книги / Фейнмановские лекции по физике Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Вып. 1-2 Современная наука о природе. Законы механики. Пространство. Время. Движение

Ф и г. 9.5. Сила притяжения, действующая на планету.

посмотрим, можно ли при некоторых приближениях получить эллиптическую орбиту. Предположим, что Солнце бесконечно тяжелое в том смысле, что его движение не будет прини­ маться в расчет.

Допустим, что в известной точке планета начала свое дви­ жение и имеет определенную скорость. Она движется вокруг Солнца по какой-то кривой, и мы попытаемся определить с помощью уравнений движения Ньютона и его же закона всемирного тяготения, что это за кривая. Как это сделать? В некоторый момент времени планета находится в каком-то определенном месте, на расстоянии г от Солнца; в этом слу­ чае известно, что на нее действует сила, направленная по прямой к Солнцу, которая, согласно закону тяготения, равна определенной постоянной, умноженной на произведение масс планеты и Солнца и деленной на квадрат расстояния между ними. Чтобы рассуждать дальше, нужно выяснить, какое ускорение вызывает эта сила.

Однако в отличие от предыдущей задачи нам потребуются теперь компоненты ускорения в двух направлениях, которые мы назовем х и у. Положение планеты в данный момент бу­ дет определяться координатами х к у, поскольку третья ко­ ордината z всегда равна нулю.

Действительно, координатная плоскость ху выбрана нами

таким образом, что г-компоненты как силы, так и начальной скорости равны нулю, а поэтому нет никаких причин, которые бы заставили планету выйти из этой плоскости. Сила при этом будет направлена по линии, соединяющей планету с Солнцем, как это показано на фиг. 9.5.

Из этого рисунка видно, что горизонтальная компонента силы так относится к полной ее величине, как координата х

относится к расстоянию г. Это сразу следует из подобия тре­ угольников. Кроме того, если х положительна, то Fx отрица­

171

написать, что х- или ^-компонента ускорения, умноженная на массу планеты, равна соответственно х- или ^/-компоненте

силы:

гУ *2+ 1/2*

Это именно та система уравнений, которую мы должны ре­ шить. Для того чтобы упростить вычисления, предположим, что либо единицы измерения времени или массы выбраны со­ ответствующим образом, либо нам просто повезло, словом, получилось так, что GM = 1. Для нашего случая предполо­ жим, что в начальный момент t — 0 планета находилась в точке с координатами х = 0,500 и у = 0,000, а скорость ее в этот момент направлена параллельно оси у и равна 1,6300.

Как же в этом случае делаются расчеты? Снова составляется таблица со столбцами для времени /, координаты х, х-ком- понент скорости vx и ускорения ах. Затем идут отделенные чертой три колонки: для координаты у, ^/-компонент скорости

и ускорения. Однако, для того чтобы подсчитать ускорения, мы должны воспользоваться уравнением (9.17), согласно ко-

торому его компоненты равны —лг/г3 и —у/г\ a r = V * 2 + У2- Так что, получив х и у, мы должны где-то в сторонке провести

небольшие вычисления — извлечь квадратный корень из сум­ мы квадратов и получить расстояние. Удобно также отдельно вычислить и 1/г3.

После этого все готово, чтобы определить компоненты ускорения. Всю эту работу можно сильно облегчить, если пользоваться таблицами квадратов, кубов и обратных вели­ чин. На нашу долю останется тогда только умножение х на

1/г3, которое легко выполняется на логарифмической ли­

172

ит. д.

В результате мы получим числа, приведенные в табл. 9.2,

где приблизительно за 20 шагов прослежена половина пути нашей планеты вокруг Солнца. На фиг. 9.6 отложены коорди­ наты планеты х н у , приведенные в табл. 9.2. Точки пред­

ставляют собой последовательные положения планеты через каждую десятую долю выбранной нами единицы времени. Видно, что сначала она двигалась быстро, а затем — все мед­ ленней и медленней. Видна также и форма кривой движения планеты. Итак, вы теперь знаете, как реально можно вычи­

слять движение планет!

Давайте посмотрим теперь, как вычислить движение Неп­ туна, Юпитера, Урана и остальных планет. Можно ли сделать подробные расчеты со множеством планет, учитывая к тому же и движение Солнца? Разумеется, можно. Найдем сначала силу, действующую на каждую данную планету, например на

173

ту* которую мы обозначим номером I и координаты кото­ рой хи у\ и Zi (i = 1 может означать Солнце, 1 = 2 — Мерку­ рий, i =■ 3 — Венеру и т. д.). Наша задача — найти координа­

ты всех планет. По закону тяготения х-компонента силы, действующая на i-ю планету со стороны планеты номер j с координатами Xj, у,, Zj, будет равна — Gmlmj (хг — ху)//^у.

Если же учесть силы со стороны всех планет, то получим следующую систему уравнений:

где r,j — расстояние между i-й и /■й планетами:

ги = V(*i — */)2 + (*/* — Уi f + % — Zf? > (9.19)

а£ означает суммирование по всем остальным планетам,

т.е. по всем значениям /, за исключением, конечно, / = i.

Таким образом, чтобы решить это уравнение, нужно лишь значительно увеличить количество столбцов в нашей таблице. Для движения Юпитера понадобится девять столбцов, для Сатурна — тоже девять и т. д. Если нам заданы все началь­ ные положения и скорости, то из уравнения (9.18) можно подсчитать все ускорения, вычислив, конечно, предварительно по формуле (9.19) все расстояния г,3. А сколько же времени потребуется на все эти вычисления? Если вы будете делать их сами дома, то очень много1 Однако сейчас уже имеются машины, неимоверно быстро выполняющие все арифметиче­ ские расчеты. Сложение, например, такая машина выполняет за I мксек, т. е. за одну миллионную долю секунды, а умно­

жение— за 10 мксек. Так что если один цикл расчетов со­

стоит из 30 операций умножения, то это займет всего лишь 300 мксек, или за 1 сек можно сделать 3000 циклов. Если мы

хотим считать с точностью до одной миллиардной, то для того, чтобы покрыть все время обращения планеты вокруг

176

178

лиза, очень мало. В том же гармоническом осцилляторе, на­ пример, если сила пружины не будет пропорциональна от­ клонению от положения равновесия, а окажется несколько сложнее, мы уже не сможем ничего поделать и вынуждены обращаться к численному расчету. Или, например, если во­ круг Солнца вращается не одна планета, а две (т. е. всего три тела взаимодействуют друг с другом), то нам не удастся найти аналитическую форму такого движения и на деле за­ дача тоже решается численно. Это знаменитая проблема трех тел, над которой в течение долгого времени бились лучшие умы человечества. Интересно, что, пока люди поняли ограни­ ченные возможности математического анализа и необходи­ мость использования числовых методов, потребовалось не­ мало времени. Сейчас с помощью этих методов решается огромное количество задач, которые не могли быть решены аналитически. Та же знаменитая проблема трех тел, решение которой, как полагали, очень сложно, в числовом методе вы­ глядит самой заурядной задачкой и решается способом, опи­ санным в предыдущей главе, т. е. с помощью большого числа арифметических действий. Однако имеются ситуации, когда оба метода оказываются бессильны: простые задачи решаются аналитически, а задачи посложнее — числовым арифметиче­ ским методом, но очень сложные задачи невозможно решить ни так, ни этак. Возьмите, например, сложную задачу столк­ новения двух автомобилей или даже движение молекул газа. В кубическом миллиметре газа содержится бесчисленное ко­ личество частиц, и было бы безумием пытаться решать за­ дачу со столькими переменными (около 1017, т. е. сто мил­ лионов миллиардов!). Столь же сложна задача о движении звезд в шаровом скоплении, где вместо двух или трех планет, движущихся вокруг Солнца, собрано громадное количество звезд. Эти проблемы нельзя решить прямыми методами, и нужно изыскать какие-то другие пути.

При таком положении, когда детальное рассмотрение не­ возможно, полезно знать некоторые общие свойства, т. е. общие теоремы или принципы, которые являются следствием законов Ньютона. Один из таких принципов — это закон сохранения энергии, который мы обсуждали в гл. 4. Вторым принципом является закон сохранения импульса, которому посвящена настоящая глава. Другая причина необходимости дальнейшего изучения механики — это существование неко­ торых общих свойств движения, которые повторяются при различных обстоятельствах; так что полезно изучить это свойство на каком-то одном частном случае. Мы, например, будем изучать столкновения; различные виды столкнове­ ний имеют много общего. Или возьмем течение жидкости, неважно какой; законы течения разных жидкостей имеют

179

много общего. Еще один пример, который мы будем изучать, это колебания, или осцилляция, в частности свойства меха­ нических волн: звука, колебания стержней и т. д.

Когда мы обсуждали законы Ньютона, то уже говорили

отом, что они являются своего рода программой, которая призывает нас обратить особое внимание на силы. Но о самих силах Ньютон сказал только две вещи. Он полностью сфор­ мулировал закон для сил тяготения, но почти ничего не знал

оболее сложных силах, например о силах между атомами. Однако он открыл одно правило, одно общее свойство всех сил, которое составляет Третий закон. Таким образом, все,

что Ньютон знал о природе сил,— это закон тяготения и общий принцип, который гласит:

Сила действия равна силе противодействия.

Означает это примерно следующее. Пусть имеются два маленьких тела, скажем две частицы, и пусть первая из них толкает вторую с некоторой силой. Тогда в соответствии с Третьим законом Ньютона вторая частица будет толкать первую с той же силой, но в противоположную сторону. Более того, эти силы будут действовать вдоль одной и той же линии. Эта гипотеза, или, если хотите, закон, предложенный Ньютоном, выполняется с большой точностью, хотя, впрочем, он не абсолютно точен (с нарушениями его мы познакомимся позднее). Сейчас, однако, мы будем считать его совершенно точным. Разумеется, если есть еще третья частица, которая расположена не на той же линии, что две первые, то закон вовсе не означает, что сила, действующая на первую частицу,

равна полной силе, действующей на вторую. Ведь эта третья частица может толкать две первые, в результате чего полная сила, действующая на первую частицу, будет направлена подругому и, вообще говоря, не будет ни равна, ни противопо­ ложна силе, действующей на вторую частицу. Однако полная сила, действующая на каждую из частиц, может быть разло­ жена на две составляющие, которые представляют собой силы, действующие между каждой парой частиц. Эти компо­ ненты силы для каждой пары частиц должны быть равны

по величине и противоположны по направлению.

§ 2. Закон сохранения импульса

Давайте посмотрим, чем интересен Третий закон Ньютона. Предположим для простоты, что имеются только две взаимо­ действующие частицы — частица 1 и частица 2, масса которых может быть различна. К какому следствию приводит равен­ ство и противоположная направленность сил между ними?

180