книги / Системы экстремального управления

§6 .1 . Непрерывный поиск с реверсом

Идея этого вида поиска сводится к определению мо­ мента реверса исполнительного механизма, изменяющего управляемый параметр х с постоянной по модулю скоростью

dx I

(6.1.1)

dt I а

При этом используется следующий алгоритм: реверс про­ изводится только при увеличении показателя качества.

Рис. 6.1.1. Блок-схема экстремального регулятора с реверсом.

Так как имеются всего лишь две возможности движения —

тора. Здесь двустабильный элементДЭ (например, триггер) имеет два устойчивых состояния и работает в счетном ре­ жиме. Это означает, что входной импульс переводит его из одного состояния в другое, противоположное. С триг­ гером связано реле РЛ, определяющее направление из­ менения оптимизирующего параметра х. Таким образом, импульс, поступающий из управляющего устройства УУ, в конечном счете ревирсирует исполнительный механизм ИМ, который в данном случае для простоты представляет собой простой интегратор (1/р). Задача управляющего устройства заключается в наблюдении за поведением объек­ та и определении момента выдачи импульса, что и осу­ ществляет обратную связь в процессе поиска.

Уравнение движения системы в процессе поиска мож­ но записать в виде

(6.1.2)

где функция S(. .) равна ± 1 и зависит от значений по­ казателя качества и его производной. Она определяется алгоритмом управляющего устройства.

Рассмотрим и проанализируем работу нескольких схем управляющего устройства.

Л. Поиск с дифференцированием. Этот алгоритм вклю­ чает в себя операцию дифференцирования [p=='^f)

Рис. 6.1.2. Блок-схема управляющего устройства с дифференциа­ тором.

показателя качества (рис. 6.1.2). Здесь релейный элемент РЭ связывает вход х и выход у следующим образом:

где е = const 0.

Импульсный элемент ИЭ образует импульс, как только возбуждается его вход. Таким образом, это управляющее устройство отдает команду на реверс при

т. е при увеличении производной показателя качества с интенсивностью не менее, чем е.

Как видно, момент реверса целиком определяется про­ изводной dQ/dt. На рис. 6.1.3 показано изменение этой производной в процессе поиска на симметричной и несим­ метричной характеристиках объекта. Хорошо видно, что в районе экстремума х* система образует предельный цикл.

Определим потери на рысканье для алгоритма с диф­ ференцированием. Для этого найдем максимальные от­ клонения от экстремума в предельном цикле. Оба зна­ чения отклонения по одну и другую сторону от экстре­

параболой (см. рис. 6.1.3, а, где показан цикл на парабо­ лическом объекте)

то отклонение от экстремума в предельном цикле равно

Как видно, для уменьшения размеров предельного цикла следует уменьшать величину е и увеличивать модуль скорости изменения управляемого параметра, т. е. ве­ личину а.

Потери на рысканье в непрерывном случае имеют вид

*н

где хц и Хц — предельные отклонения в цикле. И для сим­ метричной параболы (6.1.6) получаем

В этом случае потери на рысканье равны

Как видно, для уменьшения потерь на рысканье следует уменьшать е или увеличивать величину а.

Здесь следует отметить, что неограниченно уменьшать е > 0 нельзя, так как при этом появляется опасность сбоя. Сбой в данном случае заключается в появлении двойного импульса, который вернет триггер в исходное положение, в результате чего параметр х будет продолжать изменять­

ся в том же направлении и производная -Щ- будет увели­

чиваться неограниченно, так как условие (6.1.4) уже не повторится. Таким образом, система поиска при очень малом в становится неустойчивой. Заметим, что подобная ситуация может возникнуть и при относительно большом е, но при неустойчиво работающем релейном элементе (например, при дребезжании контактов реле) или при наличии импульсных помех.

Для преодоления этой опасности при е следует вводить принудительный реверс, который стимулируется

через вентиль В периодически подаются реверсирующие импульсы. Если < е, то вентиль В закрыт. Любопыт-

Рпс. 6.1.4. Блок-схема управляющего устройства с принудитель­ ным реверсом.

но, что в этой схеме по сравнению с рис. 6.1.2 нет им­ пульсного элемента. При этом, однако, увеличатся по­ тери на рысканье и предельный цикл будет иметь «раз­ мытые» очертания, так как момент реверса теперь будет

связан с совпадением двух событий: > е и появлением

импульса на выходе генератора ГИ.

Рассмотренная схема управляющего устройства обла­ дает существенным недостатком —необходимостью диф­ ференцирования показателя качества. В обстановке зна­ чительных помех это обстоятельство существенно огра­ ничивает применение такой схемы управляющего ус­ тройства.

Б. Поиск с задержкой. Как известно, операцию диф­ ференцирования с успехом может заменить операция задержки. Блок-схема управляющего устройства с ис­ пользованием блока задержки т показана на рис. 6.1.5. Здесь разность Q (t) — Q (t — т) поступает на релейный элемент РЭ, который при

Рис. 6.1.5. Блок-схема управляющего устройства с задержкой.

Рассмотрим поведение объекта с квадратичной харак, теристикой при работе этого устройства. Как обычно, обозначим отклонение от экстремума через у — х —х*

Теперь рассмотрим предельный цикл этого алгоритма при работе на квадратичном объекте. На рис. 6.1.7 показан предельный цикл в двух системах координат. На рис. 6.1.7, а изображено поведение Q (t — т) в функции у в процессе предельного цикла. Здесь ветвь А В (х = а) является смещенной вправо на ах параболой характерис­ тики объекта. В точке В выполняется условие (6.1.12)

Рис. 6.1.7. Предельный цикл системы с задержкой.

и происходит реверс исполнительного механизма на х = —а. Ветвь ВС цикла является зеркальным отобра­ жением ветви BE. Дальнейшее движение (ветвь CD) происходит по параболе (х = —а) до следующего реверса в точке D и т. д.

На рис. 6.1.7, б этот же цикл образуется из отрезков прямых. Действительно, ветви А 'В ' и C D ' являются прямыми в соответствии с выражением (6.1.13). Теперь рассмотрим ветвь В’С' предельного цикла. Для нее имеем

Q (*) — Q ( t — x ) = k (уJ — a tf — к {ух — at + ат)а,

где отсчет времени берется от начала этапа В’С \ ж при этом у = Ух —at. В результате получаем для В’С линейное уравнение, т. е. ветвь В’С также представляет собой отрезок прямой.

Аналогичные рассуждения можно произвести и относи­ тельно ветви A'D'.

Определим теперь основные параметры предельного цикла.

Амплитуда ух определяется из условия Q (t) — Q (t —

— т) = е. Подставляя сюда выражение (6.1.13), получаем

Как видно из этой формулы, существует оптимальное зна­ чение величины (ах)*, минимизирующее амплитуду ух при заданном значении е. Для определения оптимального значения достаточно продифференцировать выражение (6.1.14) по ах и приравнять производную нулю. В резуль­ тате получаем

Из этого выражения и из (6.1.14) видно, что для умень­ шения амплитуды предельного цикла необходимо умень­ шать е > 0.

Однако неограниченно этого делать нельзя, так как увеличивается опасность сбоя, в результате которого мо­ жет быть сделан двойной реверс, что, как показано выше, приводит к неустойчивости. Применение системы прину­ дительного реверса, как это сделано на схеме 6.1.4, в данном случае может не оправдать себя. Действительно, вход релейного элемента в момент реверса изменяется здесь всегда непрерывно, а не скачком, как в предыдущем случае. Поэтому период следования импульсов для при­ нудительного реверса должен быть достаточно большим, чтобы дать возможность системе выйти в зону, где

Q{t) - Q ( t — т) < в.

Блок-схема управляющего устройства с задержкой и принудительным реверсом показана на рис. 6.1.8. Здесь вентиль В пропускает импульсы, генерируемые ГИ, если возбужден выход релейного элемента РЭ.