книги / Физические основы прогнозирования долговечности конструкционных материалов

н силы

гивающее напряжение а вызывает вытяжку >*, определяемую уравнением

о(Х/Хт)9

где L (х) = cth х — 1/х— функция Ланжевена, асимптотика ко­ торой при больших х следующая:

/.(*-> 1 )« 1 — — .

Таким образом, большой вытяжке Х-+7.т соответствует на­ пряжение

при больших деформациях широкого класса эластомеров. Свод­ ные экспериментальные данные для эластомеров, сшитых раз­ личными способами и содержавших в отдельных случаях растворители в качестве агента набухания, приведены на рис. 4.21. Видно, что на опыте выполняется зависимость

[/с — А — аК,

201

которая соответствует (4.32) в форме

J _ _ J ______I

аО© 0>оХщ

При Яоти< 1 в (4.32) имеем

Для описания разрушения воспользуемся дилатониой мо­ делью (см. п. 2.2), в частности результатом (2.13), устанавли­ вающим зависимость энергии активации деформации U, кото­ рую здесь заменим на вытяжку лОТ11. Тогда с учетом соотноше­ ния (4.33) для времени ожидания разрушения х имеем

своей зависимости от о и Г совпадает с эмпирической формулой

Опыты проводили при статическом одноосном растяжении с <7 = = const (используя установку с фигурным рычагом [208]) на плоских образцах в форме двойной лопатки. В результате ис­ следований зависимости х(о, Т) установили, что в температур­ ном интервале между а- и ^-релаксационными переходами экс­ периментальные точки в координатах l g x — о и l g x — 1/Т (рис. 4.22) укладываются на прямые линии, которые образуют типичные журковские веера, сходящиеся в точке (полюсе) lg (то, с) ~ —13. Это свидетельствует о том, что при низких тем­ пературах долговечность эластомеров, находящихся в стекло­ образном состоянии, описывается формулой Журкова с постоян­ ными параметрами f/o и у* Их значения приведены ниже.

В области температур Т < Тс (Тг — температура стеклова­ ния) экспериментально измеренные значения долговечности об­ разуют прямые уже в двойных логарифмических координатах

202

Видно, что в пределах точности измерений U ex. t/o. Это соот­ ветствует расчету (4.34). Для дальнейшего сравнения нсполь-

103/Т,К~1

Рис. 4.22. Долговечность резины ИРП-3012 в низкотемпера­ турном диапазоне при различных Т(а) и а (б):

формулах Журкова и Бартенева объясняется различием уравнений состояния полимера в стеклообразном и высокоэласгпческом состояниях, реализуемых в различных температурных диапазонах, которое приводит к разной связи между деформа­ цией и напряжением (соответственно прямо пропорциональной л гиперболической). Сделанный вывод является еще одним

203

свидетельством в пользу теории дилатонной модели, в которой утверждалось, что физически первичной является зависимость (2.13) энергии активации от стартовой деформации, которая может различным образом зависеть от напряжения, и лишь линейная связь, соответствующая закону Гука, приводит к фор­ муле Журкова.

4.7. Сложнонапряженное состояние

Кинетическая теория разрушения уделяет первоочередное внимание анализу термофлуктуационного механизма зарожде­ ния и развития трещин в нагруженном теле. С физической точки зрения признаком нагружения является растяжение межатом­ ных связей, стимулирующее их разрыв. В этом аспекте при изу­ чении физических основ разрушения возможно ограничиться режимом одноосного растяжения образца. Именно к такому случаю нагружения относится формула Журкова для долговеч­ ности и инициированное ею исследование кинетики трещинообразования. Однако в реальных технических объектах напряжен­ ное состояние материала оказывается более сложным, чем одно­ осное растяжение, и характеризуется, вообще говоря, тензором напряжений с**. Возможно ли и как использовать результаты, полученные в условиях одноосного растяжения, применительно

ксложнонапряженному состоянию?

Внастоящее время общепризнано, что и в условиях сложно­

напряженного состояния разрушение является кинетическим термоактивированным процессом, для описания которого базо­ вым является выражение для долговечности

обобщающее формулу Журкова так, что задача сводится к рас­ шифровке зависимости энергии активации разрушении V от компонент тензора напряжения о,> В ее решении формула Жур­ кова помочь не может, так как она получена опытным путем только для одноосного растяжения, причем значение а задава­ лось как отношение нагрузки к сечешно образца и выступало как скалярная, а не тензорная величина. Поэтому при переходе к сложному нагружению выражение U(oij) априори неизвестно. Из общих соображений ясно лишь то, что физически первич­ ным должно явиться описание растяжения межатомных связей, а величина Uy являющаяся скалярной величиной, может зави­ сеть только от инвариантных компонент тензора напряжений,,

т.е. главных напряжений щ= 01, о2, 0з (см. п. 1.1). Исследование долговечности в зависимости от значений ot

опирается обычно на опыты с трубчатыми образцами при кру­ чении в сочетании с растяжением и внутренним давлением. В ряде работ, в которых испытания проводились для металлов

204

и сплавов, утверждается, что долговечность т в указанных ус­ ловиях нагружения, характеризуемых наибольшим главным нор­ мальным (растягивающим) напряжением Ci™, совпадает с дол­ говечностью тех же образцов под действием одноосно-растяги- вающего напряжения, равного 0iw. Этот результат можно ин­ терпретировать как проявление критерия Галилея—Решшна (см. п. 1.1) в кинетике разрушения. Однако последующие ана­ логичные испытания, но проведенные при более высоких темпе­

экспериментальные точки для растяжения и растяжения в соче­ тании с кручением. Совмещения прямых можно добиться, перейдя от С\т к напряжению (oim + окас)/2, где а,:ас — интен­ сивность главных касательных напряжений. Этот критерий явля­ ется кинетическим аналогом, сочетающим критерии Галилея— Ренкина и Максвелла (см. п. 1.1). Приведенные данные отра­ жают проблему выбора адекватного описания разрушения,

скоторой столкнулась механическая концепция (см. введение)

икоторая сохраняется при феноменологическом подходе к ки­ нетике разрушения в условиях сложнонапряжеиного состояния.

Результаты систематического исследования долговечности металлов при кручении приведены в работе [231]. Была разра­

ее значение для различных образцов. Напряженные состояния изменялись в опытах от линейного растяжения (*1= 2) до чис­ того сдвига (т]= 1). Результаты измерения силовой зависимости долговечности образуют в полулогарифмических координатах типичные веера, сходящиеся в точке при lg (т0, с) = —13. Если при этом на силовой оси откладывать значения оi™, то пара­ метр у зависит от величины х\. Определенная в этой связи на­

связано со способом обработки экспериментальных данных и нс имеет физической причины.

Сделанное заключение подтверждают данные для полимеров, для которых показано [156], что начальная энергия активации, определенная традиционным способом но наклону прямых па графиках l g t — 1/Г, одинакова при растяжении, кручении и изгибе.

Исследование [174] силовой зависимости долговечности при сложноиапряжспном состоянии трех типов полимеров — аморф­ ного (полиметилмстакрилат), кристаллического (полиэтилен), сшитого (эбонит)— показывает хорошее совпадение долговеч­ ностей при растяжении и кручении, если в качестве эффектив­ ного рассматривать напряжение о\т . Отмстим, что при этом

205

диапазон изменения температуры испытания охватывает обла­ сти как вязкого, так и хрупкого разрушений.

Цикл работ [175] посвящен исследованию влияния гидро­ статического давления иа кинетику разрушения различных ма­ териалов. Экспериментальная установка [27] содержала «бомбу», в которой создавалось выбранное постоянное всесто­ роннее давление Р, и пружину, передающую на образец фикси­ рованное растягивающее напряжение о. Результаты опытов мо­ жно описать зависимостью (4.35):

выражения сохраняют смысл, установленный в опытах иа рас­ тяжение).

В работе [153] предпринято описание долговечности элемен­ тов резинотехнических изделий в условиях сложнонапряжениого

где G.SO— шаровой тензор напряжений (гидростатическое давле­ ние); о\т — наибольшие растягивающие напряжения; у, а п b — коэффициенты, играющие роль подгоночных параметров.

Процедура определения коэффициентов опытным путем опи­ сана в работе [153]. Ее особенностью является линеаризация силовых зависимостей долговечности, которые в координатах lgx — о оказываются кривыми (в силу того, что долговечность эластомеров, к числу которых относятся резины, даже в про­ стейшем случае одноосного растяжения нс подчиняется формуле Журкова, а описывается формулой Бартенева).

Значительный вклад в решение задачи отыскания вида энер­ гии активации U в условиях сложного нагружения сделан в ра­ боте [165], в которой проанализирован случай принципиально «объемного» (трехосного) напряженного состояния, характери­ зуемого действием на «элементарный кубик» материала трех главных напряжений Оь 02, Сз, отличных от нуля. Исходной по­ сылкой явилось осознание того, что достаточно корректный пе­ реход от результатов по одноосному растяжению к произволь­ ному объемному нагружению будет отсутствовать до тех пор, пока не будут преодолены экспериментальные трудности, не по­ зволяющие в лабораторных условиях осуществить нагружение в пространстве главных напряжений по произвольной траекто­ рии, необходимое для проверки гипотез.

Благодаря развитию специальной техники [164] эти методи­ ческие трудности были недавно преодолены: была разработана испытательная машина, в основу которой положен тонкостенный трубчатый образец, испытывающий трехпараметрическое (внут­ реннее и внешнее давление, нормальная растягивающая сила) пагружение, позволяющее осуществить разрушение материала

206

по произвольной траектории трехмерного пространства (за ис­ ключением первого октанта, где три главных напряжения поло­ жительны). Такое нагружение (в отличие от традиционного на­ гружения трубы внутренним давлением, нормальной силой и крутящим моментом) является более информативным, поскольку позволяет получать более удаленные траектории нагружения.

Ниже приводятся экспериментальные данные О. Е. Ольховика для статической долговечности отвержденной эпоксидной смолы. Испытаниям подвергали тонкостенные трубчатые и сплошные образцы в камере высокого давления. Всего было испытано 160 образцов по 32 достаточно удаленным друг от друга траекториям в пространстве трех главных напряжений. Результаты приведены в табл. 4.1. Полученные результаты ана­ лизировались в пространстве /?, L и а [62]:

УЗ (а, — а3)

Координаты R и L определяют положение точки па плоско­ сти, совпадающей с гидростатической осью. Третья координата

Таблица 4.1

Долговечность т эпоксидной композиции (ЭД-20 + ДЭГ-1 -f ТЭАТ) при различных значениях главных напряжений о/ [165]

207

является параметром Лодэ—Надаи, который характеризует вид напряженного состояния.

В табл. 4.1 первые семь траекторий представляют собой ре­ зультаты статических испытаний при плоском напряжении, по­ лученные при различных значениях параметра Лодэ—Надаи. В этой серии испытаний образцы доводили до разрушения за время, равное 8 с. Анализ полученных данных в пространстве

венно на рис. 4.24 и 4.25. Графический анализ показывает, что поверхность предельного сопротивления в статическом аспекте представляет собой параболлоид вращения относительно гидро­ статической оси со слабой кривизной, и, следовательно, для ее экспериментального определения достаточно провести испыта­ ния вместо семи по трем-четырем траекториям. Наиболее ин­ формативны следующие траектории: двухосное равное растя­ жение при атмосферном давлении и кручение при различных величинах гидростатического давления.

В опытах 8—12 изучалась долговечность при нагружении трубчатых образцов только внутренним давлением, т. е. по тра­ ектории полуторного растяжения. Следующая серия испытаний (13— 16) отвечает деформации чистого сдвига, напряженное со­ стояние которого достигалось одновременным нагружением трубчатых образцов внутренним и наружным давлением по ме­ тодике, изложенной в работе [164].

Пять опытов по траектории полуторного сжатия (17—21) и шесть опытов при объемном напряжешпюм состоянии (22—27) также проводились на установке [164]. Последняя серия испы­ таний (28—32), которая по типу напряженного состояния и уровням напряжений соответствует опытам 17—21, получена путем нагружения замкнутых трубчатых оболочек наружным давлением. В опытах 8—27 разрушение образцов происходило путем образования продольной трещины. При нагружении зам­

208

кнутых цилиндрических оболочек внешним давлением (28—32) образцы распадались на мелкие куски по всей длине рабочей части. По каждой траектории испытывали от четырех до шести образцов. Приведенные в табл. 4.1 времена разрушения явля­ ются среднеарифметическими величинами. Рассеивание опытных данных не превышало 30 %.

Статистический анализ полученных экспериментальных дан­ ных показал, что наилучшее приближение к эксперименталь­

С/о = 37,5 ккал/моль; у = 0,291 ккал/(моль • МПа); а = 0,0375 ккал (моль-МПа); р = 3,54-10—7 ккал (моль-МПа)2. Среднеквадра­ тичное отклонение составляет 20,2 %.

Аналогичные результаты получены О. Е. Ольховиком для других полимеров, композиционных материалов и сталей. Это позволило прийти к общему выводу, что для прогнозирования долговечности при сложном напряжением состоянии может быть использована формула Журкова с добавлением в показа­ тель экспоненты (энергию активации) дополнительных слагае­ мых, учитывающих влияние шарового тензора напряжений. Уравнение долговечности в форме (4.36) для фиксированного времени т в широком интервале среднего нормального напря­ жения в пространстве R п L представляет собой параболлоид вращения. При узком интервале изменения параметра L можно положить р =0.

Приведенные результаты по анализу долговечности в усло­ виях сложнонапряженного состояния относятся к «элементар­ ному кубику». Очевидно, деталь конструкции является совокуп­ ностью большого числа таких «кубиков» и характеризуется не­ ким нолем их долговечностей. Подобные взгляды лежат в ос­ нове так называемого метода конечных элементов (МКЭ) [222]. Метод позволяет решать широкий круг задач, связанных с опре­ делением иапряжепно-деформировашюго п температурного со­ стояний конструкций произвольной формы. При этом деталь разбивается на кусочные области (элементы конечных разме­ ров), имеющие общие узлы, расположенные на их границах. Для расчетов привлекается ЭВМ, причем определению подле­ жат только значения искомой величины в узлах. Таким обра­ зом, МКЭ заключается в том, что непрерывные величины (на­ пряжение, температура и др.) в детали заменяются дискретной аппроксимацией на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе элементов. Суть алгоритма МКЭ следующая [153].

1. В рассматриваемой области фиксируется некоторое число узловых точек.

2.Значения непрерывной величины в каждом узле подлежат определению.

3.Область разбивается на конечное число элементов, имею­

щих общие узловые точки и в совокупности аппроксимирующих форму области.

4.Непрерывная величина аппроксимируется на каждом эле­ менте некоторым полиномом, коэффициенты которого должны удовлетворять требованиям непрерывности искомой величины, вдоль границ элемента.

5.Составляется разрешающая система алгебраических урав­ нений (канонических уравнений), описывающих некоторое со­ стояние.

6.Система канонических уравнений преобразуется с учетом

граничных условий.

7. Решается система канонических уравнений и определя­ ются искомые величины.

Метод конечных элементов при расчете напряженного со­ стояния требует определения перемещений узловых точек. Уравнения равновесия разбитой па элементы конструкции пред­ ставляют собой систему линейных алгебраических уравнений вида

[К] {u} = {F>,

где [К] — матрица жесткости конструкции; {и} — вектор иско­ мых перемещений узловых точек; {F}— вектор узловых сил.

После нахождения {и} с помощью соотношений Коши опре­ деляют вектор деформации {е} внутри элемента:

{е} = [Л] {и},

где [В] — матрица связи.

Вектор напряжения внутри элемента, задаваемый законом Гука в матричной форме, будет следующим:

{ст} = { Е } {в},

где {е} — матрица упругости.

Метод конечных элементов нашел широкое применение при расчете резиновых элементов муфт [153]. Важно подчеркнуть, что в них места образования видимых трещин и разрушения нс совпадают с зонами действия повышенных напряжений в окре­ стности конструктивных концентраторов, находящихся обычно вблизи поверхности детали. Это обстоятельство стимулировала использование кинетических представлений, т. е. переход к кри­ терию разрушения, связанному с нахождением минимальногозначения долговечности совокупности элементов, моделирующей конструкцию. Определение долговечности требует расчета не только поля напряжений, но и температурного поля.

Обычно определяют стационарную температуру из решения уравнения теплопроводности, где 7 — 0, Функция источников

210