книги / Системы экстремального управления

Это означает, что, максимизируя величину Q (т), можно набти оптимальное значение т, которое в силу (2.2.6) и определяет скорость движения полосы проката:

I

у = — •

Таким образом, для определения скорости движения по­ лосы достаточно подобрать такое значение запаздывания т,

Рис. 2.2.11. Вид автокорреляционной функции.

которое максимизирует величину Q (т). Видно, что си­ стема бесконтактного определения скорости является экстремальной.

Эта система является также дискретной, так как пока­ затель качества Q (т) определяется в результате осредне­

ральный характер, т. е. определяются на базе конечного промежутка времени работы объекта.

4. В зависимости от инерционных свойств экстремаль­ ные объекты подразделяют условно на инерционные и безы­ нерционные.

Эти понятия удобно ввести, рассматривая время Тх, необходимое для изменения параметров объекта (время перекладки), и время Т2 установления показателя качест­ ва после перекладки параметров (рис. 2.2.42). Условимся считать объект безынерционным, если Т1 Т2. Если же Тг<^ Т2, то объект естественно назвать инерционным. В первом случае динамическими свойствами объекта можно пренебрегать по сравнению с динамическими

свойствами исполнительных механизмов, изменяющих зна­ чения управляемых параметров. Во втором случае динами­ ка объекта уже играет определяющую роль и пренебрегать ею при описании процесса экстремального управления никак нельзя.

Один и тот же экстремальный объект может быть инерционным и безынерционным в зависимости от дина­ мических свойств исполнительных механизмов. Если

управляемые параметры изменяются скачком (путем ком­ мутации), т. е. практически мгновенно, то почти любой реальный объект можно считать инерционным, так как показатель качества в этом случае изменится с некоторым запаздыванием, которое всегда будет больше времени переключения. С другой стороны, все экстремальные объекты с интегральным показателем почти всегда инер­ ционны, так как время определения этого интегрального показателя всегда больше времени изменения управля­ емых параметров. В случае же достаточно медленного из­ менения управляемых параметров объект можно почти всегда считать безынерционным и его динамическими свой­ ствами можно пренебрегать.

Когда не известно, к каким последствиям может приве­ сти неучет динамики объекта, в случае если динамические уравнения неизвестны, применяют следующий прием: скорость изменения управляемых параметров объекта намеренно делают достаточно малой, чем почти полностью снимается влияние динамических свойств объекта. Вре-

мя настройки при этом существенно увеличивается. Этот способ опирается на рассмотренное выше определение безынерционного объекта.

Однако существуют и принципиально безынерцион­ ные объекты. Примером такого объекта может служить упомянутая в этом параграфе система совмещения изобра­ жений. Действительно, процесс определения светового потока через совмещенные изображения является электри­ ческим процессом и при отсутствии фильтрации протекает всегда значительно быстрее, чем механические процессы смещения и поворота одного из изображений. Поэтому система совмещения изображений всегда может считаться безынерционной.

5. В качестве последнего пункта классификации экс­ тремальных объектов рассмотрим классификацию по объ­ ему априорной (предварительной) информации.

В соответствии с указанным будем разделять экстре­ мальные объекты на объекты типа «черный ящик» и объекты типа «очень слоэюный ящик». Черным ящиком будем назы­ вать объект, для которого не имеется никакого математи­ ческого описания. Малый объем априорной информации об объекте, которую можно использовать при организа­ ции процесса поиска экстремума, и заставляет называть его «черным». Примером таких «ящиков» могут служить всякого рода технологические процессы, процессы в био­ логических системах и т. д. Все эти объекты отличаются почти полным отсутствием математического описания.

известна.

Однако далеко не все объекты экстремального управле­ ния таковы. Существует большой класс объектов, для которых имеется полное математическое описание и зави­ симость показателя качества Q от оптимизируемых пара­ метров X известна. Но эта зависимость настолько сложи а что применение обычных вариационных способов отыска­ ния экстремума просто теряет смысл из-за огромных вы­ числительных трудностей. Такие экстремальные объекты назовем «очень сложными ящиками». Примером таких объектов могут служить системы оптимального проекти­ рования, когда известен функционал, связывающий по­ казатель качества с искомыми параметрами объекта.

Рассмотрим в качестве иллюстрации систему трансцен­ дентных уравнений:

/п (®i> *^2> ••• > *^п) =

где fi — нелинейные функции искомых аргументов.

Рис. 2.2.13. Схема решения системы трансцендентных уравнений как задачи оптимизации.

Обозначим значения левых частей исходной системы

Эти значения равны нулю только в том случае, если па­ раметры xlt ., хп являются решением системы (2.2.7). Образуем показатель качества этой системы в виде

где хг, х2, ., Хп —решение системы (2.2.7). При всех других значениях искомых параметров показатель ка­ чества отличен от нуля. Следовательно, зависимость Q = Q (xj, х2, хп) имеет экстремальный характер. Поэтому решение исходной системы трансцендентных уравнений можно искать путем минимизации этого пока­ зателя.

На рис. 2.2.13 показан экстремальный объект, обра­ зуемый при решении указанной задачи. Здесь блоки f t являются преобразователями, реализующими выражение (2.2.8), а «Кв» — квадраторы, реализующие операцию возведения в квадрат.

Другим примером «очень сложного ящика» является система обыкновенных дифференциальных уравнений

где функцииfi (i = 1, . .. , n) заданы. Образуем функцию невязки аналогично (2.2.9) в виде

где tj — заданные дискретные моменты времени. Теперь оценки производных в (2.2.12) можно записать в виде

которая зависит от n (N + 1) параметров (2.2.13). Мини­ мизация этой функции решает задачу (2.2.10).

Для частного случая, когда tj — = А = const, получаем

N п

G = 4 " 2 2 [*i - 4 ~ * - M i ( 4 ......< А/)]2. (2.2.16)

3=1 г=1

Таким образом, систему обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений (2.2.10) можно также решать методами экстремального управления, так как она сводится к ми­ нимизации функции искомых переменных задачи.

И, наконец, последний пример —решение граничных задач уравнений в частных производных. Пусть необхо­ димо решить уравнение в частных производных

где <р = ф (х, у) —искомая функция, V —дифферен­ циальный оператор в частных производных. Например, для плоской задачи теории упругости этот оператор имеет вид

Функция ф при этом должна еще удовлетворять гранич­ ным условиям (отсюда и название «граничная задача»)! на границе у — f (х) функция ф (х , у) и ее производные должны принимать заданные значения, например:

Трудности в решении этой задачи заключаются имен­ но в удовлетворении ограничений (2.2.18). Поэтому све­ дение поставленной задачи к экстремальной заключает­ ся в построении функции невязки выполнения граничных

причем интеграл берется вдоль границы, где определены ограничения. Теперь достаточно удовлетворить исходному уравнению (2.2.17).

Обычно существует достаточно много функций, удов­ летворяющих (2.2.47), и их легко определить. Естествен­ но решение представить в виде разложения по этим функ­ циям

a Ci —неизвестные коэффициенты. Подставляя это вы­ ражение в (2.2.19), получаем функцию качества в виде

П

Q (Сх,... ,сп) = (J) | 2 CiVcpi [х, / (ж)] — ф (Æ)J2 dx. (2.2.21)

Коэффициенты с1}..., сп определяются из естественного условия минимизации функции невязки

Таким образом, решение граничной задачи сведено к ми­ нимизации функции, т. е. к решению задачи экстремаль­ ного управления.

Вработе [2:23] этот метод применен для решения одной конкретной задачи теории упругости (растяжение плоской полосы с отверстием посередине).

Взаключение следует отметить, что объекты типа «очень сложный ящик» являются, по сути дела, задачами

типа математического программирования, которые зак­ лючаются в минимизации некоторой функции при нали­ чии определенных ограничений на оптимизируемые пара­ метры. (Более подробно эти задачи рассмотрены в сле­ дующем параграфе.)

§ 2.3. Постановка задачи оптимизаций. Объекты оптимизации

Под оптимизацией здесь понимается однократный про­ цесс достижения экстремальной цели, т. е. определение такого допустимого состояния X* объекта, в котором показатель качества достигает своего минимального

(а вообще, экстремального) значения:

для X , X* Œ S , где S — множество допустимых состоя­ ний объекта. При этом значение Q* может быть неиз­ вестно.

В процессе оптимизации предполагается, что положение цели X* не изменяется, т. е.

Объекты оптимизации целесообразно подразделять на три типа.

A. Математические объекты, для которых функция качества и множество S заданы математическими выра­ жениями.

Б. Модельные объекты, которые представляют собой различного рода физические модели объектов (например, электронные модели).

B. Реальные объекты с неизменными свойствами (не­ изменность свойств необходима для выполнения условия (2.3.2)).

Рассмотрим каждый тип объектов в отдельности.

А. Математические объекты. Это — прежде всего объ­ екты так называемого математического программирова­ ния 12.1]. Среди них особо следует отметить задачи ли­ нейного программирования, которые формулируются так [2.2—2.61; следует минимизировать линейную форму

П

и матрицей п X тп

В = II Ъц 1 (i = 1, • • , т; / = 1 , . . . , п). (2.3.6)

Таким образом, прежде чем решать задачу, необходимо задать по крайней мере п -\-т (п - fl) чисел (2.3.5) и (2.3.6).

Процесс решения задачи линейного программирования естественно ориентировать на линейность основных зави­ симостей (2.3.3) и (2.3.4), что выполняет так называемый симплексный метод, который применим только для задач такого рода.

Едва ли здесь стоит излагать этот метод. Этому способ­ ствуют по крайней мере два обстоятельства. Первое — симплексный метод многократно описывался как в учеб­ ной [2.5], так и в монографической [2.6] литературе. Вто­ рое — задачи линейного программирования обычно яв­ ляются достаточно грубым приближением к реальным за­ дачам экстремального управления, которые, как правило, нелинейны.

(здесь ai) — относительное содержание /-го компонента в i-м ресурсе), необходимо составить смесь заданного со­ става

где ci —относительное содержание г-го компонента в смеси. Смесь характеризуется вектором X = (хх ,

. . . , хт), где xi — относительное количество i-ro ресурса

= 1\. Ресурсы характеризуются вектором стоимости

где aj — стоимость единицы /-го ресурса. Стоимость еди­ ницы смеси при этом должна быть минимальной.