книги / Физические основы прогнозирования долговечности конструкционных материалов

гг — Л/и, где длила свободного пробега фононов [27] может быть приведена к виду A f a ~ E a 3l3G-kT. Таким образом, в дан­ ном случае

(1.546)

где а — межатомное расстояние; о — скорость звука.

Видно, что прсдэкспонента оказывается порядка характер­ ного (дебаевского) периода тепловых атомных колебании то ~

~10”13 с.

Рассмотренное преодоление барьера называется термоакти-

внрованным надбарьерным переходом. Переход в силу его стаТМГТ1ШРГКПГП механизма возможен за

Специфическая температурная зависимость в (Г) (1.54а) на­ зывается аррсниусовской.

Отметим, что наряду с термоактивированным надбарьерным переходом в принципе возможно преодоление барьера посред­ ством иодбарьерного квантового туннелирования, которое вы­ звано делокализацией частиц, описываемых волновой функцией. При этом температурная зависимость отсутствует. Механизм квантового иодбарьерного перехода становится лимитирующим в твердом теле при температурах, близких к абсолютному нулю, и далее рассматриваться нс будет.

Резервуар релаксации. Выше предполагалось, что мстастабнльное тело с достоверностью распадается путем термоактшшрованного преодоления барьера, п изучалась кинетика распада. Однако в статистической системе наступление любого события имеет вероятностный характер. Таким образом, возникает во­ прос о вероятности распада (безотносительно времени этого ожидания). Или, другими словами, какое число элементов в си­ стеме, состоящей из No эквивалентных метаста билиных тел, рас­ падается? Для ответа рассмотрим и сравним два состояния метастабильной системы: начальное (0), содержащее No элемен­ тов, и конечное (/), являющееся смесью некоторого числа Nr (подлежащего определению) отрелаксированных элементов паря ту с N — No— Nr элементами, сохраняющими метастабпльнос состояние. Оба состояния по отдельности равновесны и ха­

71

рактеризуются распределением Гиббса (1.30), т. е. заселенно­ сти энергетического уровня Н (среднее число элементов с энер­ гией Н) есть

где {//}— энергетический спектр элемента в соответствующих состояниях; F — свободная энергия.

Релаксация сопровождается изменением заселенностей на начальных уровнях по сравнению с конечным состоянием, т. е. число отрелаксировавших элементов

В этой связи величину Сг назовем емкостью резервуара релак­ сации.

Как видно из (1.55а), величина Сг имеет смысл (Сг <Со) только при ДF < 0, то есть при снижении свободной энергии в процессе распада метастабильного состояния, что и обу­

щего его барьера U и выигрышем в свободной энергии при рас­ паде AF — соответственно возникают две характеристики ре­ лаксации метастабильности: скорость распада, описываемая ве­ роятностью P(t) (1.54) перехода через барьер U за время t, и емкость резервуара релаксации Сг (1.55а), определяющего объемную концентрацию элементов, распад которых термоди­ намически выгоден, зависящий от величины \F. В целом, кон­ центрация метастабильных элементов, распавшихся за время /, есть

Образование диссипативных структур. Рассмотрим открытую систему, границы которой подвижны и открыты для потоков энергии н вещества. В силу тождества Гиббса (1.26) изменение

72

объема, энергии и числа частиц приводит к изменению энтропии 5 системы. Для открытой системы скорость «$ изменения энтро­ пии можно представить в виде суммы

где Se— внутреннее производство энтропии в системе; Si — внешнее поступление через границы.

При выделении границы внутренняя часть системы оказы­ вается замкнутой, и согласно принципу Клаузиуса всегда

0. (1.57а)

Иначе говоря, в системе нарастает хаос, ее структура, под которой в общем случае надо понимать некий «порядок» (малое число состояний Q), нагружается, упрощается (характеризуется большим числом состояний). Знак слагаемого Si в (1.57) мо­ жет быть произвольным. Если Si < 0 и достаточно велико и в сумме (1.57)

стема эволюционирует не к хаосу, а к более сложной струк­ туре. Таким образом, при достаточно мощной подпитке через границы возможна самоорганизация, т. е. спонтанное (самопро­ извольное) образование высокоупорядочениых (сложных) струк­ тур из хаоса. Такие, извне поддерживаемые структуры, называ­ ются диссипативными (Прпгожин, 1967 г.). (Раздел физики, изучающий диссипативные структуры, иногда называют «синер­ гетикой».)

Итак, диссипативные структуры возникают при выполнении следующих условий.

1.В неравновесной системе, когда

2.В открытой системе, когда SP< 0 (осуществляется на­

качка отрицательной энтропии).

3. При достаточно интенсивной накачке, когда |Sr>|>5,, т. е. при переходе через некий порог (точку «бифуркации» — ветвления траектории эволюции), соответствующий достаточно мощному сжатию системы, увеличению ее массы или энергии (см. (1.26)).

Таким образом, в природе существуют два основных класса необратимых процессов: 1) разрушение структуры вблизи поло­ жения равновесия (которое универсально при произвольных ус­ ловиях); 2) возникновение диссипативных структур вдали от положения равновесия (при сверхкритических значениях пара­ метров, за точкой бифуркации). Диссипативная структура воз­ никает скачкообразно (как некое новое качество системы) и на­ ходится в подвижном равновесии с окружающей средой, воз­

73

действующей ни систему через ее границы (в этой связи возникновение диссипативной структуры иногда называют ки­ нетическим фазовым переходом).

Приведем примеры возникновения диссипативных структур. 1. Эффект Бенара (экспериментально открыт в 1900 г.). Иа сковородку наливают слой масла и подогревают. Бели Т\ и Т'1— температуры нижней и верхней частей слои, а поток тепла

равен /н, то скорость изменения энтропии

Как видно, такая система отдает энтропию (или, что то же, получает отрицательную энтропию). Опыт показывает, что при достаточно большом (критическом) значении разности Т±— Т\у зависящем от условий проведения опыта (вида масла и др.), жидкость в сковородке разбивается на правильной формы (гек­ сагональные) ячейки. Аналогичную ячеистую структуру обла­ ков можно наблюдать с борта самолета. В этом примере впчпо

тивное (кооперативное) движение (синергетическое), обладаю­ щее меньшим числом степеней свободы; энтропия при этом по­ нижается. Эта структура возникает скачком при достижении притока отрицательной энтропии критической скорости.

2. Другой пример — биологические объекты, включая чело­ века. С точки зрения физики конца XIX века, которая ограничи­ валась рассмотрением эволюции замкнутых систем, подчиняю­ щихся принципу возрастания энтропии, биологическая эволюция как переход от простейших к все более сложным структурам была необъяснимой. Единственная попытка объяснения своди­ лась к отождествлению биосистем и жизни в целом флуктуа­ циям. Но флуктуации должны рассасываться, т. е. в конечном счете жизнь должна прекратиться. Этот неутешительный вывод, отвергают изложенные выше представления синергетики, уста­ навливая (в согласии с реальностью), что жизнь (биологические объекты, человек, популяции животных, города, социальные системы и т. д.) может существовать неограниченно долго при достаточном количестве «пищи», доставляющей в систему энер­ гию и массу.

Характер образующихся диссипативных структур, понимае­ мых в широком смысле как определенные способы связей в про­ странстве и времени элементов системы, диктуется стационар­ ными устойчивыми решениями соответствующих кинетических уравнений баланса. Они нелинейны и имеют вид системы

74

Нелинейность кинетических уравнений приводит к обратной связи, саморегулировке. Образование структур проявляется как форма самоорганизации системы, наступающей при переходе управляющих параметров хо/ через пороговые значения (точки бнфуркании). При этом состояние системы качественно меня­ ется (что иногда по терминологии Тома называется ката­ строфой) .

Ограничимся одномерным (п=1) случаем. Тогда х = Ф(х), где Ф(х) — некоторая функция. Не корпи xft определяются ре­ шением уравнения Ф(Х/{) =0. Положения равновесия могут быть устойчивыми или неустойчивыми в зависимости от того, возвра­ щается или не возвращается система в исходное положение при малом отклонении Лхо (возмущении) в начальный момент вре­ мени /= 0 . Согласно Ляпунову критерием является знак произ­ водной Ф в корневой точке. Так, если

< 0 — равновесие устойчивое;

(1.59)

> 0 — равновесие неустойчивое.

В самом деле, в малой окрестности Ах корня хь. возможно разложение

Ф (хк+ Ах) = Ф (xk) + Ах - g - (*й) + . . . « Д* - g -

.и изменение х = х*+ Ах описывается уравнением

решение которого даст

х = хк+ ДХо ехр Г ( х , ) 11.

В этом выражении второе слагаемое (возмущение) в устой­ чивом положении со временем затухает, а в неустойчивом — нарастает, уводя систему из исходного состояния.

Рассмотрим в качестве примера образования временной структуры одномерный процесс размножения с ограничением и уничтожения некоторого вещества, описываемый уравнением

с ростом х, величина хо играет роль ограничителя размноже­

75

Глава 2

ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ АКТ ТЕРМОФЛУКТУАЦИОННОГО РАЗРУШЕНИЯ

2.1. Структурный и термофлуктуационный подходы

Тсрмофлуктуационная природа разрушения требует сопоста­ вить разрушению процесс, протекающий во времени в нагру­ женном теле и ведущийся тепловыми флуктуациями, и ставит вопрос о характере его элементарного акта — «кванта разруше­ ния». В настоящее время вопрос этот не решен окончательно. Существующие различные точки зрения отвечают двум подхо­ дам, которые соответствуют указанным во введении структур­ ному и термофлуктуанионному этапам развития представлений о разрушении.

При структурном подходе используется тот эксперименталь­ ный факт, что появлению трещин всегда предшествует микронластнчсская деформация, реалпзуедтая развитием некоторой дефектной структуры. Он привлекается как свидетельство нали­ чия между пластической деформацией и разрушением причин­ но-следственной связи: разрушение предстает как «критический» этан структурной эволюции. Если ранее дефекты структуры (трещины и дислокации) привлекались как источники концен­ трации напряжений, поднимающие приложенную величину о до значения предела оцх (см. введение), то после возникновения кинетической концепции, в которой допускаются любые локаль­ ные значения напряжения сг.ь играющего роль параметра, ис­ пользуется иное свойство дефектов, а именно то, что их сущест­ вование связано с наличием разорванных или сильно растяну­ тых межатомных связей (рис. 2.1), т. е. с наличием определен­ ной «пустоты». В этом аспекте элементарный акт разрушения отождествляется с перемещением дефектов — элементарных но­ сителей пластической деформации (в кристаллах это вакансии, межузельные атомы, дислокации) и их объе шиеннем в тре­ щину, основным отличительным признаком которой является наличие свободных (т. е. невзаимодействующих .между собой) поверхностей. (Трещиной называется область, ограниченная свободной поверхностью.) Поскольку взаимодействие плоскостей описывается парным межатомным потенциалом вида (1.2), об­ разование свободных поверхностей связано с разрушением

77

ангармонического осциллятора (см. п. 1.1). Однако, когда речь идет о кристаллах, в которых взаимодействуют одновременно большие группы атомов, нельзя говорить о разрыве отдельных межатомных связей, поскольку элементарные нарушения сплош­ ности являются многоатомным коллективным процессом [53]. При структурном подходе утверждается, что точечные дефекты и дислокации осуществляют нс только пластическую деформа­ цию кристаллов. Их скопления являются зародышами наруше­

ний сплошности, которые при подходя­ щих условиях могут превратиться в растущие трещины, приводящие к раз­ рушению образца. Поэтому микроско­ пические нарушения сплошности сле­ дует рассматривать как элементы дефектной структуры кристалла, а процесс разрушения — как одну из стадий эволюции дефектной структу­ ры [167]. Структурный подход полу­ чил широкое распространение и кон­ кретизацию в ряде моделей. Для кри­ сталлических тел наиболее известны следующие модели.

В ряде работ зарождение трещин связано с точечными де­ фектами— вакансиями и межузельными атомами. Модель Пинеса [191] основана на предположении, что образующиеся в про­ цессе пластической деформации вакансии диффундируют к имеющимся в теле открытым поверхностям (трещинам, гра­ ницам зерен и др.), гДе их концентрация понижена. Выход ва­ кансии на поверхность рассматривается как элементарный акт разрушения. Направленность этого процесса обусловлена тем, что на поверхности, нагруженной напряжением стг, равновесная концентрация вакансий понижена, т. е. химический потенциал вакансии увеличен на Д р,»а3<7г, и энергия диффузии к пей ва­ кансии есть f/sd — где C/sd — энергия самодиффузнн. Исли эта поверхность задана плоской порой из п объединившихся

вакансий, то о с ~ л/пв, гДе а — приложенное напряжение. Энер­ гия активации элементарного акта разрушения по вакансиопиодиффузионному механизму есть

Любой сток вакансий является одновременно потенциаль­ ным источником межузельных атомов. Всюду, где химический потенциал вакансии понижен на величину Ар, химический по­ тенциал межузельного атома повышен на ту же величину. На этой основе Индснбом [100] предположил, что массонеренос при росте трещин и пор осуществляется межузельными атомами, образование которых контролируется неконсервативным двнжс-

78

нием дислокаций. При достаточно высоких с и Т такой массоперснос превосходит вакансионный и определяет элементарный акт разрушения с энергией активации

где Ui — энергия образования межузельного атома; / — расстоя­ ние между ступеньками на дислокации.

Владимировым и Орловым [52] развита дислокационная мо­ дель Мотта [287] и Стро [297] зарождения трещин путем слия­ ния краевых дислокаций в заторможенном скоплении. Такому слиянию, приводящему к расширению полости, которую уже представляет собой ядро одиночной дислокации (в области ко­ торого атомы удалены), препятствует отталкивание одноимен­ ных дислокаций. Стро показал, что чисто силовое зарождение трещины в данной модели возможно лишь тогда, когда внут­ ренние напряжения достигают величины теоретического пре­ дела прочности oth. В отличие от Стро Владимиров и Орлов рассмотрели термоактивированное слияние дислокаций. Ими предположено, что процесс слияния лимитируется объедине­ нием двух головных дислокаций, которое происходит анало­ гично движению дислокации посредством термически активиро­ ванного выброса двойного перегиба. В работе [51] показано, что энергия активации U ( G ) перегиба с учетом взанлюдеистиия со скоплением есть

где Е — упругий модуль; а — межатомное расстояние.

Кроме описанной простейшей модели дислокационного за­ рождения трещины существуют и более сложные. Их обзор со­ держится в работе [53]. Отметим механизм, связанный с про­ хождением дислокаций через границы зерен, при котором на границе генерируются зернограпичпые дислокации несоответст­ вия. Зарождение трещин осуществляется при локальных напря­ жениях сл < Ош за счет объединения нескольких дислокаций. Этот механизм наблюдался экспериментально [225].

При структурном подходе считается, что время до разруше­ ния детерминировано скоростью пластической деформации (рас­ сматриваемой в настоящее время как термоактивнрованный процесс) и может, вообще говоря, контролироваться как вре­ менем подготовки «критической» дефектной структуры (напри­ мер, формированием заторможенного скопления дислокаций), так и временем ожидания разрушающих перестроек в критиче­ ской структуре (например, объединением дислокаций в скоп­ лении).

При постоянном напряжении н достаточно высоких темпера­ турах структура формируется сравнительно быстро и время до разрушения лимитируется трещинообразующими перестройками

79

в стабильной системе дефектов. При этом соответствующие энергии активации [для рассмотренных механизмов они даются выражениями (2.1) —(2.3)] имеют характер энергии активации разрушения, фигурирующей в формуле для долговечности. Та­ кой баланс времени вызван меньшими значениями энергии активации пластической деформации.

Однако считается, что в активном режиме при нагружении с заданной скоростью пластической деформации г значитель­ ную роль играет формирование в условиях возникновения кон­ центраторов напряжения в непрерывно перестраивающейся де­ фектной структуре и их пластической релаксации со скоростью рел «критической структуры». Существенно, что здесь понятие критической структуры не морфологическое, а «термокинетиче­ ское» [212], и трешииообразование связано с неравенством

Грел <С Г,

при выполнении которого в структурно-обусловленных местах со скоростью, определяемой структурной кинетикой, локально растут внутренние напряжения. Поскольку такой рост возмо­ жен вплоть до величины теоретического предела прочности оць в данной модели кинетика собственно разрушения не имеет ли­ митирующего характера.

Описанные выше механизмы зарождения трещин в кристал­ лах приводят, как видно в частности из формул (2.1) —(2.3), к различным выражениям для энергии активации U и соответ­ ственно к различной интерпретации ее «начального» значения С/о, получаемого при экстраполяции силовой зависимости U(o) на нуль напряжения. Так, в (2.1) Uo равно энергии самодиффу-

турно-силовых условий возможна реализация различных меха­ низмов, то приведенные результаты свидетельствуют об отсут­ ствии для кристаллов единообразного выражения для энергии активации разрушения. Этот вывод усиливается, если принять во внимание, что структура пластически деформируемого тела, ее типичные элементы и дефекты существенно изменяются при переходе от одного класса твердых тел к другому (например, при переходе от кристалла к полимеру, в котором нет точечных дефектов и дислокаций). Вместе с тем эмпирическая формула Журкова свидетельствует об обратном, устанавливая универ­ сальное выражение энергии активации U для самых разнооб­ разных тел с различными типами межатомной связи, надатомной и дефектной структур. Согласно опытным данным

где величина Uo для различных материалов хорошо коррели­ рует с энергией сублимации С/с>-ол [208] (табл. 2.1) вне зависи-

80