книги / Системы экстремального управления

Пусть / (2) = g sin 0)2, т. e. имеет место гармоническая модуляция. Тогда выход первого инерционного звена будет иметь вид

у (2) = Wx (р) (х -\- g sin 0)2) = х 4- gGx (o))sin[o)2 — <px(o))], (7.4.3)

где Gx (со) — амплитудно-частотная характеристика пер­ вого звена, а фг (о)) — фазово-частотная характеристика этого же звена. Эти функции определяются из следующих соображений.

Пусть передаточная функция Wx (р) имеет вид

где, как обычно, р = ^ — оператор дифференцирования.

Подставляя v = g sin 0)2 в уравнение и = Wx (р)и, ищем решение в виде и = gG (со) sin (о)2 — Фх (ш))- После необхо­ димых преобразований получаем выражения:

У 1 + т2©2

Далее, разрешая (7.4.1), имеем

q (t) — к [у (t) — у*]2 + д*

или

q (t) = к {х — у* + gGj (to) sin [coi— <px (©)]}2 -f q*. (7.4.8)

Переходим к выходу объекта:

Q (t) = W2 (p) q(t) = к (x — y*)2 + q* +

+ 2kg (x — y*)Gi (<Ù)G2(o))*sin Ы — ф^ю) — <pa (to)] +

+ % kg2G\ (со) — Y kg2G* (©)G\ (2©) • cos [2ooi — 2q)x (со) —

- Фг (2co)], (7.4.9)

где G%(со) и ф2 (со) — амплитудная и фазовая характерис­ тики второго инерционного звена W2 (р), которые вычис­ ляются аналогично по формулам (7.4.5) и (7.4.6).

Осредняя выход синхронного детектора и восполь­

зовавшись соотношением sin ( a t — ф) sin at ~ 4- fcos ф—

и

— cos (2coi— ф)1, получаем

В = kg2 (x — y*)Gx (сÙ)G2 ( со) - C O S [фх (со) + ф2 (со)]. (7.4.10)

Из этого выражения хорошо видно, что инерционность объекта снижает уровень выходного сигнала как за счет наличия фазовых сдвигов фг и ф2 инерционных звеньев, так и за счет их частотных свойств G1и G2 (для сравнения см. формулу (6.2.8)). С другой стороны, инерционность объекта может качественно изменить процесс поиска в результате изменения знака обратной связи. Из (7.4.10) видно, что знак сигнала В может меняться с изменением инерционных свойств объекта. Это приведет к неустой­ чивости процесса поиска (вместо поиска минимума система будет искать максимум). Следовательно, знак обратной связи должен изменяться с изменением динамических свойств инерционных звеньев объекта.

Так, при Фх(ш) + ф2 (м) <С Y обратная связь должна

иметь отрицательный знак, т. е. уравнение движения системы записывается в виде

где р, — величина обратной связи.

Если же я фх (со) + Фа (<а) > - у - , то сигнал В перед интегрированием уже не Следует инвертировать, т. е.

Данное обстоятельство порождает определенные трудности при экстремальном управлении инерционными объек­ тами с неизвестными динамическими свойствами.

Рис. 7.4.2. Блок-схема экстремального управления методом син­ хронного детектирования с введением инерционного авена.

которая при условии (7.4.14) сохраняет положительный знак. Этот факт позволяет фиксировать знак обратной связи.

Подставляя это выражение в (7.4.16), получаем

Тоо

- j r jj f(t) ^ h (x)f (t — T) dx dt

0

T

= [ A M [ 4 - $ H 0 / ( < - X ) d t \ i x .

0 0

Как видно, в квадратных скобках заключена оценка

и для экспоненциальной автокорреляционной функции R (т) = с2<гат,

где а- — дисперсия возмущения / (t), получаем следую­ щее выражение для В :

+ _____ 3 _____1

^ (Г1-Т2)(аГа—1) J*

Из этого выражения хорошо видно, что сигнал В умень­ шается с приближением возбуждения / (t) к белому шуму (напомним, что случай а —>оо соответствует белому шуму). Это хорошо согласуется с известным положением о том, что инерционные объекты лучше откликаются на медленные процесссы ( а —►0), чем на быстрые (çt—> 00).

Последнее выражение удобно преобразовать к виду

Несложный анализ показывает, что для любых значений

Любопытно, что при гармоническом возбуждении ана­ логичного объекта возможно появление неустойчивости при больших значениях постоянных времени Тг и Т2 (фазовый сдвиг в объекте при этом превысит я/2). Сле­ довательно, использование случайного возбуждения не предъявляет строгих требований к динамике экстремаль­ ного объекта, что особенно важно при изменении его динамических свойств.

§ 7.5. Улучшение процессов экстремального управления инерционными объектами (объекты первого рода)

Как показано выше, инерционность вносит значи­ тельное запаздывание в процесс экстремального управле­ ния. И чем больше инерционность, тем медленнее процесс поиска экстремума. Можно ли преодолеть это препятствие при управлении процессами с большой инерционностью?

Для этого следует обратиться к специальным алгорит­ мическим приемам, которые позволяют снизить влияние инерционности. Рассмотрим такие приемы для инерцион­ ных объектов различного рода. Начнем с объектов перво­ го рода, в которых инерционность располагается на входе в нелинейное звено. Этот вход выражается в следующей форме:

Q — Q (y). Q — выход этого звена — показатель качества объекта.

Задача ускорения процесса поиска сводится к быстрей­

производных у —ÿ = .= 0 в этом состоянии. Этоусловие гарантирует неподвижность системы в состоянии yv Кроме этого, в процессе перехода системы из состояния у0 в состояние ух управляющее воздействие х (t) не должно выходить за заданные пределы, которые определяются

задачи осложняется большим числом условий, наклады­ ваемых как на сам процесс, так и на средства его практи­ ческой реализации.

Для конкретности рассмотрим сначала апериодическое

которое реализуется следующим дифференциальным урав­ нением:

Задача заключается в том, чтобы перевести у из состояния у0 в за минимальное время, причем управление х (t) не должно выходить за заданные пределы:

Æmin ^ X (t) #тах« (7.5.4)

Эти пределы определяются реальными возможностями системы управления, которая в силу ряда причин (силовых, энергетических, технологических и т. д.) не может обес­

нагревателя, которая не может превосходить температуру

Очевидно, что для быстрейшего перевода в состояние уг сначала следует значению х придать максимальное воз­ можное значение жтах (рис. 7.5.1). В этом случае у (t) экспоненциально стремится к значению Жщах (см. пунктир

на рисунке). В момент, когда значение у (t) совпадает с требуемым и заданным уг, следует управление х (t) сделать равным ух. Это стабилизирует процесс, так как в

то переключатель П находится в левом положении (а ф 0) и управлению х сообщается программа х — ятах из про­ граммного блока ПБ, который работает релейным образом:

стационарное управление д; = ух, которое стабилизирует си­ стему до тех пор, пока у = ух, т. е. а — 0. При новом значении уставки у2, отличающемся от предыдущего, процесс перевода ух в у2 произойдет также с минимальной затратой времени, так как используются при этом экстре­ мальные значения управления жтах или a:min.

Рассмотренная схема может быть использована лишь при возможности наблюдения величины выхода апериоди­ ческого звена у (t). Однако часто в экстремальных объектах

Рис. 7.5.2. Блок-схема оптимального уп­ равления апериодического звена.

эту величину невозможно непосредственно измерить. В этом случае можно воспользоваться одним из двух путей.

Уравнение экспоненты у (t) при х = хтах (см. пунктир на рис. 7.5.1) имеет вид

Определим момент времени £lt когда происходит переклад­ ка управления с хШах на yv Получаем

Теперь, вводя блок, реализующий это преобразование, получаем управление без обратной связи, т. е. без изме­ рения выхода у (г) инерционного звена. Для этого доста­ точно экстремальное значение æmaxподдерживать в течение времени tv после чего следует перейти на х = ух. Такое программное управление оказалось возможным за счет знания зависимости (7.5.12). Однако практическая реа-

лизация такой зависимости связана с серьезными труд­ ностями, так как это — функция двух переменных у0и ух.

С другой стороны, подобная система, как и все системы программного управления, плохо защищена от действия помех. Другим решением задачи определения опти­ мального управления без измерения выхода является использование модели инерционного звена. Так как все параметры этого звена предполагаются известными, можно оптимально управлять его моделью, используя при этом

Рис. 7.5.3. Блок-схема оптимального управления с моделью инер­ ционной части объекта.

выход модели ум (t). Образованное таким образом управ­ ление х (t) используется для управления инерционным объектом.

Блок-схема такой системы показана на рис. 7.5.3. Здесь управляющее устройство УУ реализует алгоритм синтеза оптимального управления х (t) на основе устав­ ки уг и состояния модели у№(t). Такое УУ работает опи­ санным выше образом (на рис. 7.5.2 оно очерчено пунк­ тиром).

Рассмотрим теперь звено второго порядка

которое эквивалентно уравнению второго порядка