книги / Фейнмановские лекции по физике Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Вып. 1-2 Современная наука о природе. Законы механики. Пространство. Время. Движение

ющие Fx и Fy, действует на расположенную в точке Р на

фиг. 11.2 частицу массы т . Для простоты сдвинем обе систе­ мы координат так, что начала их переместятся в точку Р, как

показано на фиг. 11.3. Мик скажет нам, что сила, по его мне­ нию, имеет составляющие Fx, и Fy, вдоль его осей. Составля­ ющая Fx, как и Fy, имеет составляющие вдоль обеих осей х' и у'. Чтобы выразить Fx, через Fx и Fy, сложим составляю­ щие этих сил вдоль оси х'; точно таким же образом можно выразить и F y' через Fx и Fu. В результате получим

Интересно отметить случайность, которая в дальнейшем ока­ жется очень важной: формулы (11.5) и (11.6) для координат Р и составляющих F соответственно тождественны по форме.

Как и раньше, предположим, что законы Ньютона спра­ ведливы в системе координат Джо и выражаются уравнения­ ми (11.1). Снова возникает вопрос: может ли Мик пользо­ ваться законами Ньютона, будут ли их предписания выпол­ няться в повернутой системе координат? Другими словами, если предположить, что уравнения (11.5) и (11.6) дают связь между измеряемыми величинами, то верно ли, что

(11-7)

Чтобы проверить эти уравнения, вычислим левые и правые части независимо, а затем сравним результаты. Чтобы вычис­ лить левые части, умножим уравнения (11.5) на m и продиф­

201

ференцируем нх дважды по времени, считая угол 0 постоян­ ным. Это дает

m ( ж ) =m(■да')cos10+m(да) sin®>

Вычислим правые части уравнений (11.7), подставив (11.1) в уравнения (11.6). Получаем

(И.9)

Глядите! Правые части уравнений (11.8) и (11.9) тож­ дественны; значит, если законы Ньютона верны в одной си­ стеме координат, то ими можно пользоваться и в другой си­ стеме. Эти рассуждения заставляют нас сделать некоторые важные выводы: во-первых, никто не может утверждать, что избранная им система координат единственна, она может быть, конечно, более удобной при решении частных задач. На­

пример, удобно, но не обязательно взять направление силы тяжести за одну из осей координат. Во-вторых, это означает* что любой механизм, если только он является самостоятель­ ным устройством и обладает всем необходимым для создания силы, будет работать одинаково, как бы его ни повернули.

§ 4. Векторы

Насколько нам известно сейчас, не только законы Нью­ тона, но и все физические законы обладают двумя свойствами, которые называют инвариантностью (или симметрией) отно­ сительно перемещений и поворотов координатных осей. Эти свойства столь важны, что для учета их при изучении физиче­ ских законов была разработана специальная математическая техника.

Решение поставленных в предыдущих параграфах задач: потребовало довольно длинных расчетов. Чтобы свести их к минимуму, изобретен могучий математический аппарат. Эта система, называемая векторным анализом, определила назва­

ние главы, хотя в ней, собственно говоря, речь идет о симмет­ рии физических законов. Конечно, можно получить искомый

2 0 2

результат, поступая так, как было описано раньше, но, чтобы облегчить и ускорить нашу задачу, мы применяем технику векторного анализа.

Заметим, что в физике важно знать величины двух типов (на самом деле их больше двух, но давайте начнем с двух). Величины первого типа, например число картофелин в мешке, мы будем называть обыкновенными числами, или скалярами.

Еще одним примером такой величины может служить темпе­ ратура. Другие очень важные в физике величины имеют на­ правление, это, например, скорость; мы должны задать не только быстроту перемещения тела, но и путь, по которому оно движется. Импульс и сила тоже имеют направление, как и смещение: когда кто-нибудь делает шаг, можно сказать не только, как далеко он шагнул, но и куда он шагает, т. е. опре­

делить направление его движения.

Все величины, имеющие направление, подобно шагу в про­ странстве, называются векторами.

Вектор определяется тремя числами. Чтобы описать шаг, скажем из начала координат в точку Р, определяемую коор­ динатами х, у и z, мы фактически должны задать три числа.

Но мы будем использовать для этой цели один-единственный математический символ г, с которым нам чаще всего придется иметь дело в дальнейшем *. Это не одно число: символ г за­ дается тремя числами: х, у иг. Символ г означает три числа, но не только эти три числа, потому что при переходе к дру­ гой системе координат нужно заменить их числами х', у' и г \

Однако мы хотим как можно более упростить нашу матема­ тику и используем один и тот же символ в качестве предста­ вителя трех чисел х, у, z и трех чисел х', у', г'. Точнее говоря,

мы используем один и тот же символ в качестве представи­ теля первого набора чисел в одной системе координат и де­ лаем его представителем второго набора чисел, если захотим сменить систему координат. Это удобно потому, что нам не придется изменять формы уравнений при переходе от одной системы координат к другой. Если мы записываем уравнения, используя координаты х, у и z, а затем меняем систему от­ счета, то появляются координаты х', у' и z', но мы пишем

просто г, условившись, что этот символ служит представите­ лем х, у , z, если мы пользуемся первой системой отсчета, и х', yf, z \ если мы перешли к другой системе. Три числа, ко­

торые описывают векторную величину в заданной системе отсчета, называются составляющими (компонентами) век­

тора в направлении координатных осей системы отсчета. Иначе говоря, мы используем один символ для обозначения

* В книгах вектор обозначается полужирной буквой; в рукописях же используется стрелка: г.

2 0 3

грех букв, и он соответствует наблюдению одного и того же объекта с трех разных точек зрения. Произнося слова «один

и тот же объект», мы обращаемся к нашей физической ин­ туиции, которая говорит нам, что шаг в пространстве не зави­ сит от того, какими составляющими мы его описываем. Итак, символ г представляет один и тот же объект независимо от

того, как мы ориентируем оси системы отсчета.

Предположим теперь, что существует другая направлен­ ная величина, например сила — еще одна величина, которую можно определить, задав связанные с ней три числа. Эти три числа переходят при изменении системы координат в другие три числа по строго определенным математическим правилам. Эти правила должны быть теми же самыми, которые опреде­ ляли переход тройки чисел х, у, г в х \ у', г'. Другими словами,

вектор — это величина, определяемая тремя числами, кото­ рые преобразуются при изменениях системы координат так же, как составляющие шага в пространстве. Уравнение типа

F = г

справедливо в любой системе координат, если оно верно хотя

бы в одной из них. Оно заменяет нам три уравнения

г»ч11 Тот факт, что физические соотношения между какими-либо величинами можно выразить в виде векторных уравнений, го­ ворит о том, что эти соотношения верны в любой системе ко­ ординат. Вот почему понятие вектора очень удобно в физике.

Давайте теперь рассмотрим некоторые свойства векторов. В качестве примера «вектора» можно указать скорость, им­ пульс, силу и ускорение. Часто бывает удобно изобразить вектор в виде стрелки, указывающей направление действия. Но почему же можно представить силу стрелкой? Да потому, что она преобразуется по тем же законам, что и «шаг в про­ странстве». Именно поэтому можно представить силу в виде чертежа, как если бы это изображалось перемещение, причем выберем такой масштаб, чтобы единица силы, например нью­ тон, соответствовала некоторой длине. Проделав такую про­ цедуру однажды, мы всегда сможем изображать силы в виде отрезков, потому что уравнение типа

F — kr

(где k — некоторая постоянная) имеет вполне определенный

смысл. Возможность представлять силу отрезком сулит нам большие выгоды, потому что, изобразив отрезок или стрелку, можно не заботиться о координатных осях. При этом, ко­

204

нечно, всегда можно быстро подсчитать, как изменяются со­ ставляющие вектора при поворотах осей, потому что дело сво­ дится к простому геометрическому построению.

§ 5. Векторная алгебра

Теперь мы должны описать законы, или правила, регули­ рующие возможные сочетания различных векторов. Прежде всего мы изучим сумму двух векторов. Пусть векторы а и b

задаются в какой-нибудь системе координат составляющими ах, яу, az и bx, bv, Ьг. Предположим, что кому-то пришло в го­ лову составить три числа ах -\-Ьх, ау -\-Ьу, az+ b z. Получим

ли мы в результате вектор? Вы можете сказать: «Разумеется, ведь это три числа, а три числа образуют вектор». Нет, вектор образуют не любые три числа! Чтобы задать вектор, мы

должны связать заданные нам три числа с координатной си­ стемой так, чтобы при повороте координатных осей эти числа «поворачивались» относительно друг друга и «перемешива­ лись» по описанным ранее правилам. Таким образом, мы должны выяснить, во что превращаются числа ах -f- Ьх, ау + 4- Ьу, аг + Ьг, если известно, что при изменении системы коор­ динат числа ах, иу, аг переходят в а', а', а'г, a Ьх, Ьц, Ь2 пере­

ходят в Ь'х, Ь'у, Ь'г? Получим ли мы после поворота коорди­ натных осей числа а' 4* Ьх, а' + b'g, а'г + Ь'г? Ответ, конечно,

будет утвердительным, потому что наше основное уравнение (11.5) определяет так называемое линейное преобразование. Если мы применим это преобразование к ах и Ьх и вычислим а'х + Ьх, то окажется, что преобразованное ах 4- Ьх есть то же

самое, что и ах + Ьх. «Складывая» векторы а и Ь по только

что описанному правилу, мы получаем новый вектор с. Мы

запишем это так:

с= а4-Ь.

Вектор с обладает интересным свойством:

с= ь4- а;

это легко проверить, написав составляющие вектора с. Кроме того,

а 4- (Ь 4- с) = (а 4- Ь) 4- с-

Векторы можно складывать в любом порядке.

Каков геометрический смысл a-f-b? Как будет выглядеть вектор с, если мы, скажем, изобразим а и b с помощью стре­ лок? Ответ на этот вопрос дает фиг. 11.4. Мы видим, что прибавить составляющие вектора b к составляющим вектора а проще всего, приложив соответствующим образом прямо-

205

Ф и г . Н А . Сложение векторов.

угольник, определяемый составляющими Ь, к такому же пря­ моугольнику, определяемому составляющими а. Поскольку а и b хорошо подогнаны к своим прямоугольникам, то это все равно, что поставить вектор b «ногами» на «голову» век­ тору а. Стрелка, соединяющая «ноги» вектора а и «голову»

вектора Ь, и будет вектором с. Можно поступить иначе: поста­ вить «ноги» а на «голову» Ь. Вспомнив геометрические свой­

ства параллелограмма, можно убедиться в том, что мы снова получим тот же вектор с. Заметим, что, ставя векторы друг на друга, мы складываем их без помощи координатных осей.

Предположим, что мы умножили вектор а на число а. Что нужно понимать под таким произведением? Договоримся по­ нимать под этим вектором с компонентами аах, aaVt ааг. Д о­

кажите сами, что это действительно вектор.

Рассмотрим теперь вычитание векторов. Можно определить вычитание тем же способом, что и сложение, но вместо того, чтобы складывать, будем вычитать составляющие. Можно также определить вычитание как сложение с отрицательным вектором —b = (— 1) Ь. Результат будет тот же.

Вычитание векторов показано на фиг. 11.5. На этом чер­ теже изображено d = а— b = а-f (—Ь); заметим также, что, зная векторы а и Ь, разность а— b можно легко найти из эквивалентного соотношения а = b -f- d. Таким образом найти

разность векторов даже легче, чем сумму: просто нужно провести векторг-соединяющий b и а, и вы получите а— Ы

Перейдем теперь к скорости. Почему скорость есть вектор? Если координаты точки равны х, у, в, то скорость ее равна dxfdt, dyldt, dz/dt. Вектор это или не вектор? Дифференцируя

206

Ф и г . 11.6. Перемещение частицы эа малое время h i «=* /а — U.

выражение (11.5), можно найти закон предбразования dx'jdt. Видно, что величины dxldt, dyjdt преобразуются по тому же закону, что и х и у. Таким образом, скорость есть вектор. Вы­

ражение для скорости можно записать очень интересно:

Постараемся нагляднее представить себе, что такое ско­ рость и почему она вектор. Далеко ли продвинется частица за малое время Д*? Ответ: «а Дг, т. е. если частица находится

«здесь» в первое мгновение, а «там» — во второе, то векторная разность положений частицы равна вектору Дг = г2 — Г|, рас­

положенному вдоль направления движения. Как это выгля­ дит, показано на фиг. 11.6. Если разделить этот вектор на про­ межуток времени Дt = f2—t\, то мы получим вектор «средней

скорости».

Иначе говоря, под вектором скорости мы понимаем предел разности радиус-векторов, соответствующих моментам / + Д* и t, деленной на Дt при Д/, стремящемся к нулю:

Скорость есть вектор постольку, поскольку она равна разно­ сти двух векторов. Это верно также и потому, что составляю­ щие этого вектора равны dxldt, dyfdt, dzfdt. Подумав над тем,

что сейчас было проделано, мы придем к выводу, что, про­ дифференцировав любой вектор по времени, мы снова

получим какой-то новый вектор. Таким образом, имеется не­ сколько способов получать новые векторы: 1) умножая век­ тор на постоянное число; 2) дифференцируя вектор по вре­ мени; 3) складывая два вектора или вычитая.

§ 6. Законы Ньютона в векторной записи

Чтобы записать законы Ньютона в векторной форме, мы должны поучиться еще кое-чему и определить вектор ускоре­ ния, Этот вектор равен производной по времени вектора

207

Ф и г . 11.7. Криволинейная траек­ тория.

Vi

После этого законы Ньютона можно записать таким образом:

мы предполагаем. Следовательно, если сила есть вектор, то

уравнение (11.13) будет выглядеть одинаково во всех си­ стемах координат, ибо нам известно, что ускорение тоже вектор. Запись уравнений в виде, не содержащем явно х, у> z, привлекательна тем, что нам нет необходимости выпи­ сывать три уравнения каждый раз, когда мы хотим записать

законы Ньютона или другие законы физики. Мы записываем то, что выглядит как один закон, хотя фактически, конечно,

это три закона для каждой оси системы координат, потому что любое векторное уравнение содержит в себе утвержде­ ние, что все составляющие равны.

Тот факт, что ускорение — это скорость изменения вектора скорости, помогает найти ускорение в любых, казалось бы, трудных обстоятельствах. Предположим, например, что ча­ стица, двигаясь по какой-то сложной кривой (фиг. 11.7), имеет в момент t\ скорость V|, а несколько позже, в момент tz, скорость V2. Чему равно ускорение? Ответ: ускорение рав­

но разности скоростей, деленной на малый промежуток вре-

208

Ф и г . 11,8. Д иаграм м а для вы­ числения ускорения.

мени; значит, нужно знать разность скоростей. Как же найти эту разность? Чтобы найти разность двух векторов, проведем вектор через концы векторов V2 и vlt иначе говоря, начертим вектор Д в качестве разности этих двух векторов. Верно? Нет\ Мы можем поступать так только тогда, когда начала

векторов расположены в одной точке! Вычитать векторы, при­ ложенные к разным точкам, бессмысленно. Остерегайтесь этого! Чтобы вычесть векторы, нужно начертить другую схе­ му. На фиг. 11.8 векторы Vi и v2 перенесены параллельно и равны их двойникам, изображенным на фиг. 11.7. Теперь мож­ но поговорить об ускорении. Ускорение, конечно, просто равно A v fA t. Интересно заметить, что разность скоростей можно

разделить на две части: можно представить себе, что ускоре­ ние состоит из двух составляющих: Дуд— вектора, парал­

лельного касательной к пути, и вектора Ду±, перпендикуляр­ ного к этой касательной. Эти векторы показаны на фиг. 11.8. Касательное к пути ускорение равно, естественно, лишь изме­ нению длины вектора, т. е. изменению величины скорости v:

Другую, поперечную составляющую ускорения легко вычис­ лить, взглянув на фиг. 11.7 и 11.8. 3d короткое время A t изме­

нение угла между Vi и v2 равно малому углу Д0. Если вели­ чина скорости равна v, то

До1 = иД0,

а ускорение а равно

Теперь нам нужно знать Д0/Д*. Эту величину можно найти так: если в данный момент кривую можно приблизительно за­ менить окружностью радиусом R, то, поскольку за время At частица пройдет расстояние s = vAt, изменение угла равно

Таким образом, как мы уже установили ранее,

209

§ 7. Скалярное произведение векторов

Давайте еще немного займемся свойствами векторов. Лег* ко понять, что длина шага в пространстве одинакова во всех

координатных схемах. Следовательно, если какому-то шагу г соответствуют составляющие х, у, z в одной системе коорди­ нат и составляющие х', у \ zr в другой системе, то расстояние

г = |г | одно и то же в обеих системах. Сначала мы, конечно, должны вывести два расстояния

г — V-^ + ^ + z2

i

И

г' = l\jxfl + у'2+ 2/2 ,

а затем проверить, что эти обе величины равны. Чтобы не во­ зиться с квадратным корнем, будем сравнивать квадраты расстояний. Мы должны, таким образом, показать, что

Подставив в это уравнение определяемые соотношением (11.5) значения у \ г', мы увидим, что это действительно

так. Значит, кроме уже изученных нами векторных уравне­ ний, существуют еще какие-то соотношения, верные в любой системе координат.

Незаметно мы получили новый тип величин. Мы можем построить функцию х, у н z, называемую скалярной функ­ цией, — величину, которая не имеет направления, и одинакова

в обеих системах координат. Из вектора можно построить скаляр. Хорошо бы найти общее правило для этого построе­ ния. Собственно говоря, мы уже нашли это правило: надо возвести в квадрат каждую из составляющих вектора и сло­ жить их. Определим теперь новую величину, которую обозна­ чим а*а. Это не вектор, а скаляр; это число, одинаковое во всех координатных системах и определяемое как сумма квад­ ратов трех составляющих вектора:

Вы спросите: «В какой системе координат?» Но раз это число не зависит от системы координат, то ответ одинаков в любой системе координат. Мы имеем дело с новым видом величины, с инвариантом, или скаляром, полученным «возведением век­

тора в квадрат». Если теперь определить, исходя из векторов а и Ь, величину

то можно убедиться, что эта величина совпадает в штрихо­ ванной и нештрихованной системах координат. Чтобы дока­

210