книги / Системы экстремального управления

В данном случае алгоритм работы этого экстремального регулятора ввиду его огромной сложности неизвестен. При повороте головы крысы действуют свыше пятидесяти мышц, причем каждая мышца управляется самостоятель­ но. Для исследования алгоритма функционирования био­ логического экстремального регулятора схему следует значительно упростить.

Была изучена работа одной мышцы животного (крысы) в условиях замыкания ее экстремальной обратной связью [6.18]. Для этого накож­ ными электродами снима­ лась общая биоэлектриче­ ская активность одной мышцы, полученные био­ токи (рис. 6.4.3) усилива­ лись, выпрямлялись и ин­ тегрировались (1/Р) на протяжении 0,2 сек. Полу­ ченные импульсы длитель­ ностью 0,2 сек сглажива­

управления была выбрана квадратичная парабола. Вы­ ход объекта определял интенсивность болевого воздей­ ствия на подопытное животное. На этой установке и был изучен алгоритм поиска экстремума живой мыш­ цей.

Прежде всего, следует отметить следующую особен­ ность живой мышцы. На болевое воздействие выше оп­ ределенного порога мышца всегда отвечает сокращением и усилением электрической активности, т. е. при боль­ шом значении Q величина х стремится увеличиваться. С другой стороны, при отсутствии болевого раздражения мышца стремится расслабиться и при этом ее электри­ ческая активность падает, т. е. величина х в рассматрива­ емом случае уменьшается. Таким образом, в зависимости от величины Q определяются две различные тенденциипо-

где — пороговое зпачение болевого раздражения, пре­ вышение которого вызывает сокращение мышцы и, следовательно, рост х. (Здесь предполагается, что Q0^> Ç*, т. е. пороговое значение превышает экстремальное).

Рпс. 6.4.3. Блок-схема установки для исследования алгоритма поиска одной мышцей подопытного животного.

На рис. 6.4.4 совмещены характеристика объекта и поведение х (t). Хорошо видно, что в зоне

= Ç0, болевое ощущение Q (х) ниже порогового @0. Движе­ ние системы здесь похоже на «отскок» в точках 1, 2, 3, 4 и 8 от зоны х = xv Здесь точка хх устойчивая. Если же величина такого «отскока» окажется почему-либо больше ширины х2 — хх зоны (6.4.2), то система попадает в зону неустойчивости х х2(точка 5 на рисунке), где обратная связь имеет положительный знак, и система совершает большой «выплеск» вплоть до полного насыщения в точке 6, после чего мышца расслабляется независимо от уровня болевого раздражения. В точке 7 она снова попадает в устойчивую зону, «отдыхает» на 7—8 и в точке 8 получает новый «толчок» и т. д.

Уровень х = Ху определяет момент реверса (отскока) системы, а уровень х = х2 разграничивает зоны притяже­ ния. Изменяя значения хх и х2 (например, вводя посто­ янное смещение показателя качества Q(x)-\-q), можно изменять характер работы системы поиска.

Так, чем уже зона нечувствительности х2 — тем чаще происходят большие всплески. Но чем она шире, тем

больше значение х группируется вокруг уровня х = х1 и среднее значение х смещается влево от экстремума х*.

Таким образом, работа биологической системы поиска экстремума имеет две существенные особенности: 1) ее

Рис. 6.4.4. Работа живой мышцы в экстремальной ситуации.

поведение в значительной мере зависит от ширины и рас­ положения зоны нечувствительности, где болевое раздра­ жение животного ниже порогового значения, и 2) поведение системы имеет ярко выраженный несимметричный ха­ рактер.

Рассмотренные принципы работы биологических эк­ стремальных регуляторов могут лечь в основу построения некоторых технических схем, моделирующих поведение животных в экстремальной обстановке. G чисто техниче­ ской точки зрения эти схемы нельзя считать удачными, но их бионический анализ может помочь найти другие, более эффективные решения.

F Л А В А 7

ЭКСТРЕМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫМИ

ИНЕРЦИОННЫМИ ОБЪЕКТАМИ

В предыдущей главе рассмотрено поведение непрерыв­ ных алгоритмов поиска па безынерционных объектах. Однако на практике часто встречаются инерционные объек­ ты, что вносит в процесс поиска существенные особенности. В настоящей главе будет рассмотрено влияние инерцион­ ности объекта на поведение системы в процессе непре­ рывного поиска с применением уже известных алгоритмов (реверс, синхронное детектирование и др.), а также будут описаны новые методы поиска, возникновение которых связано с необходимостью оптимизации объектов экстре­ мального управления объектами с большой инерцион­ ностью.

§7.1. Модель инерционных объектов

Будем рассматривать наиболее простую модель [7.1], которую можно представить в виде последовательного сое­ динения трех звеньев (рис. 7.1.1): двух линейных инер­ ционных и одного нелинейного безынерционного, выражаю­ щего статическую характеристику объекта экстремаль­ ного управления

Пусть для определенности передаточные функции инерционных звеньев Wx (р) и W2 (р) имеют единичный коэффициент усиления, т. е. Wx (0) = W2 (0) = 1. Тог­ да в пределе при очень медленном изменении управляемого параметра х зависимость Q = Q (х) соответствует нелиней­ ному преобразователю q = q (у). Зависимость у от х и Q от q можно символически изобразить в виде следую­ щих выражений:

где р — как обычно, оператор дифференцированияр — d .

инерционного объекта Q от его входа х представить в следующем виде:

Отметим, что подобная запись имеет символический ха­ рактер, и для того чтобы представить зависимость Q = = Q (х) в аналитическом виде, необходимо решить соот­ ветствующие дифференциальные уравнения.

Проиллюстрируем сказанное для конкретного вида инерционности линейных динамических звеньев.

Рис. 7.1.1. Блок-схема модели инерционного объекта.

Пусть для простоты указанную инерционность можно представить в виде апериодических звеньев первого по­ рядка, т. е.

w‘W = 7rT+T' "'■M -T îiT Г- (7Л-4>

где значения постоянных Тги ^предполагаются извест­ ными.

Уравнения движения объекта при каком-то изменении входа х = х (t) записываются в виде

Тх § + У= *(*).

+ <? = ?(()•,

Рассмотрим некоторые наиболее интересные частные случаи. Пусть Тх Т21 т. е. почти вся инерционность объекта сосредоточена перед нелинейностью и, следо­ вательно, можно пренебречь вторым звеном W2 (р). Будем называть такой объект объектом первого рода.

А. Объект первого рода (Т2= 0). В этом случае получаем следующую систему уравнений:

Q(t) = Q(y),

(7.1.6)

г , § + » = * < < ),

которая и определяет поведение объекта первого рода. Решим второе уравнение. Решение ищем в форме

Подставляя это выражение в (7.1.6), получим

^ _5Т1 £-*<*>•

Теперь, интегрируя, получаем после несложных преоб­ разований

где у 0 = у (0).

Рассмотрим особенность поведения объекта первого рода при постоянной скорости изменения управляемого

Делая замену t = а:~ - 0- , получаем зависимость выхода апериодического звена от его входа в явном виде:

— Х~Х°

У (X) = X + (Уо — х0+ ±Тг) е *т» — iT v (7.1.10)

На рис. 7.1.2 показана эта зависимость для различных начальных условий (ж0, у0) при х = ± а. Хорошо видно, что в пределе, при оо, траектории стремятся к прямым у = х ± аТг, т. е. у отстает от х на величину аТх. Сле­ дует отметить, что в точке пересечения траектории

с биссектрисой у = х (например, точка А на рис. 7.1.2) ее производная всегда равна нулю. Действительно, при х = у

из (7.1.6) получаем § = 0. H o § = | - ^ = i | | . Следо-

вательно, при х = у получаем ^ — 0.

Б. Объект второго рода (2*х = 0). Рассмотрим другой частный случай, когда Т2^> Т Х и, следовательно, звеном Wx (р) можно пренебречь. Такой объект будем называть

6) х=а

Рпс. 7.1.2. Поведение выхода динамического звена при постоян­ ной скорости изменения входа.

объектом второго рода. Тогда система уравнений (7.1.5) сводится к одному уравнению:

где Qo — Q (0)* При помощи этого выражения нетрудно определить поведение выхода Q (t) при любом изменении входа х (t).

В общем случае (7.1.5), когда Тх « Т2, решая указан­ ные уравнения, можно выход объекта Q (t) записать

где у (t) вычисляется по (7.1.8).

Если система находится вдали от экстремума, то не­ линейность преобразования g = q (у) уже не играет опре­ деляющей роли и поведение объекта можно аппроксими­

§ 7.2. Поиск с реверсом на инерционном объекте первого рода

Рассмотрим сначала поиск с реверсом (см. § 6.1) при управлении инерционным объектом первого рода, когда основная его инерционность сосредоточена перед нели­ нейным элементом, т. е. при Тх Т2.

ДЭ

Рис. 7.2.1. Блок-схема экстремального регулирования инерцион­ ного объекта первого рода.

На рис. 7.2.1 показана блок-схема экстремального регулирования с дифференцированием.

Здесь исполнительный механизм ИМ (интегратор) получает значения ± а из двустабильного (триггерного) элемента ДЭ. Этот элемент работает в счетном режиме и по команде импульсного элемента ИЭ производит реверс

исполнительного механизма при = е. Релейный эле­

мент РЭ фиксирует этот момент.

Рассмотрим динамику процесса поиска. На рис. 7.2.2 совмещены два графика у = у (х) и Q = Q (у). Здесь же показаны траектории движения системы при е = 0. Исследуем сходимость процесса поиска для этого случая.

Очевидно, что за два этапа поиска (первый этап 1—2, второй этап 2—3 на рис. 7.2.2) объект либо приблизится к

Рис. 7.2.2. Поиск экстремума инерционного объекта первого рода при е = 0.

Для исследования сходимости ввиду центральной сим­ метрии случаев х = ± а, достаточно рассмотреть одну ветвь (например, 1—2). При этом условие сходимости процесса записывается в виде неравенства

Для определения сходимости или предельного цикла (если он существует) нужно определить левую часть выра­ жения (7.2.2). Воспользуемся формулой (7.1.10) преды­