книги / Физические основы прогнозирования долговечности конструкционных материалов

меии жизни под нагрузкой идет подготовка материала к раз­ рушению, связанная с термофлуктуационной генерацией и на­ коплением нарушений сплошности — трещин. Это позволяет по­ ставить задачу о прогнозировании времени до разрушения. В рамках механической концепции такая возможность отсутст­ вует.

В самом деле, с позиций представления о пределе прочности ьак харак!сристики материала тело под нагрузкой может на­ ходиться только в двух состояниях: исходном и разрушенном. Создание «неразрушаемых» конструкций при этом сводится к расчету действующих напряжений, с тем чтобы они не превос­ ходили предела прочности конструкционного материала, опреде­ ленного заранее на основании лабораторных испытаний. Про­ гнозировать здесь можно лишь вероятность запредельных раз­ рушающих нагрузок. Обеспечение надежности конструкций до­ стигается заданием им «запаса прочности», т. е. эксплуатацией при напряжениях, в несколько раз меньших предела прочности. Такой подход оправдывает себя, когда можно задать большой запас прочности. Но даже в этих случаях при длительной экс­ плуатации накапливаются трещины, и в конце концов наступает разрушение. В экстремальных условиях, когда по различным причинам большой запас прочности недопустим, этот подход становится особенно неудовлетворительным.

Термофлуктуационная природа разрушения приводит к прин­ ципиально иной постановке задачи о его прогнозировании. Рас­ сматривать два состояния объекта — исходное и разрушенное — недостаточно. Необходимо учесть, что в нагруженном теле тепловые флуктуации приводят к локальным нарушениям сплошности — трещинам, и разрушение тела предстает как возникновение неустойчивости на «критической» стадии трещипообразования. Генерация трещин, связанная с ожиданием раз­ рушающих термофлуктуацнй, протекает во времени, т. е. явля­ ется кинетическим процессом. Таким образом, возникает воз­ можность прогнозирования времени до разрушения путем оценки меры трещичообразовання и скорости се приближения к критическому значению.

Детализация изложенного подхода к прогнозированию кине­ тики разрушения и составляет основное содержание книги. Оно состоит в объяснении зависимости от условий нагружения кине­ тики накопления трещин и их критической меры, вызывающей разрушение, в выработке на этой основе подхода к оценке проч­ ностных характеристик н установлению признаков, позволяю­ щих прогнозировать переход объекта в предразрывное состоя­ ние и ресурс его долговечности.

Закончим обоснование нового кинетического подхода к про­ гнозированию следующим замечанием. Согласно формуле (В.З) время разрушения очень сильно (экспоненциально) уменьша­ ется при возрастании напряжения о. Отсюда следует, что

21

Глава 1

ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ТЕПЛОВОГО АТОМНОГО ДВИЖЕНИЯ

В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ

Термофлуктуационная природа разрушения связывает его механизм с закономерностями атомного движения в твердых телах. В рамках традиционной механической концепции инфор­ мация о таких закономерностях не является необходимой и в литературе по вопросам прочности не приводится. Этот про­ бел восполнен в данной главе, где приведены основные сведения об атомной динамике твердых тел, привлекаемые в настоящее время при выяснении механизма термофлуктуационного заро­ ждения трещин. Поскольку полный анализ движения ансамбля сильно взаимодействующих частиц современной физике недосту­ пен, использовано индуктивное изложение, начинающееся с рас­ смотрения простейших моделей, последовательно усложняемых (гармонический и ангармонический осцилляторы, одномерный кристалл, изотропная сплошная среда) различными методами (классической, квантовой и статистической механик).

1.1. Классическая механика осцилляторов*

Основная задача классической механики системы N одинако­ вых частиц массой т , задаваемой совокупностью qi обобщен­ ных координат ( i = 1, 2, ...),— отыскание траектории движения q-(t) — сводится к решению уравнений, формулируемых на ос­ нове II закона Ньютона:

В твердом теле обычно существенно лишь взаимодействие ближайших соседей. Для одномерного движения, реализуемого в линейной цепочке атомов (одномерный кристалл), график парного потенциала представлен на рис. 1.1. Величину а, отве­ чающую равновесию (минимуму ф), называют равновесным межатомным расстоянием. Разложение потенциала в ряд Тсй-

* В этом параграфе использованы работы [62. 113. 127, 137, 139].

23

связи (работой по разведению пары атомов на бесконечность), которую обозначим D, второе слагаемое равно нулю, вторую и третью производную в точке равновесия обозначим f п g. Та-

с сохранением членов до третьего порядка приводит к потен­ циалу

Ч(<7) = —0 + — -§■ <}\ (1-2)

называемому кубическим.

Пели рассматриваются малые смещения q, достаточно огра­ ничиться квадратичным членом:

Система с таким потенциалом называется линейным гармо­ ническим осциллятором, а при отклонении потенциала от вида (1.3) — ангармоническим осциллятором.

Линейный гармонический осциллятор. Бегущая волна. На­ глядной моделью линейного гармонического осциллятора явля­ ется продольное колебание массы т на упругой пружине с же­

■24

Таким образом, движение линейного гармонического осцил­ лятора имеет характер простейшего колебания. Важно отметить, что циклическая частота о* является собственной, определяемой только внутренними параметрами системы (значениями / и т), тогда как амплитуда колебаний А зависит от внешних условий (заданной энергии), сдвиг фазы Ф вводит отсчет времени /о= =Ф/оэ (со/ — ф = со(/— /о)) (в этой связи Ф можно назвать на­

чальной фазой).

Энергия колебаний определяет амплитуду

Рис. 1.3. Два связанных осцил­ лятора

Рассмотрим одномерный стержень, координата точки в кото­ ром х е (0, оо). Рели смещение q от положения равновесия в точке х есть

? = Л cos |ю (*- - £ ) ] .

то говорят, что в стержне распространяется гармоническая бе­ гущая волна с фазовой скоростью v. При этом каждая точка с координатой х через время xjv от начала процесса (иначе го­ воря, со сдвигом фазы о>xjv) колеблется как гармонический ос­ циллятор. Величина wfv = к называется волновым числом, вве­ дение которого позволяет записать выражение для бегущей волны в виде

Расстояние ?и= у/К0Л, которое волна пробегает за период ко­ лебания /,:(к1= 2я/о> (или расстояние между ближайшими точ­ ками, колеблющимися в одинаковой фазе), называется длиной волны, а — 2л/к.

Продольные гармонические колебания двух связанных оди­ наковых масс. Нормальные моды. Биения. Рассмотрим пред­ ставленную на рис. 1.3 модель, состоящую из двух масс т и грех упругих пружин с жесткостями /, причем две крайние пру­ жины закреплены. Эта система полностью характеризуется сме­ щениями <7i и q« масс от положения равновесия и имеет потен­ циальную энергию (трех деформированных пружин)

25

что приводит в (1.1) к следующей системе уравнений движения масс:

| //«/, = —2/4, + fq,;

1 mq, = —2fqs + fq,.

Как видно, в каждое уравнение вошли как переменная <7«, так и </2. Переменные можно разделить, сложив и вычтя эти уравнения. Тогда имеем

( т (</i + q«\ — —f (Q\ + ^-j); I т (qx— <7о) = —3/ (qx— q i).

Отсюда, введя новые переменные, получим

QI =Q I + Q2\ = —

mZji = —fqi; тЦъ— —Щ 2.

Таким образом приходим к уравнениям для гармонических осцилляторов, причем эти осцилляторы являются независимыми. Их решения есть

<7, 2 = A cos (colt 2t — Ф|, ?).

Если колебательное движение системы описывается суммой (наложением, суперпозицией) гармонических колебаний (гар­ моник) с разными частотами, то слагаемые суммы q называ­ ются нормальными модами (или просто модами) колебаний. Введение термина «мода» означает коллективное движение. Принято нумерацию мод вести по возрастанию частоты (т. е. первая гармоника самая низкочастотная). В случае системы, изображенной на рис. 1.3, имеются две нормальные моды с ча­ стотами o)i и 0)2, определяемыми выражениями (1.7). Эти моды имеют конкретный физический смысл: величина <71/2 задает ко­ ординату центра масс, a qo описывает деформацию центральной пружины, связывающей массы.

Полная энергия системы равна сумме полных энергий нор­

26

сжимается па А, а третья пружина покоится. Тогда смещения масс (1.7) будут следующими:

Рис. 1.4. Изменение со временем / энергий И связанных гармониче­ ских осцилляторов

Как видно, массы совершают колебания с одинаковой ча­ стотой

= (м, + оъ)/2.

по -JTII колебания нс являются гармоническими, поскольку ам­

Когда амплитуда первой массы достигает максимума, ампли­ туда второй массы равна нулю и наоборот. Энергия системы

стот. Обобщим систему (рис. 1.3) и будем рассматривать линей­ ную цепочку N масс т, связанных пружинами с жесткостями /,

вкоторой происходят продольные колебании со смещением qL от положения равновесия i-й массы. Если под массами пони­ мать атомы, то такая система моделирует одномерный кристалл

вгармоническом приближении парного потенциала межатом­ ного взаимодействия. Потенциальная энергия рассматриваемой системы

27

являясь системой Л связанных уравнении, которые можно на­ звать дифферснциалыю-копечноразностными уравнениями. Сколь-нибудь общего алгоритма решения такого рода уравне­ ний не существует, и практический единственный метод поиска аналитического решения заключается в том, чтобы угадать за­ висимость qi(t) на основе физических соображений.

Поскольку в системе связанных масс происходят гармони­ ческие колебания, и наиболее общей формой гармонического колебательного движения в одномерной системе является бегу­ щая волна (1.6), ищем решение уравнений движения в виде

жения дает

— mA(sf cos (г.>/ — Kid) — —fA [2 cos (ш/ — icia) —

— cos (со/ — Ki + ка) — cos (ajt — id — ica)\.

Отсюда, складывая два последних косинуса в правой части по формулам тригонометрии, имеем

—mAo2 cos (со/ — Kia) = —2f (1 — cos ка) A cos (со/ — Kid).

Возможность сокращения па Л cos (со/ — Kia) указывает на правильность угаданного функционального вида qi(t) и уста­ навливает связь между его параметрами со и к (так называе­ мое дисперсионное соотношение) в форме следующего урав­ нения:

Анализируя полученное дисперсионное соотношение, можно заключить, что со не зависит от /, т. е. все массы колеблются с одинаковыми циклическими частотами, совершая коллектив­ ное движение (модовое). Каковы эти частоты? Ответ дается дисперсионным соотношением (1.9): возможно множество ча­ стот со в зависимости от значении волнового числа к, которому «разрешено» меняться в интервале от —л/а до л/а. Совокуп­ ность разрешенных значений со называется спектром собствен­ ных частот. В данном случае спектр частот является непрерыв­

ным. Максимально возможная частота (ornax-=2У /Vm в два раза больше частоты одиночного осциллятора с параметрами / и т.

28

В приведенном рассмотрении не были использованы гранич­ ные условия. Зададим их, учитывая размер цепочки, в виде цикличности. В этом случае цепочка «сгибается» в кольцо так, что qi = qi+K для всех L С учетом выражения для qi (1.8) та­ кое граничное условие следующее:

cos (со/ — Kia) — cos (со/ — Kia — KNа),

что удовлетворяется при

rcNa = ±2nj, j — 1, 2, ..., М/2.

Таким образом, спектр (разрешен­ ное множество) значений становится дискретным

/С; = ± - щ - / \ / = 1, 2, .... N/2.

(1.9а)

и содержит всего N значений. Вследствие этого частотный спектр

также становится дискретным, и дисперсионное соотношение принимает

вид, приведенный па рис. 1.5; точки соответствуют разрешен­ ным значениям. В «длинной» цепочке при ЛГ-voo «щель» между частотами

6к = Kj +1— Kj = 2a/Na

стремится к нулю, т. е. спектр становится непрерывным (сплошным).

Разрешены длины волн Я = 2л//с = Na/j> откуда видно, что самая короткая волна имеет длину ЯШт = 2а, а самая длинная — Ят ;)х=А^а. Другими словами, в цепочке не могут распростра­ няться волны с длиной короче двух расстоянии между атомами и длиннее длины цепочки.

Смещения масс (1.8) являются суперпозицией колебатель­ ных мод, задаваемых спектром волновых чисел К/, т. е.

Колебательные моды независимы, и обмена энергией между ними пет. Амплитуда каждой моды остается со временем по­ стоянной величиной, связанной с се энергией соотношением (1.5). Однако из-за эффекта биений амплитуда смещения от­ дельных масс атомов испытывает отклонение от среднего зна­ чения (превышая его максимум в N раз). Можно ли их интер­ претировать как флуктуации атомного движения? Очевидно, что нет, поскольку эти отклонения имеют детерминированный периодический характер, тогда как флуктуации являются слу­

29

чайным процессом. Как будет показано далее, случайное пове­ дение возникает лишь в ансамбле ангармонических осцилля­ торов.

Линейный ангармонический осциллятор. Воздействие внеш­ ней силы и разрушение. Ограничимся рассмотренном ангармони­ ческого осциллятора с кубическим потенциалом (1.2). Прило­ жим к нему внешнюю растягивающую

силу Fo. Исходный потенциал

что устанавливается приравниванием коэффициентов при оди­ наковых степенях q.

Видно, что вторая форма записи потенциальной энергии ос­ циллятора, нагруженного силой Fo (1.10), соответствует исклю­ чению работы внешней силы (Foq) путем так называемой пере­ нормировки параметра жесткости f. При этом возникает новый кубический потенциал, в котором изменилась величина f, поло­ жение равновесия сместилось на Аа и уменьшились энергия связи, глубина потенциальной ямы. Эти эффекты иллюстрирует рис. 1.6.

Рассмотрим как функцию Fo деформацию связи

гИ'-V '--£-)• <'•">

которая характеризует относительное увеличение равновесного расстояния под действием растягивающей силы Fo.

График зависимости (1.11) приведен на рис. 1.7. Начальный

30