книги / Фейнмановские лекции по физике Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Вып. 1-2 Современная наука о природе. Законы механики. Пространство. Время. Движение

Ф и г . 5.5. Три примера случайного блуждания.

По горизонтали отложено число шагов N. по вертикали—координата D (N ). т. е. чистое расстояние от начальной точки.

ожидаемом среднем значении большого числа повторяющихся

процессов блуждания. Эта величина обозначается как {DN)

и называется, кроме того, «средним квадратом расстояния». После одного шага D2 всегда равно + 1 , поэтому, несомненно,

(Z )? )= l. (За единицу расстояния всюду будет выбираться один шаг, и поэтому я в дальнейшем не буду писать единиц длины.)

Ожидаемая величина DN для N > 1 может быть получена из DN-i. Если после (N — 1) шагов мы оказались на расстоя­

Если процесс повторяется большое число раз, то мы ожидаем, что каждая из этих возможностей осуществляется с вероятно­ стью У2, так что средняя ожидаемая величина будет просто средним арифметическим этих значений, т. е. ожидаемая вели­

чина D// будет просто DN-i + l. Но какова величина D2N- U

вернее, какого значения ее мы ожидаем? Просто, по опреде­ лению, ясно, что это должно быть «среднее ожидаемое значе­

11 2

Ф и г . 6.6. Д оля выпадений «орла» в некоторой част• ной последовательности N подбрасываний монеты.

Если монета «честная», то мы ожидаем, что в половине слу­ чаев выпадет «орел», т. е.

Одновременно ожидается, что действительное число выпадений_«орла» должно отличаться от N12 на величину порядка V NJ2, или, если говорить о доле отклонения, она равна

1 УлГ

N 2 ~ 2 « J N '

т. е. чем больше N, тем ближе к половине отношение NolN. На фиг. 6.6 отложены числа NolN для тех подбрасываний

монеты, о которых мы говорили раньше. Как видите, при уве­ личении числа N кривая все ближе и ближе подходит к 0,5. Но, к сожалению, нет никаких гарантий, что для каждой дан­

ной серии или комбинации серий наблюдаемое отклонение будет близко к ожидаемому отклонению. Всегда есть конеч­

ная вероятность, что произойдет большая флуктуация — по­ явление большого числа выпадений «орла» или «решки»,— которая даст произвольно большое отклонение. Единствен­ ное, что можно_сказать, — это если отклонения близки к ожи­

даемому 1/2V N (скажем, с множителем2 или 3 ) ,то нет осно­

ваний считать монету «поддельной» (иличто партнер плутует). Мы не рассматривали еще случаи, когда для монеты или какого-то другого объекта испытания, подобного монете (в том смысле, что возможны два или несколько достоверно не предсказуемых исхода наблюдения, например камень, кото* рый может упасть только на какую-то из двух сторон), име­ ется достаточно оснований полагать, что вероятности разных исходов не равны. Мы определили вероятность Я (О) как от­ ношение ( NQ)/N. Но что принять за величину {Nо)? Каким

114

•образом можно узнать, что ожидается? Во многих случаях

самое лучшее, что можно сделать, это подсчитать число вы­ падений «орла» в большой серии испытаний и взять {No) = = No (наблюденное). (Как можно ожидать чего-то еще?)

При этом, однако, нужно понимать, что различные наблюда­ тели и различные серии испытаний могут дать другое значе­ ние Р{О), отличное от нашего. Следует ожидать, однако, что

все эти различные ответы не будут расходиться больше чем

на 1/2V N [если Р{О) близко к половине]. Физики-экспери­

ментаторы обычно говорят, что «экспериментально найден­ ная» вероятность имеет «ошибку», и записывают это в виде

При такой записи подразумевается, что существует некая «истинная» вероятность, которую в принципе можно подсчи­ тать, но что различные флуктуации приводят к ошибке при

экспериментальном ее определении. Однако нет возможности сделать эти рассуждения логически согласованными. Лучше все-таки, чтобы вы поняли, что вероятность в каком-то смы­ сле— вещь субъективная, что она всегда основывается на какой-то неопределенности наших познаний и величина ее ко­ леблется при их изменении.

§ 4. Распределение вероятностей

Давайте вернемся к проблеме случайных блужданий, но теперь уже с некоторым изменением. Пусть в дополнение к случайному выбору направления шага ( + или —) некоторым непредсказуемым образом меняется также и его длина, при­

чем требуется выполнение одного-единственного условия, чтобы длина шага в среднем была равна единице. Эта задача

уже больше похожа на тепловое движение молекул в газе. Обозначим длину шага величиной S, которая, вообще говоря,

может быть любой, но наиболее часто будет принимать зна­ чения где-то «вблизи» единицы. Для большей определенности давайте положим (S 2) = 1, или, что эквивалентно, 5 СК= 1 . Вывод выражения для (Dz) при этом останется тем же, за

исключением того, что уравнение (6.8) изменится теперь сле­ дующим образом:

Так что, как и прежде,

Каково же в этом случае будет распределение расстояний? Какова, например, вероятность того, что после 30 шагов D

115

окажется равным нулю? Вероятность этого равна нулю! Во­ обще вероятность любой заданной величины D равна нулю.

Действительно, совершенно невероятно, чтобы сумма всех ша­ гов назад (при произвольной длине каждого из них) в точно­ сти скомпенсировалась шагами вперед. В этом случае мы уже не можем построить график типа изображенного на фиг. 6.2.

Если же, однако, не требовать, чтобы D было в точности

равно, скажем, нулю, или единице, или двум, а вместо этого говорить о вероятности получения D где-то вблизи нуля, или

единицы, или двух, то при этом мы можем нарисовать график, подобный приведенному на фиг. 6.2. Назовем Р(х, Дх) вероятностью того, что D будет находиться где-то внутри

интервала Дх в окрестности величины х (скажем, где-то меж­ ду х и х + Дх). Если Дх достаточно мало, то вероятность того, что D попадет в этот интервал, должна быть пропорциональ­

на его ширине, т. е. Дх. Поэтому мы можем утверждать, что

составляют шаги данной длины). К сожалению, я не могу здесь заниматься доказательством этого, а только скажу, что при достаточно большом числе шагов N плотность р(х) оди­

Ф и г. 6.7. Плотность вероятности оказаться при случайном блу­ ждании через N шагов на расстоянии D.

D измеряется в единицах средней квадратичной длины шага.

116

Фиг. 6.8. Вероятность {эаштри* хованная область под кривой р (х)] того, что при случайном блуждании пройденное рас­ стояние D окажется между xj и х2.

фика р(х) для различных N. Заметьте, что «полуширины»

этих кривых, как это и должно быть_по нашим предыдущим

расчетам, приблизительно равны V N.

Вы, вероятно, заметили также, что величина р(х) вблизи

нуля обратно пропорциональна V N. Это происходит потому,

что все кривые по форме очень похожи, только одни «разма­ заны» больше, а другие — меньше, и, кроме того, площади, ог­ раниченные каждой кривой и осью х, должны быть равны. Действительно, ведь р(х) Ах — это вероятность того, что D

р{х) Ах для каждой такой полоски. Геометрически эта ве­

роятность [запишем ее в виде P (xt < £> < х2)] равна пло­ щади заштрихованной области на фиг. 6.8. При этом чем уже будут наши полоски, тем точнее результат. Поэтому можно записать

Xt

Площадь же ограничения всей кривой просто равна веро­ ятности того, что D принимает какое-то значение между — оо

и + оо. Ясно, что она должна быть равна единице, т. е.

Ну_а поскольку ширина кривых на фиг. 6.7 пропорциональна V N , то, чтобы сохранить ту_же площадь, их высота должна

1 1 7

названием нормальной, или гауссовой, плотности вероятности

и записывается в виде

( 6 -2 0 )

причем величина о называется _стандартным отклонением.

В нашем случае а — 'у/ N или V N S CK» если средняя квадра­

тичная длина шага отлична от единицы.

Мы уже говорили о том, что движения молекул или какихто других частиц в газе похожи на случайные блуждания. Представьте себе, что мы открыли в комнате пузырек с ду­ хами или каким-то другим органическим веществом. Тотчас же молекулы его начнут испаряться в воздух. Если в комнате есть какие-то воздушные течения, скажем, циркуляция воз­ духа, то они будут переносить с собой пары этого вещества. Но даже в совершенно спокойном воздухе молекулы будут

распространяться, пока не проникнут во все уголки комнаты. Это можно определить по запаху или цвету. Если нам изве­ стен средний размер «шага» и число шагов в секунду, то мо­ жно подсчитать вероятность обнаружения одной или несколь­ ких молекул вещества на некотором расстоянии от пузырька через какой-то промежуток времени. С течением времени число шагов возрастает и газ «расползается» по комнате, по­ добно нашим кривым на фиг. 6.7. Длина шагов и их частота, как вы узнаете впоследствии, связаны с температурой и дав­ лением воздуха в комнате.

Вы знаете, что давление газа вызывается тем, что моле­ кулы его бомбардируют стенки сосуда. Позднее, когда мы по­ дойдем к количественному описанию этого явления, нам пона­ добится знать, с какой скоростью движутся молекулы, ударяясь о стенку, поскольку сила их ударов зависит от скорости. Однако говорить о какой-то определенной скорости

молекул совершенно невозможно. В этом случае необходимо использовать вероятностное описание. Молекула может иметь любую скорость, .но некоторые скорости предпочтительнее других. Все происходящее в газе можно описать, сказав, что вероятность того, что данная молекула движется с какой-то скоростью между v и y - f - Д о , будет равна p(v)Av, где p(v) — плотность вероятности, которая зависит от скорости v. Позд­

нее я расскажу, как Максвелл, используя общие понятия и идеи теории вероятности, нашел математическое выражение

118

Ф и г . 6.9. Распределение молекул газа по скоростям.

больше шансов за то, что она окажется где-то в окрестности наиболее вероятного или ожидаемого значения (о).

О кривой, показанной на фиг. 6.9, часто говорят в несколько ином смысле. Если мы возьмем газ, заключенный в каком-то сосуде (скажем, объемом 1л), то окажется, что в нем имеется огромное количество молекул (N « 1022). Поскольку/»(о)До —

вероятность того, что первая попавшаяся молекула будет ле­ теть со скоростью, находящейся в интервале До, то, по опре­ делению, ожидаемое число молекул (ДМ) со скоростью, на­

ходящейся в этом же интервале, будет равно

Поэтому М/?(о) можно назвать «распределением молекул по скоростям». Площадь под кривой между двумя значениями скоростей, oi и о2 [заштрихованная область на фиг. 6.9 для кривой М/?(о)] представляет ожидаемое число молекул со скоростями между Oi и о2. Но в газе, который содержит обыч­ но огромное число молекул, отклонения_от ожидаемого значе­

ния будут очень малы (порядка 1 /д / М), поэтому часто мы выбрасываем слово «ожидаемое» и говорим просто: «Число молекул со скоростями между ui и v2 равно площади заштри­

хованного участка». Однако нужно все-таки помнить, что речь в таких случаях всегда идет о вероятном числе.

§ 5. Принцип неопределенности

Понятия вероятности оказались очень полезны при описа­ нии поведения газа, состоящего из огромного количества мо­ лекул. Немыслимо же в самом деле пытаться определить по­ ложение и скорость каждой из 1022 мокекул! Когда впервые теория вероятности была применена к таким явлениям, то это рассматривалось просто как удобный способ работы в столь сложной обстановке. Однако теперь мы полагаем, что вероят­ ность существенно необходима для описания различных

атомных процессов. Согласно квантовой механике, этой ма­ тематической теории малых частичек, при определении поло­

жения частички и ее скорости всегда существует некоторая

119

неопределенность. В лучшем случае мы можем только ска­ зать, что существует какая-то вероятность того, что частица находится вблизи точки х.

Для описания местополо­ жения частицы можно ввести плотности вероятности pi(x), так что р i(x)Ax будет вероят­

ностью того, что частица на­ ходится где-то между х и х-\-

!+Дх. Если положение частицы установлено достаточно хо­ рошо, то примерный вид функции pi(x) может иллюстриро* вать график, приведенный на фиг. 6.10, а. Точно такое же по­

ложение и со скоростью частицы: она тож е. неизвестна нам точно. С некоторой вероятностью Pi{v)&v частица может дви­ гаться со скоростью, находящейся в интервале между v и

v + Ди.

Один из основных результатов квантовой механики со­ стоит в том, что эти две плотности pi(x) и pn(v) не могут быть

выбраны независимо в том смысле, что они обе не могут быть сколь угодно узкими. Если мы возьмем «полуширины» кри­ вых pi{x) и Рг{р) и обозначим их соответственно [Дх] и [Ди] (см. фиг. 6.10), то природа требует, чтобы произведение этих двух полуширин было не меньше величины h/m , где пг — мас­ са частицы, a h — некоторая фундаментальная физическая постоянная, называемая постоянной Планка. Это соотноше­

ние записывается следующим образом:

и называется принципом неопределенности Гейзенберга.

Чтобы это соотношение выполнялось, частица должна себя вести очень курьезно. Вы видите, что правая часть соотноше­ ния (6.22) постоянна, а это означает, что если мы попытаемся «приколоть» частицу в каком-то определенном месте, то эта попытка окончится тем, что мы не сможем угадать, куда она летит и с какой скоростью. Точно так же если мы попытаемся заставить частицу двигаться очень медленно или с какой-то

120