книги / Системы экстремального управления

линией на рис. 4.4.2 изображены минимальные потери на рысканье.

Средние потери на рысканье в этом случае получаются путем осреднения по всем возможным значениям — а<Су —

— х — х* ^ О (ô = 0), т. е.

После интегрирования и преобразований получаем сле­ дующее выражение:

Из этого выражения хорошо видно, что потери на рысканье возрастают с ростом величин пробного (g) и рабочего (а) шагов, причем это возрастание пропорционально квадра­ ту указанных величин. Потери на рысканье уменьшаются с ростом времени выдержки Т%так как при этом умень­ шается влияние пробных шагов. При Î1 оо из (4.4.22) получаем

т. е. в пределе потери не зависят от величины пробных ша­ гов. Это объясняется тем, что при T ^ > tn2 удельное влия­ ние пробных шагов мало, так как система подавляющее время находится в состоянии выдержки.

Как видно, для эффективного уменьшения потерь на рысканье следует уменьшать величину рабочих шагов или увеличивать время выдержки.

Однако, как видно из (4.4.2), это требование находится в полном противоречии с требованиями, предъявляемыми к анализируемым алгоритмам с точки зрения потерь на

На рис. 4.4.3 показаны зависимости потерь на поиск и на рысканье от величины рабочего шага а и от времени

Таким образом, выбор величин a, g и Т должен произ­ водиться оптимальным образом в зависимости от особен­ ностей поведения объекта в процессе эксплуатации.

2. Рассмотрим теперь потери на рысканье алгоритма поиска с непарными пробами (§ 4.2) при работе на квад­ ратическом объекте.

Пусть для предельного цикла условие (4.2.6) выполня­ ется и поэтому рабочий шаг в цикле не делается. Предель­ ный цикл для этого случая состоит из двух переходов

Рис. 4,4.4. Предельные циклы для алгоритма поиска с непарными пробами: а) цикл первого рода — без рабочего шага, б) цикл вто­ рого рода — с рабочими шагами.

и показан на рис. 4.4.4, а. Будем называть его циклом первого рода. Потери на рысканье такого цикла имеют вид

где £ц2 — время одного цикла поиска, которое при усло­ виях (4.4.11) равно

Как обычно, потери на рысканье зависят от значения я, которое в свою очередь зависит от начальных условий.

Иэ (4.4.24) можно получить верхнее и нижнее значения потерь на рысканье. Наименьшие потери получаются при

осреднения (4.4.24) по всем возможным значениям х

полняется, то в процессе поиска устанавливается более сложный предельный цикл — цикл второго рода. Он по­ казан на рис. 4.4.4, б.

Потери на рысканье в этом случае равны

Дм = -“èц2- { T I»* + (У + а)2) + [(У+ e f +

-1- (у + а + g f\} = к]уг + уа + -у- + (2у + а + g)j ,

объекта:

Как обычно, потери зависят от положения цикла х. Ми­ нимальные потери соответствуют х — х* — — ^ и равны

Средние потери получаются, как обычно, путем осредне­ ния потерь (4.4.31) по всем возможным положениям пре­ дельного цикла:

где у = х — ж .

Если неравенство (4.3.5) не выполняется, то предель­ ный цикл (второго рода) может иметь вид «восьмерки». Он

Максимальные потери, как легко заметить, соответствуют

(4.4.37)

Средние потери

Этот поиск имеет максимальное быстродействие, но за это он «расплачивается» высоким значением потерь на рыс­ канье (порядка а2). Оба предыдущие алгоритма на цикле первого рода имеют потери на рысканье порядка g2.

В заключение этого параграфа еще раз отметим, что потери на рысканье существенно зависят от величины проб­ ных и рабочих шагов поиска. Поэтому для снижения этих потерь следует уменьшать, прежде всего, размеры рабо­ чих шагов, что, как известно, находится в противоречии с требованием быстродействия. Для повышения быстродей­ ствия поиска величину рабочего шага нужно, наоборот, увеличивать. Выбор конкретных значений величин проб­ ных и рабочих шагов должен происходить с учетом осо­ бенностей поведения оптимизируемого объекта, т. е. ну­ жен компромисс между ними. Другим путем является адап­ тация.

§4.5. Адаптация поиска

Впредыдущем параграфе было показано, что выбор оптимальных значений параметров а и Т алгоритмов ос­

ложнен противоречивостью критериев потерь на поиск К и потерь на рысканье R. Так, с точки зрения потерь на поиск величина рабочего шага должна быть максималь­ ной, а выдержка Т — минимальной. Критерий потерь на рысканье требует обратного решения.

Это противоречие можно было бы попытаться прими­ рить, если ввести глобальный компромиссный критерий, учитывающий время пребывания системы в двух режимах: движение к экстремуму и работа в районе экстремума. Но полученные таким образом «оптимальные» значения а и Т были бы заведомо не оптимальны на каждом режиме

в отдельности и система поиска работала бы не наилуч­ шим образом.

Это обстоятельство заставляет обратиться к адаптации как к средству управления значениями параметров а и Т. Алгоритм адаптации должен, прежде всего, определять режим, в котором работает алгоритм. Для этого, как лег­ ко заметить, достаточно фиксировать значение знака про­ изведения двух следующих друг за другом рабочих шагов

Если IN 0, то система находится в режиме движения к экстремуму (оба шага сделаны в одном направлении). Если же IN < 0, то это — работа в районе экстремума (рабочие шаги либо противоположно направлены, либо нулевые).

Теперь нетрудно построить алгоритм адаптации для

Т:

Смысл этого алгоритма адаптации прост: в районе экстре­

экстремума.

Алгоритм адаптации величины рабочего шага удобно

рабочий шаг будет увеличиваться, а в зоне экстремума — уменьшаться или сохранять свое значение (при I = 0, что несущественно, так как в этом случае рабочих шагов не делается).

Таким образом, адаптация параметров алгоритмов поиска дает возможность поиску работать оптимально в каждом режиме.

Г Л А В А 5

МЕТОДЫ УЛУЧШЕНИЯ ШАГОВОГО ПОИСКА

В предыдущей главе рассмотрены и проанализированы алгоритмы шагового поиска, которые работают на объек­ тах, функция качества которых унимодальна. Таким об­ разом, унимодальность является единственным ограниче­ нием, накладываемым этими алгоритмами на объект. (За­ метим, что даже непрерывность рассмотренных моделей не была существенной для поиска.)

Однако очень часто об объекте известно нечто большее, чем его унимодальность. Например, бывает известно, что его функция качества является квадратичной параболой, или кусочно-линейна и т. п. Эта дополнительная информа­ ция об объекте никак не использовалась рассмотренными выше методами поиска. За счет этого указанные алгорит­ мы имеют универсальный характер. Но эта универсаль­ ность получена ценой снижения быстродействия, ко­ торого можно было бы достигнуть, если использовать некоторые предварительные сведения об объекте. Эти сведения очень часто имеются или их получение обхо­ дится не слишком дорого.

В этой главе рассмотрены алгоритмы поиска, которые созданы для эффективного управления объектами опре­ деленного класса, когда априорные представления об объекте более значительны, чем сведения об его унимодаль­ ности.

§ 5.1. Градиентный поиск

Градиентом функции одной переменной Q = Q (х) на­ зывают ее производную

которая определяет наклон экстремальной характеристи­ ки объекта Q (х).

Если объект является «черным ящиком», то градиент оценивается по двум замерам в близлежащих состояниях. Например:

где величина g предполагается достаточно малой. Очевид­ но, что при g 0 это выражение соответствует (5.1.1), т. е. им можно пользоваться]*вполне надежно для достаточно* глад­ ких функций Q (ж) и при малых

значениях g.

Идея использования понятия градиента для целей убыстрения поиска заключается в следующем. Для широкого класса объектов характеристика Q (ж) имеет такую особенность: чем дальше от экстре­ мума х*, тем круче наклон харак­ теристики (например, в случае квадратического ’объекта). Следо­ вательно, величина модуля гра­ диента может служить мерой уда­ ленности от экстремума, т. е.

основание для построения следующего алгоритма поиска, который называется градиентным.

Пусть длина рабочего шага берется не постоянной, а

где градиент оценивается по формуле (5.1.2). Формула для рабочего шага в этом случае записывается в виде

Применение такого алгоритма поиска для объектов параболического класса позволяет действовать довольно разумно, т. е. вдали от экстремума делать большой рабо­ чий шаг, а вблизи — малый.

На рис. 5.1.1 показана блок-схема алгоритма гради­ ентного поиска, которая очевидна и не нуждается в до­ полнительных пояснениях.

Рассмотрим аппаратурную реализацию этого алгорит­ ма. На рис. 5.1.2 изображена блок-схема экстремального

Рис. 5.1.2. Блок-схема экстремального регулятора, работающего методом градиентного поиска.

регулятора, реализующего градиентный поиск. Здесь генератор пробных шагов ГПШ вырабатывает пробные смещения управляемого параметра, реализуя операторы пробных шагов «ж + g» (см. рис. 5.1.1). Полученное в результате проб приращение AQ сообщается исполни­ тельному механизму ИМ , который и производит рабочее смещение — aAÇ. Работой экстремального регулятора управляет программное устройство ПУ, включающее по­ очередно ГПШ и ИМ и управляющее памятью П, где запоминается предыдущее значение показателя качества.

Теперь рассмотрим особенности поведения объекта в процессе градиентного поиска. Определим скорость при­ ближения к экстремуму в процессе оптимизации объекта параболического вида:

гично и приведет к тому же результату ввиду симметрии.)