книги / Физические основы прогнозирования долговечности конструкционных материалов

Таблица 2.1

Значения энергии активации разрушения Uo для различных материалов, полученные при испытаниях на растяжение до разрыва *

* Таблица составлена П. II. Веттсгренем.

мости от типа дефектов структуры, являясь в этом смысле впеструктурной. Структурно-чувствительном оказывается вели­ чина у, зависящая от состояния структуры и ее дефектов, од­ нако она играет роль параметра, лишь количественно влияю­ щего на скорость процесса разрушения н величину прочности.

Указанный парадокс, к которому приводит структурный под­

жающего общие закономерности тепловой жизни нагруженных твердых тел с различной дефектной структурой. Такой подход, отводящий в явлении разрушения флуктуациям атомного теп­ лового движения главную роль, а специфике надатомиого (структурного) строения — роль второстепенную (количествен­ ных параметров), свойствен термофлуктуационному этапу изу­ чения прочности.

Первая попытка реализации термофлуктуациоипого подхода в вопросе об элементарном акте разрушения опиралась на яв­ ление совпадения величины £/о с энергией сублимации и интер­ претацию последней как энергии межатомной связи (сублима­ ционная гипотеза). Предполагалось [79, 208], что разрушение подобно сублимации связано с генерацией и накоплением во времени разорванных межатомных связей. При построении мо­ дели такого процесса предлагалось решение «в лоб»: отождест­ вить искомый акт с разрывом межатомной связи в рамках двух­ атомной силовой модели твердого тела. При этом рассматри­ вается статическая двухатомная молекула, один атом которой закреплен в начале координат, а ко второму приложена растя­ гивающая сила Fo. При удлинении межатомной связи на Аа

82

от сс равновесной длины (равной межатомному расстоянию а) на атом действует возвращающая сила

М Д « ) = - - з ^ < I (АО),

где ср(Да)— потенциальная энергия межатомного взаимодей­ ствия, обычно выбираемая в виде потенциала Морзе

ц — D (е -7 Аа — 2е * 'а).

Здесь D и а — константы материала (причем глубина потенци­ альной ямы D является энергией диссоциации).

Таким образом, на нагруженную связь действуют две силы, график которых приведен на рис. 2.2. Их равенству отвечает равновесие. Поскольку сила межатомного притяжения имеет максимум, отвечающий теоретическому пределу прочности,

Fth = <*£>/2,

то возможны два состояния равновесия — устойчивое (/) и не­ устойчивое (2)— со значениями удлинения связи, соответст­ венно равными

Да,, о = -j- In 2/(1 ± У 1— FJFth),

так что разрыву связи отвечает переход из устойчивого состоя­ ния в неустойчивое. Совершаемая при этом работа (равная площади заштрихованной на рис. 2.2 области) в рассматривае­ мой модели отождествляется с энергией активации разрушения U и для потенциала Морзе будет следующей:

График U(F0) приведен па рис. 2.3. Описанная модель впервые рассматривалась Козмапом и Эйрингом (1940 г.)

и получила широкое распространение. Однако она имеет ряд ко­ ренных недостатков. Так, в двухатомной модели твердого тела разрыв при напряжениях ниже теоретического предела прочно­ сти термодинамически запрещен. Это утверждение, высказан­ ное в ряде работ (например, [53]), опирается па представления Гриффита об энергетике разрыва сплошности в нагруженной упругой среде, согласно которым необратимый разрыв возни­ кает лишь при том условии, что работа по образованию сво­ бодных поверхностей меньше энерговыделения при разгрузке прилегающей к разрыву области. При разрыве двухатомной мо­ лекулы с потенциалом Морзе межатомного взаимодействия растягиваемой сплои Fa эиерговыделеиие

возможной силы, отвечающей теоретическому пределу прочно­

лишь в атомной цепочке с достаточно большим числом N ато­ мов [240]. Таким образом, разрыв одиночной межатомной связи может явиться лишь элементарным актом разрушения полиме­ ров с достаточно длинными и слабо связанными между собой цепными макромолекулами, но ие изотропных кристалличе­ ских тел.

Заметим, что по аналогичным соображениям была отверг­ нута в 1920-х годах попытка Беккера [279] привлечь флуктуа­ ции тепловой энергии для объяснения расхождения между тео­ ретическим пределом ath и реальной прочностью а* металлов. Согласно Беккеру элемент объемом V упругой среды под рас­ тягивающим напряжением а потеряет устойчивость, если ему сообщить дополнительно потенциальную энергию

Г —>0 и £Л. —>- 0, т. е. тепловые флуктуации могут сделать рас­

сматриваемый процесс вероятным при сколь угодно малых зна­ чениях. Однако величина V не может быть меньше энергетиче­ ски выгодного значения VKj>

В рамках подхода Гриффита V4>определяется следующим образом. Принимается, что трещина образуется в нагруженном теле, если энергия упругой деформации, высвобождающаяся при разрыве межатомных связей, нс меньше энергии, идущей на создание новой поверхности. Энергия Н тела с такой трещиной сохраняется либо уменьшается, т. е. dH ^ 0.

84

В простейшем случае изотропного растягиваемого напряже­ нием о тела объемом VT с трещиной объемом V7v и поверхно­ стью $тр в виде поры радиуса г в пренебрежении взаимодейст­ вия тела и поры

Н = //„ + (7ТFTp) - g - + is,,,,

поверхностная энергия. В выражении для Н второе слагаемое

скольку в его основе лежит исследование неустойчивости стати­ ческой конфигурации (двухатомной молекулы, имитирующей межатомную связь в приближении, учитывающем лишь взаи­ модействие ближайших соседей) иод действием приложенной силы. Динамика — колебательный режим атомной структуры — не учитывается и ее роль нс обсуждается.

Первая попытка учета атомной динамики предпринята в ра­ боте [86], где в баланс сил, действующих на связь, помимо силы межатомного взаимодействия и приложенной добавлено еще одно слагаемое — тепловое давление, среднее значение которого в классической области (см. п. 1.3) равно

«кол = З&кГ/а ’.

Эго слагаемое ответственно за тепловое расширение, в связи с чем и названо тепловым давлением. Введение теплового дав­ ления в уравнение равновесия межатомной связи получило обоснование в работе [177] па примере атомной цепочки в тем­ пературно-силовом поле. При комнатной температуре величина Скол ~ 102 -г- 103 МПа. т. е. даже среднее тепловое имеет поря­ док реальной прочности твердых тел. Эта оценка указывает на важную роль в процессе разрушения динамики атомной коле­ бательной подсистемы твердого тела, возбуждаемой термоста­ том. Связанный с ней резервуар тепловой энергии составляет величину, на несколько порядков превосходящую механическую энергию, вызванную приложением к телу нагрузки. В самом деле, средняя энергия осциллятора (1.34) в классической об­ ласти равна кГ, и объемная плотность тепловой энергии в твердом теле

Рг ~ - у - ~ 10* МПа.

Плотность механической упругой энергии

рЛ~ -jrr ~ 10 3 МПа

Из этого теплового резервуара и черпается энергия флуктуа­ ций. Такая точка зрения связывает разрушение с неустойчиво­ стью тепловых колебаний атомов, а не их статических конфи­ гураций, и его элементарный акт — с механизмом возникнове­ ния флуктуаций, вопрос о котором ранее в связи с проблемой разрушения нс ставился — ограничивались лишь привлечением гиббсовской экспоненты для вероятности равновесных состоя­ ний [208]. В этом аспекте модель элементарного акта термофлуктуациониого разрушения должна базироваться на общих закономерностях теплового атомного движения в твердых те­ лах. Ранее они в теории разрушения не использовались (необ­ ходимые сведения приведены в гл. 1).

Каков механизм возникновения тепловой флуктуации в свете фундаментальных свойств атомной динамики? Этот вопрос, яв­ ляющийся для термофлуктуациошюго подхода к проблеме раз­ рушения принципиальным, еще не имеет окончательного ответа. Современное понимание характеризуется следующим.

Как показано в п. 1.1, одним из свойств атомных колебаний в твердых телах является их коллективный (модовый) харак­ тер, приводящий к тому, что движение отдельных атомов нельзя представлять как колебания независимых маятников, а необхо­ димо рассматривать как элементы волнового процесса. В итоге смещение атомов от положений равновесия описывается супер­ позицией бегущих воли, которой присущ эффект биений. В ре­ зультате биений возникают локальные области с плотностью

86

энергии, превышающей ее среднее значение. Как известно [127]. для локализации в области длиной AL энергии гармонических волн за счет их суперпозиции необходимо создание волнового пакета с равномерно заполненным интервалом волновых чисел Ак таким, что

AL Л/с « 2л.

Отсюда следует, что локализация энергии па одной связи в макротеле практически невероятна. В самом деле, в этом слу­ чае следует положить AL = a, и требуемый интервал составит величину Д/с = 2л/а, охватывающую весь спектр разрешенных волновых чисел в кристалле. Другими словами, мопоатомиая локализация требует синхронизации всех N решеточных волн. При этом на связи соберется энергия NkT. Вероятность такого события ээ ехр (—N) 0 при N -> оо.

Сказанное является еще одним из соображений, по которым нельзя говорить о возбуждении (и разрыве) одиночной меж­ атомной связи. Впрочем, и вообще неправомочно связывать ме­ ханизм возникновения необратимых разрушающих флуктуаций

к энергетическим сгусткам, вызывающим большие и даже пре­ вышающие разрывные деформации межатомных связей, но про­ цесс их формирования носит детерминированный (периодиче­ ский) характер (момент времени и величина локального пре­ вышения среднего уровня могут быть вычислены точно), в то время как флуктуации относятся к случайным явлениям (от­ клонениям от средних значений), и разрушающие флуктуации приводят к необратимым перестройкам. Кроме того, следует иметь в виду и качество энергии, локализуемой при биениях: как показано в и. 1.1, в системе двух связанных атомов осцил­ лирует их кинетическая энергия, тогда как потенциальная энер­ гия центральной межатомной связи биению и связанному с ним какому-либо «флуктуанионному разрыву» не подвержена.

Заметим также, что формально возникновение разрыва свя­ зей при биениях в рамках гармонического приближения (ли­ нейной физики) невозможно по определению. В самом деле, появление разрыва означало бы исчезновение гармонических, колебаний в системе и появление нелинейности. Тем самым на­ рушился бы основной постулат линейной физики— наличие пря­ мой пропорциональной связи между силой и деформацией.

Попытка связать механизм возникновения флуктуации с эффектом биений является единственно возможной в рамках так называемого гармонического приближения к описанию свойств твердого тела. Несостоятельность такой попытки тре­ бует перехода к следующему— ангармоническому— приближе­ нию, в котором возникают новые явления. Только в ангармони­ ческом приближении возможно разрушение осциллятора

87

просы оценки энергии активации и устойчивости. Предположим* что возник флуктуационно дилатон, в котором деформация межатомных связен с превышает равновесную среднюю дефор­ мацию среды е на некоторую величину ё, т. е. е==ё + ё. Рас­ смотрим дилатоп как открытую систему, через которую идет поток тепловой энергии (фононов). Изменение со временем в днлатонс неравновесной плотности энергии pw опишем урав­ нением кинетического баланса:

Здесь первое слагаемое описывает приток энергии, обусловлен­ ный поглощением проходящих через дилатон фононов со скоро­ стью звука ь и коэффициентом поглощения Г. Второе слагаемое характеризует отток энергии из дилатона за время релаксации (1.52), равное здесь величине А/ г — скорость звука в среде. Предположим существование в дилатоне локального квазирав­ новесия, описываемого присущим равновесию термодинамиче­ ским уравнением состояния (1.43), имеющим при интересующих здесь пас малых деформациях вид

Выражение (2.6) относится к приближению, в котором ре­ шеточные частоты о) (1.40а) при малых деформациях в есть

Оценим коэффициент поглощения Г, который определим как отношение скорости диссипации энергии упругой волны AffKOj за период /КОл к удвоенному потоку энергии ьНкол в волне. Поскольку запасенная в волне с частотой <о и длиной /. энер­ гия Яколсоо)2, а период /кол=л/и, то

Свяжем уменьшение частоты Д(о с потерями на преодоление «трения», в решетке обусловленного энгармонизмом межатом­ ной связи, при котором с учетом (2.7)

ю

Отсюда

3GE Г К

89

Как видно, поглощение растет с уменьшением длины волны Я. Примем, что накачка энергии в дилатон контролируется по­ глощением самых коротких решеточных волн с длиной Я=2а. После этих допущений в выражении (2.5) окончательно по­ лучим

Подстановка в (2.5) выражений (2.9), (2.8) н (2.6) приво­ дит к следующему кинетическому уравнению для деформации е межатомных связей в дилатоне:

Полученное уравнение является нелинейным. Согласно об­ щей теории (см. п. 1.4), характер решения (2.10) определяется корнями полинома Ф(е), график которого приведен на рис.2.4. Имеется три корня е*:

Приближенные равенства в (2.11) относятся к случаю 12(?еКрС1, который имеет место в силу А>>а. Корин соответ­ ствуют особым точкам уравнения (2.10)— стационарным со­ стояниям дилатоиа. Тин особой точки определяется знаком про­ изводной Ф '= ^Ф /de. В данном случае имеем:

Основанный па анализе (2.11), (2.11а) график решения урав­ нения (2.10) приведен на рис. 2.5. В зависимости от значения

90