книги / Фейнмановские лекции по физике Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Вып. 1-2 Современная наука о природе. Законы механики. Пространство. Время. Движение

Солнца вы толкнете ее к Солнцу с той же скоростью и подо­ ждете, пока она не упадет на нужное расстояние, то приобре­ тенная скорость будет как раз такой, какой планета обла­ дает на этой орбите, потому что получился просто другой пример сложного, пути обхода. Если планета вернется по такому пути обратно, ее кинетическая энергия окажется прежней. Поэтому независимо от того, движется ли она по настоящей невозмущенной орбите или же по сложному пути (но без трения), кинетическая энергия в момент возвраще­ ния на орбиту оказывается как раз такой, какой нужно.

Значит, когда мы проводим численный анализ движения планеты по орбите (как мы делали раньше), мы можем про­ верить, не сделали ли заметных ошибок при расчете этой по­ стоянной величины, энергии, на каждом шаге; она не должна меняться. Для орбиты, приведенной в табл. 9.2 (стр. 174), энергия меняется* примерно на 1,5% с начала движения до конца. Почему? То ли потому, что в численном методе мы пользовались конечными приращениями, то ли из-за мелких погрешностей в арифметике.

Рассмотрим энергию в другой задаче: задач’е о массе, под­ вешенной на пружине. Когда отклоняют массу от положения равновесия, сила, восстанавливающая ее положение, пропор­ циональна смещению. Можно ли в этих условиях вывести закон сохранения энергии? Да, потому что работа, совер­ шаемая этой силой, равна

Значит, у массы, подвешенной на пружине, сумма кинетиче­ ской энергии ее колебаний и V2 kx2 постоянна. Посмотрим,

как это происходит. Оттянем массу вниз; она неподвижна и скорость ее равна нулю, но х не равно нулю, теперь вели­ чина х максимальна, так что имеется и некоторый запас энер­

гии (потенциальной). Отпустим теперь массу: начнется какой-то процесс (в детали мы не вникаем), но в любое мгно­ вение кинетическая плюс потенциальная энергии будут по­ стоянны. Например, когда масса проходит через точку перво­ начального равновесия, то х = 0, но тогда значение v2 наи­ большее, и чем больше величина х2, тем меньше v2 и т. д.

Значит, во время колебаний соблюдается равновесие между величинами х2 и о2. Мы получили, таким образом, нрвоё пра­ вило: потенциальная энергия пружины равна xkkx2, если сила равна —kx.

* Энергия в единицах табл. 9.2 есть '/г (»* + oj) — 1/г.

241

§ 3. Сложение энергий

Перейдем теперь к более общему случаю и рассмотрим, что произойдет, если тел много. Предположим, что имеется несколько тел; пронумеруем их: i = 1 , 2, 3, ... и пусть все

они притягивают друг друга. Что тогда произойдет? Можно доказать, что если сложить кинетические энергии всех тел и добавить сюда сумму (по всем парам частиц) их взаимных потенциальных энергий тяготения —GMm/rij, то все вместе

даст постоянную:

= const. (13.14)

Как же это доказать? Мы продифференцируем обе стороны по времени и докажем, что получится нуль. При дифференци­ ровании мы получим производные скорости — силы

[как в (13.5)], а потом эти силы заменим их величиной, известной нам из закона тяготения, и увидим в конце концов, что останется как раз производная по времени от

Начинаем доказательство. Производная кинетической энергии по времени есть

(13.15)

Производная по времени от потенциальной энергии есть

но

Гц = У(*i — Xj )2 4* {tji — у i f 4 - fa—Z ] f ,

так что

2 4 2

V/]. (13.16)

Теперь внимательно посмотрим, что значит^] ( Z 1 и S •

мает все значения, кроме i. Если, например, i = 3, то / при­

нимает значения 1, 2, 4..........

С другом стороны, в (13.16) X означает, что каждая

пары

пара i и / встречается лишь однажды. Скажем, частицы 1 и

3 дают только один член в сумме. Чтобы отметить это, можно

и что оба эти члена выглядят так же, как член в уравнении (13.14) [но только в последнем в сумму входят все значения i и / (кроме i== /)]. В уравнениях (13.16) и (13.15) член за

членом совпадут по величине. Знаки их, однако, будут проти­ воположны, так что производная по времени от суммы по­ тенциальной и кинетической энергий действительно равна нулю. Итак, мы видим, что и в системе многих тел кинети­ ческая энергия составляется из суммы энергий отдельных тел

и что потенциальная энергия тоже состоит из взаимных по­ тенциальных энергий пар частиц. Почему она складывается из энергий пар? Это можно уяснить себе следующим обра­ зом: положим, мы хотим найти всю работу, которую нужно совершить, чтобы развести тела на определенные расстояния друг от друга. Можно это сделать не за один раз, а посте­ пенно, доставляя их одно за другим из бесконечности, где на них никакие силы не влияли. Сперва мы приведем тело 1, на что работы не потребуется, потому что, пока нет других тел, силы отсутствуют. Доставка тела 2 потребует работы Wl2 = —Gmi/n2/ri2. И вот теперь самый существенный мо­ мент: мы доставляем тело 3 в точку 3. В любой момент сила,

действующая на 3, слагается из двух частей: из силы, дей­ ствующей со стороны 1, и силы со стороны 2. Значит, и вся произведенная работа равна сумме работ каждой из сил,

потому что раз F3 разбивается на сумму сил

F 3 — F t 3 “b ^23»

243

т о р а б о т а р а в н а

^ F3 • ds = J F13 • ds + ^ F23 • ds = W -f- M23.

Стало быть, вся работа равна сумме работ, произведенных против силы 1 и против силы 2, как если бы они действо­ вали независимо. Продолжая рассуждать таким образом, мы увидим, что полная работа, которую необходимо выполнить» чтобы собрать данную конфигурацию тел, в точности равна значению (13.14) для потенциальной энергии. Именно из-за того, что тяготение подчиняется принципу наложения сил, можно потенциальную энергию представить в виде суммы по всем парам частиц.

4. Поле тяготения больших тел

Теперь рассчитаем поля, встречающиеся во многих физи­ ческих задачах, когда речь идет о распределении масс.

Мы пока не рассматривали распределения масс, а занима­ лись только отдельными частицами. Но интересно рассчитать и поля, образуемые более чем одной частицей. Для начала найдем силу притяжения со стороны плоского пласта веще­ ства бесконечной протяженности. Сила притяжения единич­ ной массы в данной точке Р (фиг. 13.5), конечно, направлена

чины поле dC создается массой dm, удаленной от О не ближе,

составляющих С после сложения всех dС должна остаться

лишь х-составляющая. Она равна

dCx = G d m rx

г9

Все массы dm, которые находятся на одном и том же рас­ стоянии г от Р, дадут одно и то же значение dCx, так что за dm можно сразу принять массу всего кольца между р и

Ф и г. /3 . 5 . Сила притяжения ма­ териальной точки материальной плоскостью.

244

p-j-dp, т. e. dm = \i2npdp {2npdp— это площадь кольца ра­

диусом р и шириной dp при dp < р). Итак,

dCx = G\x2яр -^ £.

Но рdp = rdr из-за того, что г2 = р2 -f я2. Поэтому

0 0

C x ^ 2 n G \ i a \ ^ - = = 2 n G \ i a ( j - - ^ ) = 2nG\i. (13.17)

а

Стало быть, сила не зависит от расстояния а! Почему? Не ошиблись ли мы? Казалось бы, чем дальше от плоскости, тем сила слабее. Но нет! Если точка находится вплотную к плоскости, то большая часть вещества притягивает ее под неудачными углами, а если вдалеке, то у большей части ве­ щества притяжение направлено прямее к плоскости. На лю­ бом расстоянии самая «влиятельная» часть плоскости лежит в некотором конусе. С удалением сила ослабляется обратно пропорционально квадрату расстояния, но в том же конусе под тем же углом оказывается больше вещества, а рост коли­

чества вещества тоже пропррционален квадрату расстояния! Этот анализ может быть сделан более строгим, если заме­ тить, что дифференциал вклада любого данного конуса не зависит от расстояния в результате противоположных изме­ нений напряженности поля данной массы и количества са­ мой этой массы (с ростом расстояния). Впрочем, на самом деле сила не постоянна, ибо на другой стороне плоскости она меняет знак.

Мы решили, кстати, и задачу по электричеству: мы дока­ зали, что у заряженной пластины, каждая единица площади которой несет заряд о, электрическое поле равно а /2 е о и на­

ту же роль, что У* яео в электричестве.

А теперь пусть имеются две пластины, одна с положи­ тельным зарядом -fa, а другая с отрицательным —а (на еди­ ницу площади), и пусть промежуток между ними равен D.

Каково поле этих пластин? Снаружи пластин поле равно нулю. Отчего? Оттого, что одна из них отталкивает, а дру­ гая притягивает и у обеих сила не зависит от расстояния; значит, силы уничтожаются! А вот поле между пластинами

вдвое больше, чем поле одно!й пластины, направлено оно от положительной пластины к отрицательной и равно Е — O / EQ.

Перейдем теперь к еще более интересному и важному во­ просу; впрочем, мы давно уже ответили на него, предполо­ жив, что сила притяжения Земли в точке на ее поверхности

245

или над нею такая же, как если бы вся масса Земли сосре­ доточилась в ее центре. Справедливость этого предположе­ ния не очевидна: ведь когда мы находимся у самой земли, какая-то часть ее массы очень к нам близка, а другая да­ лека и т. д, Когда мы складываем действие всех таких масс, то кажется чудом, что в конце концов сила сводится к тому, что вся Земля сжалась в одну точку, стянулась к своему центру!

Мы теперь покажем, что это чудо обыкновенное; чтобы продемонстрировать это, разобьем Землю на тонкие сфери­ ческие слои. Пусть вся масса сферы равна т. Давайте рас­ считаем потенциальную энергию частицы массы т ' на рас­ стоянии R от центра сферы (фиг. 13.6). Мы увидим, что потенциальная энергия как раз такая, как если бы масса т

сферы вся собралась в ее центре. (Легче иметь дело с по­ тенциальной энергией, чем с напряженностью поля: не нужно думать об углах, а просто складывать потенциальные энер­

тогда вся масса пояска толщиной dx находится на одном и том же расстоянии г от точки Р, а потенциальная энергия притяжения этого пояска равна —Gm'dm/r. Сколько же массы содержится в пояске dx} Вот сколько:

где ц = ш/4яа2— поверхностная плотность массы. (Вообще площадь поверхности шарового пояса пропорциональна его высоте.) Поэтому потенциальная энергия притяжения массы dm есть

Но мы видим* что

r2 = */2 + (tf-*)*= = t/2 + *2 + Rz - 2 R x = a2 + R * -2 R x .

Значит,

2 r d r ~ — 2R dx,

246

Г л а в а

248

казать. Конечно, если доказательство требует особых мате­

матических выкладок или «трюков», никогда прежде не ви­ денных, то надо обратить внимание... впрочем, не на сами трюки, а на их идею.

Ни одно из доказательств, приведенных в этом курсе, автор не запомнил с тех времен, когда сам учил физику. Наоборот, он просто вспоминает, что то-то является верным, и, пытаясь пояснить, как это доказывается, сам придумывает доказательство в тот момент, когда-оно необходимо. И вся­ кий, кто действительно изучил предмет, должен быть в со­ стоянии поступать так же, не запоминая доказательств. Вот почему в этой главе мы будем избегать вывода различных положений, сделанных ранее, а просто будем подводить итоги.

ничего общего не имеет с общежитейским ее смыслом...

Физическая работа выражается в виде ^ F • ds, или «кон­

турный интеграл от F по ds скалярно»; последнее означает,

что если сила направлена, скажем, в одну сторону, а тело, на которое сила действует, перемещается в другую сторону, то работу совершает только составляющая силы в направле­ нии перемещения. Если бы, например, сила была постоянна,

а смещение произошло на конечный отрезок As, то работа, выполненная постоянной силой на этом пути, была бы равна произведению составляющей силы вдоль As на As. Правило гласит: «работа есть сила на путь», но подразумевается лишь составляющая силы в направлении перемещения, умножен­ ная на As, или, что одно и то же, составляющая перемещения в направлении силы, умноженная на F.

Очевидно, что сила, направленная под прямым углом к перемещению, никакой работы не произведет.

Если, далее, вектор смещения As разложить на составляю­ щие, т. е. если истинное смещение есть As и мы хотим счи­ тать, что оно состоит из составляющих смещения Ах в направ­ лении х, Ау в направлении у и Дг в направлении г, то вся

произведенная работа перемещения тела из одного места в другое может быть рассчитана по трем частям: отдельно работа смещения вдоль х, вдоль у и вдоль г. Работа переме­

щения вдоль х требует знания только соответствующей со­

танное, криволинейное, то нужно разбить путь на множество малых As, сложить работы переноса тела вдоль каждого As и перейти к пределу при As, стремящемся к нулю. В этом смысл понятия «контурный интеграл».

249

Все, что мы только что сказали, содержится в формуле

Смысл слова «работа» в физике настолько отличается от того, что подразумевают под этим словом в обычных обстоя­ тельствах, что надо тщательно проследить это различие. Например, по .точному смыслу физического определения ра­ боты, если вы держите в руках двухпудовую гирю, вы не совершаете никакой работы. Вас бросает в пот, ваши руки дрожат, вы дышите тяжело, как будто взбежали по лестни­ це, а работы вы не совершаете. Когда вы взбегаете по лестнице, то считается, что вы совершаете работу; когда вы

сбегаете по лестнице вниз, то, согласно физике, мир произ­ водит работу над'вами, а вот когда вы держите предмет, стоя неподвижно, никакой работы не производится. Физическое определение работы отличается от физиологического по при­ чинам, которые мы сейчас кратко изложим.

Когда вы держите груз, вы, конечно, выполняете «физио­ логическую» работу. Отчего вас бросает в пот? Почему для такого занятия вам необходимо хорошо питаться? Почему все механизмы внутри вас работают в полную силу, когда вы подставили спину под груз? Ведь можно на этот груз не тратить никаких усилий, стоит лишь положить его на стол, и стол спокойно и мирно, не нуждаясь ни в какой энергии, будет держать себе тот же груз на той же высоте! Физиоло­ гия дает примерно следующее объяснение. У человека и у других животных есть два рода мышц. Одни, называемые

поперечнополосатыми, или скелетными, контролируются на­

шей волей; таковы, например, мышцы рук. Другие мышцы называются гладкими (например, мышцы внутренностей или

у моллюсков большой замыкающий мускул, который закры­ вает створки). Гладкие мышцы работают очень медленно, но способны «оцепенеть»; это значит, что если, скажем, моллюс­ ку нужно удержать свои створки в определенном положении, то он их удержит, какая бы сила на них ни нажимала. Мно­ гие часы способен он без устали держать створки под нагрузкой, подобно столу, на который положен груз; мышца «застывает» в определенном положении, молекулы ее как бы схватываются друг с другом, не совершая никакой рабо­ ты, не требуя от моллюска никаких усилий. Нам же нужны непрерывные усилия, чтобы удержать вес. Это объясняется просто устройством поперечнополосатых мышц. Когда нерв­ ный импульс достигает мышечного волокна, оно несколько сокращается и затем опять расслабляется; когда мы держим груз, то в мышцу сплошным и обильным потоком текут нерв­ ные импульсы, множество волокон сокращается, пока другие

250