книги / Физические основы прогнозирования долговечности конструкционных материалов

ния, становятся мнимыми, т. е. при Fo=Fm колебательный ре­ жим разрушается. В этой связи величина

является разрушающей силой. Ее физический смысл заключа­ ется в следующем. Действующая при колебаниях «возвращаю­ щая» сила

«имеет» график, приведенный на рис. 1.8, откуда видно, что при q ^ f / g имеется максимум силы, равный Fт (1.10).

Таким образом, разрушение наступает, когда приложенная сила больше максимального значения возвращающей силы, осу­ ществляющей колебательный режим. Заметим, что при / = 0 потенциал приобретает вид, приведенный на рис. 1.6, линия 3: исчезает потенциальная яма, в которой могут происходить ко­ лебания. Иначе можно сказать, что при разрушении исчезает «связанное» состояние, характеризуемое наличием потенциаль­ ной ямы, осуществляющей колебательный характер движения системы.

Подчеркнем, что разрушить можно только ангармонический осциллятор: в отсутствие энгармонизма при g = 0 уравнение

31

движения осциллятора (уже гармонического) под действием внешней силы следующее:

тс/ + fq = F0

т. е. q = (Fo/f) +А cos (щ/ — Ф). Движение носит характер гар­ монических колебаний вокруг нового положения равновесия растянутой по закону Гука пружины.

Вернемся к выражению (1.106). Подстановка в него (1.11) дает

где введен так называемый коэффициент Грюнайзена

Таким образом, учитывая (1.106), можно сказать, что под действием деформации растяжения в межатомного расстояния а (е=А а/а) частота колебаний становится равной

При малых e«Cl/6G выражение (1.14) принимает вид

Результат (1.14а), называемый соотношением Грюнайзена, устанавливает относительное уменьшение частоты —Да>/<о при деформации е. Как видно, эффект уменьшения частоты обуслов­ лен энгармонизмом межатомного потенциала и исчезает при G =0. С учетом закона Гука е = а/£ соотношение Грюнайзена принимает вид

В силу прямо пропорциональной зависимости между вели­ чинами Дю/о) и а эффект уменьшения частоты может быть ис­ пользован для измерения действующего напряжения о.

Наконец, разделив выражение (1.12) на а2, с учетом (1.13а) получим выражение для напряжения:

которое выдерживает, не разрушаясь, ангармонический осцил­ лятор.

При порядковой оценке учтено, что для твердых тел G= = 1ч-3. Выражение (1.15) дает хорошую оценку предельной прочности твердых тел (так называемого теоретического пре­ дела прочности).

32

Ангармонический одномерный кристалл. Вернемся к рас­ смотренной ранее линейной цепочке связанных осцилляторов, моделирующей одномерный кристалл, но теперь будем считать, что взаимодействие между соседями описывается не гармониче­ ским (1.3), а кубическим (1.2) потенциалом.

Уравнения движения такой системы имеют вид

уравнениями движения своего гармонического аналога. В ан­ гармоническом приближении уравнения движения являются не­ линейными и не допускают точного аналитического решения. В зависимости от величины деформаций e=dq/dx возможно два рассматриваемых ниже типа поведения системы: нелинейные колебания (при малых в) и стохастичность (при больших с).

Длинноволновые колебания в стержне. Перейдем от дискрет­ ной последовательности масс кристаллической решетки к не­ прерывной (сплошной) среде (континууму), осуществив для этого предельный переход а~> 0 (а — расстояние между мас­ сами в отсутствие колебаний). Применительно к кристаллу, где межатомное расстояние а фиксировано, такой переход озна­ чает, что рассматриваются только длинные волны с длиной волны л а, или ак со аГк <С 1. В этом случае дисперсионное со­ отношение (1.9) принимает вид

01=2V^rls,n'f'h aV^r и*

т. е. между со и к устанавливается линейная связь. Другими сло­ вами, в приближении длинных волн дисперсионное соотношение линеаризуется. Его угол наклона, являющийся фазовой скоро­ стью, равен

или (с учетом выражения для скорости v длинных волн и опре­ деления коэффициента Грюнайзена G (1.13а))

< м б а >

Выражение (1.16а) при G= 0 приводит к классическому вол­ новому уравнению в стержне, деформация которого подчиня­ ется закону Гука. Считая далее величину G малым параметром, в первом приближении, сохраняющем лишь первые степени G, т. е. представляя q в виде

q = q 0 + GGq\

имеем

q*= v2 д*д° . (Эх2 *

Таким образом, нулевое приближение q° определяется одно­ родным волновым уравнением, а возмущение ql— решением неоднородного волнового уравнения (с «источником»).

Изотропный континуум. Обобщим приведенные выше соот­ ношения для одномерной сплошной среды на случай трехмер­ ного тела, свойства которого одинаковы во всех направлениях. Его точка с радиусом-вектором г при деформации тела смеща­ ется на величину q(r). Квадрат расстояния между двумя близ­ кими точками

d r 12= dr2+ 2tik dxi dxj,y

где Xi — декартовы координаты, i, k= 1, 2, 3.

По всем дважды повторяющимся индексам производится

где е*А — тензор деформации.

Потенциальная энергия <р деформированного типа, являю­ щаяся скаляром, может зависеть от тензора деформации только через скалярные комбинации компонент е**. Поэтому в общем

34

случае в кубическом приближении (аналогичном (1.2)) с точ­ ностью до константы (являющейся потенциалом недсформиро­ ванного тела)

где ft и К — модули сжатия и сдвига; А , В, С — константы (все эти коэффициенты в рассматриваемом случае изотропного тела являются скалярами).

Подставляя сюда выражение (1.17) и оставляя члены до третьего порядка включительно, получаем

где р — плотность недеформированного тела; 0,7*— тензор на­ пряжений,

(1.19а)

При равновесии смещения не зависят от времени н опреде­ ляются из равенства нулю правой части выражения (1.19). Рели смещения малы настолько, что в выражениях (1.17) и (1.18) можно ограничиваться соответственно линейным и квад­ ратичным членами п тензор деформации принимает вид

то тензор напряжений (1.19а) есть

Oik= 2U£//; -J-(к ----g- *'/ 6ik,

(символ Кронекера).

Это выражение называется законом Гука для изотропного тела. Введя модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона vr] соот­

ношениями

[г= Е/2 (1 4- vn); К = Е/3 (1 — 2vn)»

из закона Гука для компонент тензора деформации имеем

E&z — ozz — vn (oxx + am/);

E tXy = (1 -f- Vnj oXffi

Егху = (1 -f- vn) OJCZI

Егтуг — {\ -f- vn) a,,z.

Рассмотрим одноосное растяжение напряжением о однород­ ного стержня, расположенного вдоль оси х. Тензор напряжении не зависит от координат, и его можно определить из гранич­ ного условия. Таким образом,

а все другие компоненты равны нулю. В приближении закона Гука отличны от нуля только диагональные компоненты сць. (1.17):

(1.19а) при условии <р (1.18) в случае одноосного растяжения стержня, будем пренебрегать всеми компонентами, кроме аХх=

=- р . В этом приближении имеем

дх

ддх

охх — Е дх +(х+к+4 +в+с)(^гУ-

Сравнивая это выражение (с учетом движения (1.19)) с (1.16а), находим, что коэффициент в скобках равен 3GE.

Приведем некоторые дополнительные сведения о тензоре на­ пряжений, которые уже использовались во введении и будут также использованы в п. 4.7 при анализе долговечности в усло­ виях сложнонапряженного состояния. В деформированном теле возникают силы (так называемые внутренние напряжения), стремящиеся вернуть его в исходное состояние. Действующая на выделенный объем тела суммарная сила

F = f idV,

V

где f — объемная плотность силы.

36

Этот интеграл состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое представляет собой сумму внутренних сил, равную нулю по третьему закону Ньютона. Второе слагаемое является суммой сил, действующих через поверхность данного объема со сто­ роны его окружения. Для того чтобы интеграл по объему пре­ образовать в интеграл по поверхности, необходимо представ­ ление

с_ duik

''о х к

Тогда

Тензор Gih называется тензором напряжений. Из его опреде­ ления видно, что произведение cnt dSh есть /-я компонента силы, действующей на элемент поверхности dS. Соответственно ощ — /-я компонента силы, действующая на единицу поверхности, пер­ пендикулярную декартовой координатной оси xtl. Как и пол­ ная сила, действующая на объем К, се момент также должен выражаться в виде интеграла по поверхности объема. Это означает, что в выражении для компонент тензора момента силы

последнее слагаемое равно нулю.

Другими словами, мы установили симметрию тензора напря­ жений. Нормальное напряжение на произвольно ориентирован­

37

называется средним, или гидростатическим, давлением, а тензор Sij = а*/ — 067

называется девнатором напряжений; 6ц — символ Кроиекера. Введем понятие главных напряжений. В прямоугольной де­ картовой системе координат охи направление, определяемое еди­ ничным вектором п, называется главным направлением тензора

Условием существования ненулевых решений является ра­ венство нулю определителя, составленного из коэффициентов этой системы:

| оц — obtj | = 0.

Это уравнение является кубическим и может быть приве­ дено к виду

По свойству корней кубического уравнения 0*, /= 1, 2, 3, со­ отношения между ними и коэффициентами / г имеют следующий вид

38

Корни oi называются главными компонентами тензора на­ пряжений. Они всегда вещественны н не зависят от выбора ко­ ординатной системы. Соответственно являются инвариантными и величины U.

Три главных напряжения вводят инвариантное (для опреде­ ленности декартово) о-простраиство. В нем любые комбинации компонент <Xj, 02, 0.3 остаются неизменными (инвариантными) при преобразовании системы координат в физическом простран­ стве. Так как тензор напряжений имеет три базисных инвари­ анта, в качестве которых могут быть выбраны три любых независимых инварианта этого тензора, то можно образовать, вообще говоря, неограниченное множество инвариантных про­ странств тензора напряжений. Выбор того или иного инвари­ антного пространства неоднозначен и определяется характером задачи. Например, в ряде случаев удобно рассматривать Н-про- странство [192]:

называются главными касательными напряжениями. Комбинацию

называют интенсивностью касательных напряжений.

Вид напряженного состояния, задаваемый соотношением главных значений тензора напряжений, часто характеризуют с помощью так называемого коэффициента Лоте—Иадап

Механические критерии разрушения изотропных материалов при сложном нагружении. При механическом подходе, не рас­ сматривающем природы разрушения и опирающемся на пред­ ставление о существовании предельного состояния (предела прочности) материала, тела считаются твердыми (неразрушен­ ными), если изображающие их напряженные состояния точки в о-пространстве (главных напряжений 0/) не выходят за гра­ ницы некоторой (называемой предельной) поверхности. Эта поверхность отвечает представлению о пределе прочности. Вы­ бор ее неоднозначен и связан с «теорией прочности» (см. вве-

39

деиис) и проверкой на опыте. Однако выбор ограничен тем* что предельная поверхность должна удовлетворять ряду усло­ вий. Во-первых, для изотропных материалов уравнение пре­ дельной поверхности в су-пространетве

F (o d = 0, / = 1 , 2 , 3 ,

должно иметь действительные корни и быть инвариантом лю­ бых перестановок переменных су*. Это выполняется для пере­

менных Л ь Л ^, Л я.

Другое условие называется постулатом Друккера и требует выпуклости предельной поверхности, т. е.

у M i > К i.kLi d°i<'r'k

где 6* — некоторые произвольные переменные. (Коль скоро по­ нятие прочности сохраняется в кинетической теории, в ней эти условия должны быть также выполнены.)

Не ставя перед собой цели проведения детального обзора ме­ ханических критериев разрушения (они содержатся в работах [113, 192, 235]), рассмотрим основные из них главным образом для контраста с развиваемыми в монографии кинетическими подходами.

1. Критерий Галилея—Ренкина наибольших нормальных на­ пряжений. Принимается, что разрушение наступает, когда наи­ большее главное напряжение ст/ достигает предельного значе­ ния аПр. Здесь предельной поверхностью является куб со сто­ роной 2а1ф.

2. Критерий Кулона наибольших касательных напряжений. Наступление разрушения связывается с критическими значе­ ниями максимального касательного напряжения:

шах (| о, — сь |, \а2 — ст., I, |оа — а,|) — а11р.

Это условие в а-простраистве задаст поверхность правиль­ ной шестигранной призмы с осью 01=02 = 03, называемой гидро­ статической (точкам на этой оси отвечают гидростатические на­ пряженные состояния). При плоском напряженном состоянии, когда a/ = ai, 02, 0, предельное условие определяется сечением призмы плотностью су3 = 0, имеющим форму шестиугольника.

3. Критерий Максвелла наибольшей интенсивности касатель­ ных напряжений. Здесь предельная поверхность есть

(<У1 — ОI f "Г (о? — Оз)~ “Г (оз — 0\) = 2оПр.

Она соответствует поверхности цилиндра с гидростатической осью, описанной вокруг призмы Кулона (предыдущий кри­

терий).

Стохастичность. Чтобы выяснить характер движения атомов в ангармоническом кристалле при больших деформациях, пре-

40