книги / Системы экстремального управления
..pdfЗадача сводится к минимизации линейной функции
|
|
т |
|
|
Q (Х ) = 2 aiXi min> |
||
|
|
i=l |
X^S |
где множество S |
допустимых |
значений X определяется |
|
векторным равенством |
|
|
|
■^1Х1 |
+ ^2Х2 +••• |
+ Атхт = |
|
причем Xi > 0 (i = 1, |
, т). |
||
Если этому равенству удовлетворить нельзя, то ста |
|||
вится менее строгое ограничение в виде неравенства |
|||
|
ГП |
|
|
|
2 |
^ iXi ^ |
|
|
i=l |
|
|
которое выражает требование, чтобы относительное со держание компонентов в смеси было бы не меньше, чем требуется.
Как видно, задача синтеза оптимальной смеси является типичной задачей линейного программирования.
П р и м е р 2 (Транспортная задача). Имеется п по ставщиков т видов продукции. Возможности каждого поставщика характеризуются вектором = (alz-,
..., ami), где ад —количество /-го вида продукции, произво димое i-м поставщиком. Вся производимая продукция рас пределяется к потребителям (заказчикам). Каждый пот
ребитель характеризуется вектором B t = (&lf, . |
, bmt), |
где bji —количество /-го вида продукции, |
потреб |
ляемое г-м заказчиком; так как все, что производится по ставщиками, потребляется заказчиками, то необходимо
пк
выполнение условия 2 |
= 2 |
связывающего A i и |
i=i |
j=i |
заказчиками существует |
Bj. Между поставщиками |
и |
транспортная сеть, эксплуатационные расходы которой характеризуются матрицей стоимости к х п
с ~ 1 сij|| (i = 1, п; / = 1, 7с),
где си — стоимость перевозки единицы продукта от i-ro поставщика к /-му заказчику.
Необходимо синтезировать такой план перевозок по каждому виду продукции
X} = | X i j | (ï = 1,. |
, Л, j = 1). |
, к, I |
1,. |
, ftl)f |
где х1ц — количество l-то продукта, перевозимое от г-го поставщика к /-му заказчику. Этот план должен миними зировать транспортные расходы.
Функция качества в данном случае представляет собой суммарные транспортные расходы:
|
К |
п |
пг] |
|
|
Q Л ) = 2 3 |
са 2 4-* mta- |
|
|||
|
1=11=1 |
1=1 |
|
|
|
A множество S «увязывает» количества отправленных и |
|||||
полученных грузов: |
|
п |
|
|
|
к |
|
= 4'* |
^ ® |
|
|
2 |
|
2 |
|
||
j=i |
п; |
t=i |
|
, к; I = 1,. |
пг). |
(г = 1,. |
/ = |
1,. |
|||
Как видно, это —задача линейного программирова ния с ограничениями типа равенств (последние неравен ства выполняются естественным образом).
Другой тип задач математического программирова ния — задачи выпуклого программирования имеют более общий характер и формулируются следующим образом.
Необходимо минимизировать выпуклую вниз функцию
Q (X) -* min, |
(2.3.7) |
где область допустимых состояний S задается системой пъ неравенств:
S : h i ( X ) > 0 |
(i — 1, |
m), |
(2.3.8) |
где hi (X) — выпуклые вниз функции, что гарантирует выпуклость области S. Заметим, что функция / (х) на зывается выпуклой вверх (или вниз), если для точки Xt лежащей между двумя точками Х г и Х 2, т. е. при
|
X = ХХг + (1 |
- |
I) |
Х2, |
(2.3.9) |
где 0 ^ À ^ |
1, выполняется неравенство |
|
|||
/ (X) > |
(или <)А/ (Zj) |
+ |
(1 |
— X)f (X2). |
(2.3.10) |
Это выражение имеет прозрачный геометрический смысл. Действительно, как легко убедиться, правая часть неравенства (2.3.10) является линейной аппроксимацией функции / (х) по двум ее значениям в Х х и Х 2 (см. прямую на рис. 2.3.1, где сплошной линией показана выпуклая вверх, а пунктиром —выпуклая вниз функция).
Выпуклой областью S' принято называть множество точек X вида (2.3.9), если порождающие их точки Х х и Х 2 принадлежат S', т. е.
/ |
/ |
Х х,Х2 €= S', —геометрически |
|
|
это означает, что если Х хи Х 2 |
||
|
|
принадлежат области S', то |
|
|
|
все точки, лежащие на пря |
|
|
|
мой между ними, также при |
|
|
|
надлежат S'. |
|
|
|
Выпуклые функции явля |
|
Рис. 2.3.1. К определению вы |
ются довольно широким клас |
||
сом функций и сравнительно |
|||
пуклой функции. |
|
||
хорошо могут представлять задачи экстремального управления. Однако специального метода решения задач выпуклого программирования не существует. Здесь принимаются соответствующие модифи кации метода наискорейшего спуска — одного из стан дартных методов решения задач экстремального управле ния (см. § 16.2).
Существенной особенностью задач выпуклого програм мирования является совпадение точек локального и гло бального экстремумов. Это означает, что при решении задач
выпуклого программирования |
можно |
довольствоваться |
||
отысканием локального экстремума. Он |
необходимо сов |
|||
падает с глобальным [2.7]. |
выпуклого программиро |
|||
Приведем примеры задач |
||||
вания. |
3. Р е ш е н и е |
н е с о в м е с т н о й |
||
П р и м е р |
||||
с и с т е м ы из |
л и н е й н ы х у р а в н е н и й |
|||
П
П
Равенства (*) являются уравнениями гиперплоскос тей (п — 1)-го порядка. Пусть р* (X) — расстояние от точки X до Ï-й гиперплоскости. Оно в случае упомянутой нормировки имеет вид
П
Pi ( ^ 0 = I S аИХ) |
Ci I- |
17=1 |
1 |
Это, по сути дела, невязка решения г-го уравнения. Най дем среди этих расстояний максимальное
Ртах (X) = max {pi (Z)}.
i=l,...,rn
Тогда решение поставленной задачи естественно искать в точке, минимизирующей максимальную невязку, т. е. минимизируемая функция качества имеет вид
Q (X) = Ртах (X) min.
х
Можно показать, что эта функция выпукла вниз. Это и определяет рассмотренную задачу как задачу выпуклого программирования без ограничений.
П р и м е р 4 (Задача Штейпера). В п-мерном прост
ранстве заданы система из т точек X lt. |
, Х т и выпук |
|
лое множество S. Найти в этом множестве такую точку, |
||
чтобы сумма ее расстояний до точек Xi |
(i = 1, |
, т) |
была минимальной. Функция качества в этом случае имеет вид
т
<?(Х) = 2 |Х —Х{| - + т т .
i = i |
* e s |
Это — тоже задача выпуклого |
программирования. |
Однако требования выпуклости далеко не всегда выполняются в задачах оптимизации. В общем случае задача нелинейного программирования формулируется так: следует минимизировать произвольную заданную функцию качества
Q (Х)-> min, |
(2.3.11) |
Xes |
|
где область S задается системой из т неравенств произ вольного вида
h i ( X ) > 0 (i = 1, |
т). |
(2.3.12) |
Если нет сведений о выпуклости, то единственность экстремума нельзя гарантировать. Однако даже при одноэкстремальности специальных математических методов решения задачи нелинейного программирования не су ществует. Все применяемые методы являются поисковы ми методами решения задачи экстремального управления.
Типичным примером задачи нелинейного программи рования могут служить задачи оптимального проектиро вания.
П р и м е р 5. В процессах проектирования новых схем, конструкций и систем всегда определена экстре мальная цель (2.3.11) — например, эффективность, на дежность, быстродействие, вес конструкции и т. д. Опти мальное проектирование представляется как процесс определения параметров X = (ж1} , х п) конструкции, которые экстремизируют эту цель, ноне произвольно, а в пределах соблюдения определенных ограничений. Один вид ограничений связан со строгим выполнением ряда требований. Например, необходимо использовать элемен ты конструкции определенного вида. Это — ограничение типа равенств. Другие ограничения имеют характер не равенств. Например, температура и возникающие напря жения не должны превышать требуемых норм и т. д. Эти ограничения представляются в виде (2.3.12).
Таким образом, задачи оптимального проектирования записываются в виде следующей обобщенной задачи не линейного программирования:
Q (X)—» extr,
.xes
S
где функции Q, g и h могут быть любыми. Это обстоятель ство не гарантирует совпадения локального и глобаль ного экстремумов, что обычно и наблюдается в практике
оптимального |
проектирования. |
П р и м е р |
6. Другим примером задачи нелинейного |
программирования является задача однократной иден тификации. Пусть статистический объект описывается векторным соотношением (моделью)
Y = F (X, A),
$ 2.3] |
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ |
67 |
|
Г Д б Y = |
(у\ ) |
» Утп)» |
= (®1»* |
. . . , ag), F — заданная векторная функция. Необходимо определить параметры Л объекта, если в распоряжении имеются результаты замеров входа и выхода объекта в разные моменты времени:
X t ^ Y t ( i = i , . , N )
(измерения, как обычно, производятся в обстановке помех).
Используя метод наименьших квадратов, можно зада чу определения А свести к задаче минимизации суммар ной невязки выходов объекта и его модели:
N
<? (4) = 2 [F(X„ А) - |
min. |
i= l |
А |
Как видно, задача идентификации при заданпой модели объекта является задачей нелинейного программирования без ограничений. Так как функция F может быть произ вольной (а не только выпуклой), то минимизируемая функ ция невязки Q (Л) может иметь несколько экстремумов. И в этом случае задача заключается в определении гло бального экстремума.
Б. Модельные объекты. Очень часто, особенно в про цессах оптимального проектирования объекта, задачу оптимизации решают на какой-либо физической модели объекта. Это означает, что объект моделируется таким об разом, чтобы его искомые параметры можно было варьи ровать в процессе оптимизации. Критерий качества и со стояния ограничений, которым должен удовлетворять объект, определяются на этой модели. Процесс оптимиза ции при этом может производиться как универсальной вычислительной машиной, соединенной с моделью, так и специализированным автоматом-оптимизатором.
П р и м е р 7. Синтез оптимального автопилота обыч но производят на динамической модели самолета, которая представляет собой электронную схему, моделирующую все особенности динамических свойств самолета во время полета в различных ситуациях X. Модель работает в ре альном масштабе времени. Блок-схема установки показа на на рис. 2.3.2. Здесь на вход модели самолета задается
ситуация X , в которой необходимо получить оптимальное воздействие автопилота. На это воздействие модель реа гирует поведением Y (это — углы наклона самолета, их скорости и т . д.) Эта информация подается на автопилот (это — реальный автопилот, а не его модель), который по каналу Z воздействует на модель управляющих органов (руль глубины, элероны и т. д.) в соответствии со своей
Рис. 2.3.2. Блок-схема оптимизации параметров автопилота на модели.
программой. Эта программа может изменяться по каналу А. Для этого определяются характеристики поведения модели, которые поступают в оптимизатор. Оптимизатор воздействует на параметры и программу автопилота так, чтобы экстремизировать поставленную цель и уложить ограничения в заданные пределы. Так обычно произво дится настройка автопилота с целью оптимизации его ра боты. Модель здесь, как видно, играет определяющую роль. Она избавляет от натурных (бортовых) испытаний, что гарантирует быстроту и безопасность отладки и воз можность оптимального синтеза автопилота до создания самолета.
П р и м е р 8. (Оптимальное проектирование химиче ского реактора). Прежде чем запроектировать промыш ленный реактор, обладающий заданными экстремальными свойствами, необходимо знать специфику всех химичес ких, динамических и тепловых процессов, протекающих
в реакторе. Однако эта информация имеется в крайне скудном виде (кроме разве химии процесса, относитель но которой известно немного больше). Для получения этой информации и определения оптимальных режимов работы реактора обычно создают так называемую полу промышленную установку, параметры которой xlt .
... ,хп можно изменять. Зная цели проектирования (это обычно максимальный выход продукта определенного вида) и применяя методы оптимизации, можно настроить модельный реактор на оптимальный режим, который уже можно перенести на промышленный реактор.
В. Реальные объекты. Задача оптимизации встречает ся и при управлении реальными объектами. Для этого, однако, необходимо, чтобы характеристики объекта из менялись очень медленно (во всяком случае значительно медленней, чем проходит процесс оптимизации: в против ном случае это уже не будет оптимизация, а отслеживание блуждающего экстремума, т. е. экстремальное регули рование).
П р и м е р 9 (Отладка технологического процесса). Всякий технологический процесс в период запуска нуж дается в отладке. Эта отладка носит характер оптимиза ции, т. е. достижения какой-то экстремальной цели (ми нимум брака, максимум производительности и т. д.) при соблюдении определенных ограничений (выдерживание технологических норм, соблюдение правил безопасности
ит. д.). Таким образом, задача заключается в определе нии оптимальных значений параметров данного техно логического процесса, т. е. в решении обычной задачи оптимизации.
Следует отметить, что ввиду реальности объекта опти мизация происходит в обстановке неизбежных случайных
инеслучайных помех, которые создают характерное шу мовое'поле, на фоне которого обычно и развертывается процесс оптимизации объекта.
Пр и м е р 10 (Отработка конструкции). При созда нии новых видов конструкций существует этап, называе мый отработкой конструкции. Этот этап начинается с появлением первого экземпляра и заканчивается пуском серии. ЕГэто время происходит незначительное изменение конструкции, т. е. изменение ее некоторых параметров (%,. . . f x n) с целью «выжать» из этой конструкции «все»,
т, е. добиться выполнения экстремальных целей — мак симальной скорости, минимального веса, максимальной технологичности и т. д.— при соблюдении каких-то ог раничений (не слишком серьезная переработка конструк ции, выполнение тактико-технических требований к ней
и т. д.).
Как видно, отработка конструкции является примером типичной оптимизации при заданном экстремальном кри терии и сформулированных ограничениях.
Резюмируя содержание примеров этого параграфа, можно сказать, что типичным объектом оптимизации яв ляется процесс оптимального проектирования, который в своем развитии проходит все три стадии рассмотренных объектов. Действительно, на стадии выбора общей схемы и исходных параметров решается задача нелинейного про граммирования. После того как схема выбрана, опреде ляются оптимальные конструктивные параметры объек та. Для этого также следует решить задачу нелинейного программирования. На следующем этапе некоторые пара метры объекта могут быть определены путем физического моделирования объекта или его части и оптимизацией ра боты его модели. И, наконец, после изготовления первого образца производится доводка объекта, которая также выполняется методами оптимизации.
§2.4. Постановка задачи экстремального регулирования
Вслучае, когда объект экстремального управления изменяет свои свойства во времени, однократное опреде ление положения экстремума, т. е. режим оптимизации,
теряет смысл. В этом случае экстремальная точка Х0» т. е. положение экстремума, каким-то неизвестным, но определенным образом изменяет свое расположение, т. е. блуждает
Xl = X l (*). |
(2.4.1) |
Это блуждание может вызываться вполне определен ными процессами в объекте. Но с точки зрения потребите ля, который не располагает необходимой информацией, блуждание цели имеет случайный характер. Поэтому в
первом приближении Х 0 (t) является случайной функцией
времени. Основной задачей экстремального управления в этом случае является отслеживание блуждающего эк стремума, т. е. решение задачи
Qi(X)—>min, |
(2.4.2) |
A 'S S |
|
где индексом t обозначена зависимость функции качества от времени.
Заметим далее, что очень часто показатель качества Q в процессах экстремального регулирования образуется как выход динамического объекта, т. е.
Q = Q, (X . р), |
(2.4.3) |
где р = -jj,---- оператор дифференцирования.
Очевидно, что зависимость значения показателя ка чества Q от времени и динамики объекта (динамики его переходных процессов) существенно оказывает влияние на способ решения задачи экстремального регулирова ния. В этом, пожалуй, и состоит наибольшее различие между оптимизацией и экстремальным регулированием.
Действительно, решение задачи оптимизации может быть выполнено достаточно широким спектром методов. Каждый из этих методов рано или поздно, но в конце кон цов решит поставленную задачу оптимизации экстремаль ного объекта. Один метод это сделает раньше, а другой — позже. В этом, с точки зрения потребителя, пожалуй, и будет заключаться разница между методами. И если пот ребитель не очень торопится решить свою задачу, то поч ти все методы для него примерно равны.
Иная ситуация складывается при экстремальном ре гулировании динамических и блуждающих объектов. Здесь далеко не всякий алгоритм поиска применим, так как необходимо эффективно отслеживать блуждающий экстремум. В противном случае его можно вообще потерять (например, в случае, когда скорость поиска экстремума меньше скорости его «уплывания»). Именно поэтому ал горитмы экстремального регулирования должны находить ся в строгом соответствии с объектом.
Рассмотрим способы оценки эффективности алгорит мов экстремального регулирования.. Пусть решение зада чи экстремального регулирования каким-либо алгоритмом