имеет смысл закона сохранения статистического ан­ самбля изображающих точек. Выражение (1.506) является уравнением непрерывности.

Переход от дискретного к непрерывному числу состояний приводит к замене условия нормировки (1.486) интегральным соотношением вида

которое доопределяет функцию R (q, i), подчиняющуюся урав­ нению (1.50).

В выражении для j (1.506) параметры (т. е. величины, кото­ рые могут принимать различные значения) у и D определяются

сии (относящиеся к нему величины снабдим индексом «е») поток je—0, а функция Rc подчиняется распределению Гиббса (1.30) , т. е. /?ех>ехр (—Я/кГ), где Я — энергия системы в со­ стоянии с координатой q. Отсюда с учетом выражения (1.506) следует, что

или с учетом вида Re и определения силы

дН dq *

Далее получаем

(1.50г)

При отсутствии внешнего поля и= 0 и в уравнении (1.50) остается только параметр D, который можно связать с характе­ ристиками движения частиц системы, исходя из следующих об­ щих соображений.

В неравновесной системе равновесие устанавливается путем обмена (энергией и импульсом) при столкновениях частиц либо квазичастиц (например, фононов). Столкновения характеризу­ ются средней длиной Л свободного пробега частиц (квазича­ стиц). Свяжем величину потока / с длиной пробега Л. Из вы­

60

«назад». Поэтому результирующий поток складывается из «пря­ мого» и «обратного»:

/ = s [/? (?) - R ( q + Л)] « - S.V -Щ- .

Сравнивая это выражение с (1.50), можно видеть, что, во­ обще говоря, D = sA.

При описании конкретных релаксационных процессов в фор­ муле для D возникает соответствующий размерный множитель. Так, например, если рассматривается выравнивание темпера­ туры 7, то величина R заменяется на объемную плотность энер­ гии H/V, и поток тепла оказывается пропорциональным гради­ енту температуры:

Здесь учтена формула для теплоемкости единицы объема

дН

(В трехмерном случае здесь присутствует множитель 1/3.) Уравнение (1.50) является основным при описании кинетики

рассасывания (релаксации) неоднородностей в замкнутых си­ стемах, которые подобны диффузионному расплыванию капли чернил в стакане воды. Однако характерное время рассасыва­ ния— так называемое время релаксации — можно оценить, не прибегая к решению уравнения Эйнштейна—Фокксра—Планка. Для определенности рассмотрим температурную релаксацию в одномерной системе — стержне. Если температуры на концах стержня Т\ и То, а его длина Z,, то поток тепла согласно (1.51)

1= к ---- ^- = c v (Tt — Т2) —j —= р//гэф.

Исходя из физического смысла и размерности потока, его можно представить в виде произведения плотности тепловой энергии

РH = cv (Т>— Т,)

и эффективной скорости переноса

'Взф — sA *

Можно сказать, что избыточное тепло переносится от одного конца стержня к другому со скоростью иЭфПоэтому время

релаксации, которое мы определим как время прохождения тепла через стержень, есть

Метастабильные состояния являются неравновесными, и их релаксация описывается формализмом уравнения Эйнштейна— Фокксра—Планка с учетом наличия барьера, который эквива­ лентен действию внешней силы F. При этом в качестве коорди­ наты q уместен выбор энергии Я, и на барьере действует «ска­ тывающая» сила

6 8

медленной моды релаксации рь лимитирующей установление полного равновесия. Вследствие условия (1.53в) она опреде­ ляется из уравнения

Мы ограничиваемся для простоты учетом только самой мед­ ленной моды, т. е. сохраняем в решении для R одно слагаемое, полагая

Таким образом, в принятом приближении вероятность пере­ хода через барьер за время t (1.536) есть

Оценим предэксионенту в (1.54а) для случая разрушения твердого тела, когда барьер U ~E a3/3G2 (см. (2.14)). Харак­ терное время релаксации тепловых флуктуаций в твердом теле

70