книги / Фейнмановские лекции по физике Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Вып. 1-2 Современная наука о природе. Законы механики. Пространство. Время. Движение

жесть — это тоже псевдосила. Не может ли статься, что тяго­

тение вызывается отсутствием правильной системы коорди­ нат? Ведь мы всегда можем получить силу, пропорциональ­ ную массе, стоит только представить, что тело ускоряется. Например, человек, помещенный в ящик, который стоит на земле, обнаруживает, что его что-то прижимает к полу с си­ лой, пропорциональной его массе. Если бы земли не было вовсе, а ящик все еще покоился, то человек плавал бы в про­ странстве. С другой стороны, если бы опять не было земли, а ящик кто-то тащил бы вверх с ускорением g, то человек

в ящике, анализируя физику этого явления, обнаружил бы псевдосилу, прижимающую его к полу точно так же, как это делает тяжесть.

Эйнштейн выдвинул знаменитую гипотезу, что ускорение вызывает имитацию (подобие) тяготения, что силы ускорения (псевдосилы) нельзя отличить от сил тяготения; нельзя ска­

зать, какая часть данной силы — тяжесть, а какая — псевдо­ сила.

Казалось бы, ничто не мешает считать тяжесть псевдо­ силой, говорить, что нас прижимает вниз оттого, что нас ускоряет вверх; но как быть с жителями Новой Зеландии, на другой стороне Земли — их-то куда ускоряет? Эйнштейн понял, что тяготение можно считать псевдосилой одновре­ менно только в одной точке; его рассуждения привели к предположению, что геометрия мира сложнее обычной гео­

метрии Евклида. Наше обсуждение вопроса чисто качествен­ ное и не претендует ни на что, кроме общей идеи.

Чтобы пояснить в общих чертах, как тяготение может быть результатом действия псевдосил, мы приведем чисто геометрический пример, ничего общего не имеющий с истин­ ным положением вещей. Предположим, что мы с вами оби­ таем в двумерном мире и ничего о третьем измерении не знаем. Мы бы считали, что живем на плоскости, а на самом деле, предположим, жили бы на шаре; пускай теперь мы бро­ сили предмет вдоль нашей поверхности, не действуя больше на него никакими силами. Как бы он двигался? Нам каза­ лось бы, что он движется по прямой линии, но поскольку третьего измерения нет и он должен был бы оставаться на поверхности шара, то он двигался бы по кратчайшему рас­ стоянию на сфере, т. е. по окружности большого круга. Бро­ сим точно так же другой предмет, но в ином направлении;

231

Глава

Мы хотим показать, что это утверждение пра­ вильно. Что значит доказать его правиль­ ность? Второй закон Ньютона говорит, как движется тело, как со временем изменяется его скорость (а именно, что в падении она

h

Фиг. l3.1. Тело, движущееся под действием тяжести по кривой без трения.

Попробуем вычислить прямо из второго закона Ньютона,

как обязана меняться кинетическая энергия; мы продиффе­ ренцируем кинетическую энергию по времени и потом при­ меним закон Ньютона. Дифференцируя У2 л*и2 по времени, получаем

потому что m считается постоянной. Но по второму закону Ньютона m (dvjdt) = F, так что

(13.3)

В общем случае получается F*v, но для нашего одномерного случая лучше оставить просто произведение силы на скорость.

а скорость есть степень изменения положения по вертикали (высоты К) со временем. Поэтому степень изменения кинети­ ческой энергии равна ~ m g (d h ld t). Взгляните: что за чудо!

Перед нами снова чья-то скорость изменения — скорость из­ менения со временем величины mgh\ Поэтому выходит, что

с течением времени изменения в кинетической энергии и в ве­ личине mgh остаются равными и противоположными, так что

их сумма остается неизменной. Что и требовалось доказать. Мы только что показали, пользуясь Вторым законом Нью­ тона, что для постоянных сил энергия сохраняется, если только прибавлять потенциальную энергию mgh к кинетиче­ ской ‘/г mv2. Исследуем этот вопрос дальше; посмотрим,

можно ли его обобщить, можно ли еще продвинуться в его понимании. Действует ли этот закон только для свободно па­ дающих тел или является более общим? Из того, что мы знаем о сохранении энергии, можно ожидать, что он будет верен для тела, движущегося из одной точки в другую по кривой без трения и под действием одной лишь тяжести (фиг. 13.1). Когда тело, начав двигаться с высоты Н, дости­ гает высоты h, то опять должна быть верной та же формула,

хотя бы скорость уже не была направлена по вертикали. Нам

2 3 4

надо понять, почему она все еще правильна. Проведем тот

же анализ; отыщем скорость изменения кинетической энер­ гии во времени. Опять будет получаться m v(dvjdt)— ско­ рость изменения величины импульса, т. е. сила в направлении движения — касательная сила Ft. Итак,

- d f = tnV~ d t - FtV'

Скорость — это скорость изменения расстояния вдоль кривой dsjdt, а касательная сила Ft теперь оказывается меньше mg в отношении, равном отношению расстояния ds вдоль пути к вертикальному расстоянию dh. Иными словами,

г- - л dh

Ft = — mg sm 0 = — m g ,

так что

(ids выпадает). И опять, как прежде, мы получили величину —mg{dh}dt), равную скорости изменения mgh.

Чтобы точно уяснить себе, как вообще соблюдается сохра­ нение энергии в механике, рассмотрим сейчас некоторые по­ лезные понятия.

Во-первых, рассмотрим скорость изменения кинетической энергии в общем трехмерном случае. Кинетическая энергия, когда движение имеет три измерения/ равна

r = im (»5 + oJ+ o|).

Дифференцируя ее по времени, получаем три устрашающих члена:

(13.4)

Но ведь m (dvxjdt) — это сила Fxt действующая на тело в на­ правлении х. Значит, в правой части формулы (13.4) стоит Fxvx -j- FyVy + Fzvz. Призвав на помощь векторный анализ,

вспоминаем, что это F*v. Итак,

235

Так как понятие кинетической энергии и вообще энергии очень важно, .то различным величинам в этих уравнениях присвоены разные имена: Уг то2 называется, как известно,

кинетической энергией; F*v называется мощностью: сила,

действующая на тело, умноженная («скалярно») на скорость тела, — это мощность, сообщаемая телу этой силой. Полу­ чается великолепная теорема: скорость изменения кинети­ ческой энергии тела равна мощности, затраченной силами, действующими на тело.

Но для изучения сохранения энергии анализ следует про-, должить. Давайте оценим изменение кинетической энергии за очень короткое время dt. Умножив обе части уравнения (13.7) на dt, найдем, что изменение кинетической энергии

равно силе, скалярно умноженной на дифференциал прой­ денного расстояния

Что это значит? Это значит, что, как бы и по какой бы кривой траектории ни двигалось тело под действием силы, все равно изменение в к. э. при переходе от одной точки кри­ вой к другой равно интегралу от компоненты силы вдоль кривой, умноженной на дифференциал смещения ds (интегри­

рование от первой точки до второй). И у этого интеграла есть имя: его называют работой, совершенной силой над те­ лом. Немедленно мы обнаруживаем, что мощность — это ра­ бота за секунду. И еще мы замечаем, что работу производит только составляющая силы вдоль направления движения.

В нашем первом простом примере участвовали только вер­ тикальные силы с одной-единственной составляющей Fz, рав­ ной— mg. В этих обстоятельствах совершенно неважно, как

тело движется,, прямо вниз или по параболе, все равно от F'ds (которое можно написать как Fxdx-\- Fvdy -f- Fzdz) остается только Ftdz — —mgdz, потому что прочие состав­

ляющие силы — нули. Значит, в этом случае

так что в потенциальную энергию входит только высота, с ко­

торой тело падает.

Несколько слов о единицах. Так как сила измеряется в ньютонах, а для получения работы ее умножают на расстоя­

236

ние, то работу измеряют в единицах ньютон-метр, но боль­

шинство людей этого названия не любит, предпочитая назва­ ние джоуль (дж). Это только другое слово, а единица та же.

Итак, работу измеряют в джоулях., Мощность же — в джоу­ лях в секунду; эту единицу называют ватт(вт). Если умно­

жить ватты на время, то получим произведенную работу. Работу, которую местная энергосистема производит в наших

Приведем еще несколько примеров работы и сохранения энергии. Рассмотрим тело, которое вначале имеет кинетиче­ скую энергию и быстро двигается, скользя по полу с трением. Оно останавливается. В начале кинетическая энергия не равна нулю, а в конце она равна нулю; существует работа,

произведенная силами, потому что раз есть трение, то есть и составляющая силы в направлении, противоположном на­ правлению движения, и энергия постепенно теряется. Теперь рассмотрим массу на конце маятника, который качается в вертикальной плоскости в поле тяжести без трения. Здесь наблюдается нечто другое, потому что, когда масса опу­ скается, сила направлена тоже вниз, а когда подымается, сила направлена в обратную сторону, так что у F-ds на спуске и на подъеме разные знаки. В соответствующих точ­ ках спуска и подъема значения F-ds равны по величине, но

противоположны по знаку, так что в итоге интеграл есть чистый нуль. Поэтому кинетическая энергия в конце спуска в точности такая же, какой она была в начале подъема; это и есть принцип сохранения энергии. (Заметьте, что в присут­ ствии сил трения сохранение энергии на первый взгляд не выполняется. Значит, нужно искать другую форму энергии.

И действительно, оказывается, что когда два тела трутся друг о друга, то возникает тепло, мы же сейчас делаем вид, что об этом не знаем.)

§ 2. Работа, выполняемая тяжестью

Теперь займемся задачей потруднее, когда силы уже не постоянны и не направлены вниз, как раньше. Мы рассмот­ рим, например, движение планеты вокруг Солнца или спут­ ника вокруг Земли.

Сперва мы рассмотрим движение тела, которое падает из

2 3 7

в этих обстоятельствах сохраняться энергия? Единственное отличие от того, что было раньше, — что теперь сила не по­ стоянна, она меняется по мере падения. Мы знаем, что сила равна произведению GM/r2 на массу m падающего тела.

Конечно, и теперь кинетическая энергия при падении возра­ стает, как возрастала и тогда, когда нас еще не волновало изменение силы с высотой. Вопрос только в том, можно ли отыскать иную, отличную от mgh, формулу для потенциаль­

ной энергии, найти другую функцию расстояния от Земли, чтобы для нее сохранение энергии не нарушалось.

Этот одномерный случай рассматривать легко, потому что мы знаем, что изменение кинетической энергии равно инте­ гралу от начала движения до конца от силы — GMm/r2 по перемещению dr

В формуле нет никакого косинуса, потому что сила и переме­ щение направлены одинаково. Интегрировать drfr2 легко;

— GMmfr, вычисленная в точке 1, в точке 2 или в любой дру­

гой, остается постоянной.

У нас теперь есть формула для потенциальной энергии в поле тяготения для вертикального движения. Здесь возни­ кает интересный вопрос:, можно ли добиться вечного движе­ ния в поле тяготения? Поле меняется, в разных местах

у него разная напряженность и разное направление. Нельзя ли взять бесконечную ленту без трения и запустить ее, ска­ жем, так: пусть она сперва поднимает тело из одной точки в другую, потом проводит его по дуге окружности в третью точку, опускает на некоторый уровень, сдвигает по наклон­ ному направлению и выводит на новый путь и т. п., так что по возвращении в начальную точку оказывается, что поле тяготения совершило некоторую работу и кинетическая энергия тела возросла? Нельзя ли так начертить эту траекторию, чтобы, пройдя ее, тело приобрело чуть-чуть больше ско­ рости, чем имело вначале? Так получится вечное движение. Но ведь оно невозможно, значит, мы обязаны доказать, что такая траектория немыслима. Мы должны доказать следую­ щее предположение: раз трения нет, тело должно вернуться ни с меньшей, ни с большей скоростью, а как раз с такой, чтобы еще и еще делать круги по этому замкнутому пути.

2 3 8

Фиг . 13.3. Замкнутый путь об* хода в поле тяготения.

Или, другими словами, вся работа, произведенная в движе­ нии по замкнутому пути, должна быть нулем для сил тя­

жести, потому что если бы она не была нулем, то можно было бы получить энергию за счет такого движения тела. (Если бы работа оказалась меньше нуля, так что скорость в конце обхода уменьшилась бы, то для получения энергии стоило бы только повернуть обратно; силы ведь зависят не от направ­ ления движения, а только от положения. Если в одном на­ правлении работа получится с плюсом, то в обратном она будет с минусом; любая ненулевая работа означает создание вечного двигателя.)

Так что же, действительно ли работа равна нулю? Попро­ буем показать, что да. Сперва мы лишь на пальцах поясним, почему это так, а уж потом оформим математически. Поло­ жим, мы выдумали траекторию, показанную на фиг. 13.3; масса падает от / к 2, поворачивает до 3, обратно подни­ мается к 4, затем через 5, 6, 7, 8 движется обратно к /. Все линии идут либо по радиусу, либо по кругу с центром М. Ка­ кая работа совершается на таком пути? Между 1 я 2 она равна произведению GMm на разность 1/г в этих точках:

2 2

Но возникает подозрение, не слишком ли эта кривая проста. А что даст настоящая траектория? Что ж, попробуем

настоящую. Сразу же ясно, что ее можно достаточно точно представить как ряд зазубрин (фиг. 13.4) и поэтому... и т. д., что и требовалось доказать. Но надо еще посмотреть,

239

Фиг. 13.4. сПлавный» путь обхода.

Показан увеличенный отрезок этого

пути и близкая к нему траектория, состоящая из радиальных и кругов

вых участков а также один из зуб. цов этой траектории.

действительно ли работа обхода вокруг маленького треуголь­ ника тоже равна нулю. Увеличим один из треугольников (см. фиг. 13.4). Равны ли работы по пути от а к b и от b к с ра­ боте, совершаемой, когда идешь напрямик от а к с? Пусть

сила действует в каком-то направлении. Расположим тре­ угольник так, чтобы у его катета Ьс было как раз такое на­

правление. Предположим также, что сам треугольник так мал, что сила всюду на нем постоянна. Какова работа на

отрезке ас? Она равна

е

Wae== J F • ds — Fs cos 0

a

(поскольку сила постоянна). Теперь определим работу на двух катетах. На вертикальном катете ab сила перпендику­

лярна к dst так что работа равна нулю. На горизонтальном катете Ьс

С

Wbc= ^ T • ds = Fx.

ь

Мы убеждаемся таким образом, что работа обхода по бокам маленького треугольника такая же, как и по склону, потому что s cos 0 равно х. Мы уже показали прежде, что работа при

движении по зазубринам (как на фиг. 13.3) равна нулю, а теперь видим, что производимая работа одинакова, незави­ симо от того, движемся ли мы по зазубринам или срезаем путь между ними (если только зазубрины малы, но ведь ничто не мешает сделать их такими); поэтому работа обхода по любому замкнутому пути в поле тяготения равна нулю.

Это очень примечательный результат. Благодаря ему нам становятся известны такие подробности о движении планет, о которых мы прежде и не догадывались. Выясняется, что когда планета вертится вокруг Солнца одна, без спутников и в отсутствие каких-либо других сил, то квадрат ее скорости минус некоторая константа, деленная на расстояние до Солнца, вдоль орбиты не меняется. Например, чем ближе планета к Солнцу, тем быстрее она движется. Но насколько быстрее? А вот насколько: если вместо движения вокруг

240