книги / Системы экстремального управления

Раскрывая этот определитель, записываем условие в виде - 2 ^ 0 , (5.3.9)

что выполняется всегда при g Ф 0.

Разрешая (5.3.7), получаем интересующие нас значения параметров объекта а, 6 и с:

Qi — 2Qa -b Qa

2g2

Подставляя эти значения в (5.3.3), получим окончательно величину рабочего смещения (5.3.5) в виде

Любопытно, что полученное значение рабочего смещения не зависит от исходного состояния объекта ха. При этом ожидаемое значение экстремума (5.3.4) равно

рить, действительно ли найден экстремум. Для этого достаточно определить показатель качества в предпола­ гаемом экстремуме хх = х0 + Aæx и сопоставить его с оценкой (5.3.12). Если эти величины отличаются не более

то это означает, что исходное предположение о квадратичности характеристики не выполняется и следует продол­ жить процесс поиска, т. е. выполнить следующий цикл, но уже эксперименты ставить в районе точки xv И так далее.

Блок-схема описанного алгоритма показана на рис. 5.3.1. Здесь, как видно, для функционирования алгоритма необходимо иметь два блока памяти для запоминания промежуточных значений показателя качества. Оператор

«Дж» производит определение рабочего смещения по формуле (5.3.11) на основе имеющейся информации. Оператор «AQ» обозначает вычис­

ление отклонения показателя ка­ чества, полученного в эксперимен­ те, от вычисленного по формуле (5.3.12) путем экстраполяции. Опе­

квадратичного) на объекте с кубической характеристикой

минимум которой расположен в начале координат. Нагляд­ но видно, что квадратичная экстраполяция для этого объекта более эффективна, чем линейная.

Однако следует помнить, что поиск с квадратичной экстраполяцией, как и всякий поиск, учитывающий априорные особенности объекта, имеет ограниченное при­ менение. Более того, существует целый класс объектов, для которых этот поиск неприемлем, так как на них он

Рис. 5.3.2. Поведение объекта с кубической характеристикой при поиске с квадратичной экстраполяцией.

становится неустойчивым. Так, при оптимизации объек­ тов с кусочно-линейной или клювообразной характеристи­ ками поиском с квадратичной экстраполяцией пользовать­ ся нельзя.

Рассмотрим теперь аппаратурную реализацию этого алгоритма. На рис. 5.3.4. показана блок-схема экстремаль­ ного регулятора. Здесь использованы те же элементы памяти, которые применяются и в предыдущих схемах экстремальных регуляторов. В результате последователь­ ной работы двух элементов памяти П получаем величины

при учете других априорных сведений об объекте. Очевид­ но, что каждый такой алгоритм будет очень хорошо работать на объектах того класса, для которых он был создан.

Рис. 5.3.3. Сравнение поведения объекта с кубической характери­ стикой при поиске с линейной (а) и квадратической (б) экстрапо­ ляцией.

Рис. 5.3.4. Блок-схема экстремального регулятора, работающего по алгоритму поиска с квадратичной экстраполяцией.

В качестве упражнения читателю рекомендуется ана­ логично изложенному выше построить и проанализировать алгоритм поиска с квадратичной экстраполяцией, но с известным экстремальным значением функции качества Q*. В этом случае для организации поиска можно ограничить­ ся двумя замерами функции качества в районе исходной точки.

где в левой части стоят конкретные значения показателя качества. Разрешая эту систему относительно к{ (г = = 1, .,5 ) получаем конкретное выражение для функ­ ции качества (5.4.1), из которого легко вычислить положе­ ние экстремума. Для этого следует решить очевидное уравнение

Решение xxявляется первым приближением. Если экстре­ мальная характеристика в точности аппроксимируется мо­

делью (5.4.1), то полученное решение хх совпадает с положением экстремума объекта, т. е. решает поставлен­ ную задачу:

Если же представление (5.4.1) имеет локальный характер, то придется сделать несколько шагов экстраполяции, где исходной точкой N -то этапа будет (N — 1)-е приближе­

ние XN-I .

Критерием остановки процесса будет выполнение условия

N

где e 0 — заданная точность оценки экстремального

значения, k[N) —оценка i-ro коэффициента на N -м. шаге. Блок-схема описанной системы экстремального регу­ лирования с экстраполяцией показана на рис. 5.4.1. Здесь П —блок памяти, в котором запоминаются значе­

ния показателя качества Ç{N\ ., Qm* на каждом (N-м) этапе экстраполяции. Вычислительное устройство (ВУ) выполняет две функции: определяет значение коэффициен­

тов ki*\ • -, f f î на каждом шаге, т. е. решает систему уравнений типа (5.4.2), и затем определяет положение эк­ стремума на N-м шаге, т. е. решает уравнение (5.4.3). Исполнительный механизм (ИМ) отрабатывает полу­ ченное значение. Координирует работу системы блок

управления БУ. На него же возложена проверка выпол­ нения условий остановки (5.4.5).

Как видно, рассмотренная схема экстраполяционного поиска может эффективно решать задачи оптимизации

объектов с весьма сложными экстремальными характе­ ристиками. Однако следует отметить, что для этого необ­ ходимо иметь специализированные или универсальные вычислительные устройства, решающие задачи (5.4.2) и (5.4.3). Естественно, что введение такого устройства в схему экстремального регулятора весьма усложнит его и тем самым значительно снизит надежность эксплу­ атации. Именно этим обстоятельством следует объяснить отсутствие экстремальных регуляторов с экстраполяци­ онным поиском. Ио появление ВУ на интегральных схемах, по-видимому, даст возможность преодолеть ука­ занную трудность и реализовать экстраполяционные ал­ горитмы для экстремального регулирования.

НЕПРЕРЫВНЫЕ АЛГОРИТМЫ ПОИСКА

(БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ ОБЪЕКТЫ)

В предыдущих трех главах рассмотрены шаговые ал­ горитмы поиска. Отличительным свойством этих алгорит­ мов является дискретный характер их работы. Это ока­ зывается удобным для объектов, в которых функция ка­ чества образуется дискретным образом, например, когда показатель качества определяется путем расчетов для фиксированного состояния оптимизируемого параметра.

Однако имеется весьма широкий класс экстремальных объектов, для которых существует непрерывная динами­ ческая связь между входом и выходом. Использование этой связи дает возможность воспользоваться большей информацией об объекте и приводит к непрерывным алго­ ритмам поиска.

В простейшем случае объект может быть, например, безынерционным и тогда всякое изменение входа х мгно­ венно отражается на выходе объекта Q. Но часто связь между входом и выходом имеет инерционный характер. Это накладывает определенный отпечаток на поведение объекта в процессе оптимизации.

Однако разделение объектов на инерционные и безы­ нерционные, как указано выше (см. § 2.2), имеет относи­ тельный характер и зависит от скорости изменения управ­ ляемого параметра в процессе оптимизации. Если эта скорость мала, то динамическими свойствами объекта моясно пренебрегать и считать объект безынерционным. Но для повышения быстродействия необходимо увеличи­ вать интенсивность поиска путем повышения скорости изменения параметра х. В этом случае нельзя не учи­ тывать инерционных свойств объекта.

Рассмотрим отдельно поведение безынерционных и инерционных экстремальных систем в процессе поиска. Начнем с управления безынерционными системами, ко­ торым и посвящена эта глава.