книги / Фейнмановские лекции по физике Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Вып. 1-2 Современная наука о природе. Законы механики. Пространство. Время. Движение

142

маленький по сравнению с тем расстоянием, которое он про* ходит. Например, если говорят об автомобиле, прошедшем 100 км, то какая разница, имеется ли в виду его мотор или

багажник. Конечно, небольшая разница есть, но обычно мы просто говорим «автомобиль», и то, что он не является абсо­ лютной точкой, не имеет значения. Для наших целей не нужна абсолютная точность. Ради простоты забудем на время также и о том, что наш мир трехмерный, а сконцентрируем все свое внимание на движении в одном направлении (авто­ мобиль движется по прямой дороге). Мы еще вернемся к по­ нятию трех измерений, когда поймем, как описывается дви­ жение в одном измерении. Вы, вероятно, скажете, что это тривиально. Действительно, это так. Как описать движе­ ние в одном измерении, скажем движение автомобиля. Это проще простого. Приведу один из многих возможных спосо­ бов. Чтобы определить положение автомобиля в различные моменты времени, мы измеряем расстояние его от начальной точки и записываем наши наблюдения. В табл. 8.1 буква s означает расстояние автомобиля от начальной точки в мет­ рах, a t — время в минутах. Первая строка — нулевое рас-

стояние и нулевой момент времени. Автомобиль еще не начал двигаться. Через минуту после начала движения он проходит уже 380 м. Через две минуты он продолжает двигаться.

Заметьте, что за вторую минуту он прошел большее расстоя­ ние, чем за первую, — автомобиль ускоряет свое движение, но между третьей и четвертой минутами что-то произошло, более того, на пятой минуте он остановился. По-видимому, у светофора, потому что дальше он опять набирает скорость

ик концу шестой минуты проходит 4050 м, к концу седь­

мой— 5550, а к концу восьмой — 7050. Но в течение девятой минуты опять происшествие — автомобиль прошел всего лишь 450 м и остановился. Водитель нарушил правила движении

ибыл остановлен полицейским.

Это один способ описать движение. Есть и другой спо­ соб— графический. Если по горизонтали откладывать время, а по вертикали — расстояние, то получим кривую, подобную

143

ной, от времени.

изображенной на фиг. 8.1. Из рисунка видно, что с увеличе­ нием времени расстояние тоже увеличивается, сначала очень медленно, а затем все быстрее и быстрее. В районе четырех минут происходит замедление, а затем расстояние опять уве­ личивается в течение нескольких минут, и, наконец, на девя­ той минуте машина останавливается. Все эти сведения можно получить прямо из графика, не используя таблицы. Конечно,

.для построения нашего графика необходимо знать, где нахо­ дится автомобиль не только каждую минуту, но и каждые полминуты, а может быть, и еще точнее. Кроме того, мы предполагаем, что машина где-то находится в любой момент времени.

Так что движение автомобиля выглядит все же сложно. Давайте рассмотрим что-нибудь попроще, с более простым законом движения: например, падающий шар. В табл. 8.2

За нулевой момент выберем момент начала падения. Через

144

рая описывается формулой

Эта формула позволяет вычислить расстояние для любого момента времени. Вы скажете, что для первого графика (см. фиг. 8.1) тоже должна быть какая-то формула. Действи­ тельно это так. Ее можно записать в таком абстрактном виде:

Это означает, что s — величина, зависящая от t, или, как го­ ворят математики, s есть функция t. Однако мы не знаем, что

это за функция, точнее, мы не можем записать ее через ка­ кие-то известные нам функции.

На этих двух примерах видно, что любое движение можно писать в общей и простой форме. Казалось бы, нет ничего хитрого! Однако хитрости все же есть, и не одна! Во-первых, что мы понимаем под пространством и временем? Это, оказы­

вается, очень глубокие философские вопросы, которые нужно внимательно проанализировать, что не так-то легко. Теория относительности показывает, что понятия пространства и времени не так просты, как это кажется на первый взгляд. Впрочем, сейчас для начала нам не нужна такая скрупулез­ ность в определении этих понятий. Возможно, вы скажете: «Странно, мне всегда говорили, что в науке все должно опре­

деляться точно». Это не так. Мы не можем определить точно все без исключения! Если бы мы пытались это сделать, то получилось бы нечто похожее на спор двух «философов», где один говорит: «Вы сами не знаете, о чем говорите»; а второй отвечает: «А что такое «знать»? Что такое «говорить»? Что такое «вы», наконец?» Ну и так до бесконечности. Так что для пользы дела лучше сначала условиться, что мы будем говорить хотя бы приблизительно об одних и тех же вещах.

145

Сейчас вы достаточно много знаете о времени, но помните, что здесь есть некоторые тонкости, которые мы еще обсудим в дальнейшем.

Другая хитрость (мы уже упоминали о ней)— это пра­ вильно ли думать, что наблюдаемая нами движущаяся точка всегда находится в каком-то определенном месте (т. е. где-то локализована). Разумеется, когда мы смотрим на нее, она находится в определенном месте; но можно ли это утвер­ ждать в те моменты, когда мы отвернулись. И вот оказы­ вается, что при изучении движения атомов так думать нельзя. Невозможно посадить метку на атом и наблюдать за его дви­ жением. С этой тонкостью мы вплотную столкнемся в кванто­ вой механике. Но сначала давайте рассмотрим те проблемы, которые возникают до введения этих усложнений, а уж после этого учтем те поправки, на которые нас вынуждают новей­ шие сведения о природе вещей. Итак, примем наиболее про­ стую точку зрения о пространстве и времени. Мы прибли­ зительно понимаем, что означают эти понятия, а тот, кому доводилось управлять автомобилем, знает и что такое ско­ рость.

§ 2. Скорость

Хотя мы примерно представляем себе, что такое «ско­ рость», однако здесь есть одна очень важная тонкость. За­ метьте, что древние греки так и не смогли до конца разо­ браться в проблеме скорости. Тонкость, о которой идет речь, дает себя знать, когда пытаешься точно определить, что же подразумевается под понятием «скорость». Этот вопрос был камнем преткновения для древних греков, и потребовалось открытие новой области математики, помимо геометрии и алгебры, которые были известны и грекам, и арабам, и вави­ лонянам. Попробуйте-ка с помощью одной лишь алгебры решить следующую задачу. Воздушный шар надувается та­ ким образом, что его объем увеличивается со скоростью 100 см3/сек. С какой скоростью увеличивается его радиус, когда объем шара достигает 1000 см3? Задачи такого рода

были неразрешимы для древних греков. Кроме того, их сби­ вали с толку многочисленные «парадоксы». Вот один из них, придуманный Зеноном, который хорошо показывает, на­ сколько была сложна в то время проблема скорости движе­ ния. «Предположим, — говорит он, — что Ахиллес бегает в де­ сять раз быстрее черепахи. Но тем не менее он никогда не перегонит ее. Действительно, пусть в начале состязания чере­ паха находилась в 100 метрах впереди Ахиллеса. Тогда ко времени, когда Ахиллес пробежит эти 100 метров, черепаха окажется в 10 метрах впереди нега Пробежав и эти 10 мет­

146

ров, Ахиллес увидит черепаху в 1 метре впереди себя. За то время, пока он пробежит этот метр, черепаха пройдет 10 сан­ тиметров и так далее... до бесконечности. Следовательно, в любой момент черепаха будет впереди Ахиллеса, и он ни­ когда не сможет перегнать ее». В чем здесь ошибка? Конеч­ ный интервал времени можно разделить на бесконечное число частей точно так же, как и конечный отрезок длины, если последовательно делить его пополам. Но бесконечное число этапов до того места, где Ахиллес поравняется с чере­ пахой, вовсе не означает бесконечное количество времени.

Этот пример хорошо показывает, с какими трудностями при­ ходилось сталкиваться в проблеме определения скорости.

Чтобы еще яснее представить себе эти трудности, вспом­ ним старую шутку, которую вы наверняка слышали. Вы пом­ ните, что автомобиль, о котором мы говорили в начале этой •лекции, был остановлен полицейским. Он подходит к ма­ шине и говорит: «Мадам (ибо за рулем была женщина), Вы нарушили правила уличного движения. Вы ехали со ско­ ростью 90 километров в час». Женщина отвечает: «Простите, это невозможно. Как я могла делать 90 километров в час, если я еду всего лишь 7 минут!» Как бы вы ответили на месте полицейского? Конечно, если вы действительно настоя­ щий полицейский, то такими хитростями вас не запутаешь. Вы бы твердо сказали: «Мадам, оправдываться будете перед судьей!» Но предположим, что у вас нет такого выхода. Вы хотите честно доказать нарушительнице ее вину и пытае­ тесь объяснить ей, что означает скорость 90 км!час. Как это

сделать? Вы скажете: «Я имею в виду, мадам, что если бы вы продолжали ехать таким же образом, то через час Вы бы проехали 90 километров». «Да, но я ведь затормозила и ос­ тановила машину, — может ответить она, — так что теперь-то я уж никак не могла бы проехать 90 километров в час».

Аналогичная проблема возникает и в случае падающего шарика. Предположим, что мы хотим определить его ско­ рость через 3 сек, если бы он двигался таким же образом.

Но что означает «двигался таким же образом»? Сохранял бы ускорение, двигался быстрее, что ли? Конечно, нет! Сохранял бы ту же самую скорость. Но ведь это как раз то, что мы

пытаемся определить! Если бы шарик продолжал двигаться «таким же образом», то он падал бы так же, как падает. Так что нужно придумать что-то лучшее для определения скорости. Что же все-таки должно сохраняться? Нарушитель­ ница могла бы вам еще ответить и так: «Если бы я продол­ жала ехать, как ехала, еще час, то налетела бы на стену в конце улицы!» В общем, как видите, полицейский оказался бы в очень трудном положении, пытаясь объяснить, что он имел в виду.

147

Многие физики думают, что единственным определением любого понятия является способ его измерения. Но тогда при объяснении вы должны прибегнуть к прибору, измеряющему скорость. «Смотрите, — скажете вы в этом случае, — ваш спи­ дометр показывает 90». «Мой спидометр сломан и давно не работает», — ответит она. Но достаточно ли этого, чтобы по­ верить, что машина не двигалась? Мы полагаем, что как-то нужно было бы определять скорость и без помощи спидо­ метра. Только при этих условиях можно сказать, что спидо­ метр не работает, что он сломан. Это было бы абсурдным, если бы скорость не имела смысла без спидометра. Очевидно, что понятие «скорость» не зависит от спидометра. Спидо­ метр нужен только для того, чтобы измерять ее. Давайте посмотрим, нельзя ли придумать лучшее определение понятия «скорость». Вы скажете: «Разумеется, мадам, если бы вы ехали таким же образом в течение часа, то налетели бы на стену, но за 1 секунду вы бы проехали 25 метров, так что вы делали 25 метров в секунду, и если бы продолжали ехать таким же образом, то в следующую секунду опять проехали бы 25 метров, а стена стоит гораздо дальше». «Но правила

тогда все длинные разговоры о 25 м/сек? В действительности

же падающий шар не может двигаться одинаковым образом даже 1 сек, так как он постоянно ускоряется, и, следова­

тельно, нужно определить скорость как-то точнее.

Но теперь мы, кажется, находимся на правильном пути, который приводит нас вот к чему. Если бы машина продол­ жала двигаться таким же образом следующую тысячную долю часа, то она прошла бы тысячную долю 90 км. Другими

словами, нет никакой необходимости ехать целый час с той же быстротой, достаточно какого-то момента. Это означает,

что за какой-то момент времени машина проходит такое же расстояние, как и идущая с постоянной скоростью 90 км/час. Наши рассуждения о 25 м/сек, возможно, и правильны; мы

отмечаем, сколько машина прошла в следующую секунду, и если получается расстояние 25 м, то это означает, что ско­ рость достигает 90 км/час.

Другими словами, можно определить скорость следующим образом. Определяем расстояние, которое было пройдено за очень малый отрезок времени, и, разделив его на этот отрезок времени, получаем скорость. Однако этот отрезок должен быть как можно меньше, и чем меньше, тем лучше, потому что в этот период могут произойти снова изменения. Смешно, например, для падающего тела в качестве такого отрезка принять час. Принять в качестве отрезка секунду, может

148

быть, удобно для автомобиля, так как за секунду его скорость изменяется не слишком сильно, но этот отрезок велик для падающего тела. Таким образом, чтобы вычислить скорость более точно, нужно брать все меньшие и меньшие интервалы времени. Если на миллионную долю секунды мы разделим расстояние, которое было пройдено в течение этого времени, то получим расстояние в секунду, т. е. как раз то, что мы понимаем под скоростью. Именно это нужно было сказать нашей нарушительнице, т. е. дать то определение скорости, которое мы и будем использовать.

Такое определение содержит некую новую идею, которая была недоступна грекам в ее общей форме.

Она заключается в том, чтобы малые расстояния разде­ лить на соответствующие малйе отрезки времени и посмот­

реть, что произойдет с частным, если отрезок времени брать все меньше и меньше (иными словами, брать предел отноше­ ния пройденного расстояния к интервалу времени при неогра­ ниченном уменьшении последнего). Впервые эта идея была высказана независимо Ньютоном и Лейбницем и явилась основой новой области математики — дифференциального ис­ числения. Оно возникло в связи с описанием движения, и пер­

вым его приложением был ответ на вопрос: «Что означает 90 км/часЪ

Попытаемся теперь точнее определить скорость. Пусть за некоторое малое время е машина или какое-то другое тело прошли малое расстояние х; тогда скорость v определяется

как

причем точность будет тем больше, чем меньше е. Матема­ тики записывают это следующим образом:

е->0 е

т. е. скорость есть предел отношения х/е при е, стремящемся

к нулю. Для нашей машины-нарушительницы невозможно точно вычислить скорость, так как таблица неполная. Ее по­ ложение известно нам только через интервалы 1 мин. При­

ближенно, конечно, можно сказать, что в течение седьмой минуты, например, она шла со средней скоростью 90 км/час,

однако о ее скорости в конце шестой минуты ничего сказать невозможно. Может быть, она ускорялась и скорость

с40 км/час в начале шестой минуты возросла до 90 км/час

вконце ее, а может быть, она двигалась иначе. Мы не знаем этого точно, так как у нас нет детальной записи ее движения между шестой и седьмой минутами. Только когда таблица

149

будет пополнена бесконечным числом данных, из нее мож >

будет действительно вычислить скорость. Если, однако, нам

считать можно. Ведь по формуле можно найти положение тела в любой момент времени.

В качестве примера давайте найдем скорость падающего шара через 5 сек после начала падения. Один способ — это

посмотреть по табл. 8.2, что происходило с шариком на пятой секунде. В течение этой секунды он прошел 45 м, так что, казалось бы, он падал со скоростью 45 м/сек. Однако это не­

верно, поскольку скорость его все время изменялась. Конечно,

всреднем в течение этой секунды она составляла 45 м/сек, но

вдействительности шар ускорялся и в конце пятой секунды падал быстрее 45 м/сек. Наша задача состоит в том, чтобы определить скорость точно. Сделаем это следующим образом.

Нам известно, где шарик находился через 5 сек. За 5 сек он прошел расстояние 125 ж. К моменту 5,1 сек общее рас­

стояние, которое прошел шарик, составит, согласно уравне­ нию (8.1), 130,05 м. Таким образом, за дополнительную деся­ тую долю секунды он проходит 5,05 м. А поскольку 5,05 м за 0,1 сек то же самое, что и 50,5 м/сек, то это и будет его ско­

рость. Однако это все еще не совсем точно. Для нас совер­ шенно неважно, будет ли это скорость в момент 5 сек, или в момент 5,1 сек, или где-то посредине. Наша задача вычис­ лить скорость точно через 5 сек, а этого мы пока не сделали.

Придется улучшить точность и взять теперь на тысячную долю больше 5 сек, т. е. момент 5,001 сек. Полное расстояние,

пройденное за это время, составляет

s = 5 •5,0012 = 5 - 25,010001 = 125,050005 м.

Следовательно, в последнюю тысячную долю секунды шарик проходил 0,050005 м, и если разделить это число на 0,001 сек, то получим скорость 50,005 м/сек. Это уже очень близко, но все же еще не точно. Однако теперь уже ясно, как поступить,

чтобы найти скорость точно. Удобнее решать эту задачу в несколько более общем виде. Пусть требуется найти скорость в некоторый момент времени tQ (например, 5 сек\. Расстояние,

5 {t04' е)2= 5 /о •+ Ю^ов -f 5е2. (Это расстояние больше того рас­ стояния, которое шарик прошел за t0 сек, т. е. больше 5/о.)

Назовем это расстояние s0+ (небольшой добавок), или s0+ ^ . Если теперь вычесть из него расстояние, пройденное к мо­

150