книги / Фейнмановские лекции по физике Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Вып. 1-2 Современная наука о природе. Законы механики. Пространство. Время. Движение

зать это, заметим, что это верно для величин а*а, b-b и с-с, где с = а + Ь. Сумма квадратов (а* + М 2+ (av + 6„)2 + + (в* + Ьг)2 — инвариант:

{йх + bxf + (а„ + byf + (в. + Ьг? =

= (а* + ЬХ')2+ (<у + ЬуУ + (а2' + Ы 2. (П.20)

Раскроем скобки в обеих сторонах этого уравнения. Перекре­ стные произведения дадут нам выражения типа (11.19), а сум­ мы квадратов составляющих а и Ь — выражения (11.18). Ин­ вариантность слагаемых типа (11.18) приводит к инвариант­ ности перекрестных произведений типа (11.19).

Величина а*Ь называется скалярным произведением двух

векторов а и Ь и имеет много интересных и полезных свойств. Например, легко доказать, что

Есть еще очень простой геометрический способ вычисления а -b, при котором не надо определять составляющих а и Ь; просто а*Ь есть произведение длин векторов а и b на ко­ синус угла между ними. Почему? Предположим, что мы вы­ брали такую систему координат, в которой вектор а направ­ лен вдоль оси х\ в этом случае вектор а имеет единственную ненулевую составляющую ах, которая равна длине вектора а.

Таким образом, уравнение (11.19) сводится в этом случае к а*Ь = ахЬх, что равно произведению длины вектора а на со­

ставляющую вектора b по направлению а, которая в свою очередь равна b cos 0, т. е.

а * b = ab cos 0.

Таким образом, в этой частной системе координат мы дока­ зали, что а*Ь равно произведению длин векторов а и Ь на ко­ синус угла между ними 0. Но если это верно в одной системе координат, то это верно и во всех системах, потому что а*Ь

не зависит от выбора системы координат.

Что хорошего может дать нам эта новая величина? Нужно ли физику скалярное произведение? Да, оно необходимо ему постоянно. Например, в гл. 4 мы назвали кинетической энер? гией величину 72 tnv\ но если частица движется в простран­

стве, то нужно возвести в квадрат отдельно составляющие скорости х, у и г, так что формулу для кинетической энергии

Энергия не имеет направления. Импульс же направление имеет, это — вектор, и он равен произведению массы на век тор скорости.

211

нового мы при этом не сказали. Обнаружив основной закон, утверждающий, что сила есть масса на ускорение, а потом определив силы как произведение массы на ускорение, мы ни­

чего нового не открываем. Можно также определить силу и на другой манер: движущееся тело, на которое сила не действует, продолжает двигаться по прямой с постоянной скоростью. Тогда, увидев, что тело не движется по прямой с

постоянной скоростью, мы можем утверждать, что на него действует сила. Но такие высказывания не могут составить содержание физики: зачем же ей гонять определения по кругу? Несмотря на это, приведенное выше положение Нью­ тона, по-видимому, самое точное из всех определений силы, одно из тех, которые так много говорят сердцу математика. И все же оно совершенно бесполезно, потому что из одного определения никогда ничего никто не выводил. Можно деньденьской просиживать в кресле, определяя слова по своему хотению, но совсем иное дело — понять, что происходит при столкновении двух шаров или что бывает, когда груз висит на пружинке. Поведение тел и выбор определений — между эти­

ми вещами нет ничего общего.

Пусть, например, мы бы решились говорить, что тело, пре­ доставленное самому себе, лежит на месте и не движется; тогда, заметив, что что-то движется, мы бы стали утверж­ дать, будто на него действует «жила»— мера охоты к переме­ не мест. Мы получили бы прекрасный новый закон, все было бы хорошо, кроме тех случаев, когда действует «жила». Как видите, все было бы подобно нашему определению силы и точно так же не несло бы в себе никакой информации. Истин­ ное же содержание законов Ньютона таково: предполагается, что сила обладает независимыми свойствами в дополнение к закону F = та; но характерные независимые свойства сил не

описал полностью ни Ньютон, ни кто-нибудь еще; поэтому физический закон F = та — закон неполный. Он подразуме­

вает, что, изучив характеристики величины, определяемой как произведение m на а, мы обнаружим в них некоторую про­

стоту; закон этот дает нам хорошую программу анализа природы, он подсказывает нам, что свойства этой вели­ чины— силы — могут оказаться простыми, что ее стоит изу­ чать.

Первый пример таких сил — полный закон тяготения, предложенный Ньютоном. Формулируя свой закон, он отве­ чал на вопрос: что такое сила? Если бы ничего, кроме тяготе­ ния, не существовало, то сочетание этого закона и закона силы (второго закона движения) оказалось бы завершенной теорией. Но, кроме тяготения, существует и многое другое, и мы собираемся пользоваться законами Ньютона во всевоз­

214

можных положениях. Поэтому нам придется кое-что порас­ сказать о свойствах сил.

К примеру, говоря о силе, мы всегда неявно предполагаем, что когда нет физических тел, то сила равна нулю. Если мы видим, что сила не равна нулю, мы ищем по соседству ее источник. Это предположение совсем не то, что введенная

нами «жила».

Одна из важнейших характеристик силы — ее материаль­ ное происхождение; и это свойство как раз нельзя считать

определением.

Ньютон привел еще одно правило, касающееся сил: силы между взаимодействующими телами равны и противополож­ ны; действие равно противодействию. И это правило, оказы­ вается, не совсем верно. Да и сам закон F = т а не совсем верен; будь он определением, мы бы должны были утверж­ дать, что он точно верен всегда; а на самом деле это не так.

Вы можете заявить: «А мне не нравится эта неточность, я хочу, чтобы все определялось точно, да и во многих книжках написано, что наука — вещь точная, что в ней все определе­

но». Но сколько бы вы ни настаивали на точном определении силы, вы его никогда не получите! Во-первых, и сам Второй закон Ньютона не точен, а во-вторых, чтобы понять физиче­ ские законы, вы должны усвоить себе раз и навсегда, что все они — в какой-то степени приближения.

Любое простое высказывание является приближенным; в виде примера рассмотрим некоторый предмет... кстати, что такое предмет? «Философы» всегда отвечают: «Ну, например,

стул».

но все же! На него садится пыль, из него сыплется труха, да и лак со временем сходит. Четко определить стул, сказать точно, какие атомы принадлежат ему, какие — воздуху, а ка­ кие— лаку, невозможно. Значит, массу стула можно опреде­ лить лишь приближенно. Точно так же невозможно опреде­ лить массу отдельного предмета, ибо таких предметов не су­ ществует, в мире нет одиноких, обособленных объектов; любая вещь есть смесь множества других, и мы всегда имеем дело с рядом приближений и идеализаций. Вся суть в идеализа­ ции. В очень хорошем приближении (около 1 к 1010) количе­ ство атомов стула за минуту не меняется. Если вас эта точ­ ность устраивает, вы имеете право считать массу стула постоянной. Точно так же можно идеально изучить и харак­ теристики силы, стоит только не гнаться за точностью. Вас

2 IS

может не удовлетворить этот приближенный взгляд на природу, который пытается выработать физика (все время стремясь повысить точность приближений), вы можете пред­ почесть математическое определение, но оно никогда не действует в реальном мире. Математические определения хороши для математики — там можно полностью и до конца •следовать логике, а физический мир сложен. Мы об этом уже говорили, приводя такие примеры, как океанские волны и бокал вина. Пытаясь разделить их на части, мы толкуем отдельно о массе вина и отдельно о массе бокала. Но как можно узнать* где одно, где другое, раз одно растворимо в другом? И сила, действующая на обособленный предмет, уже включает неточность, и всякая система рассуждений о реаль­ ном мире, по крайней мере сегодня, предполагает разного рода приближения.

Эта система ничем не похожа на математические рассуж­ дения. В них все может быть определено, и в итоге всегда не известно, о чем говорят.

Действительно, ведь все великолепие математики в том и состой г, что в ней мы не знаем, о чем толкуем. Ее законы, ее доказательства, ее логика не зависят от того, чего они ка­

саются,— и в этом своя, особая красота. Когда вы имеете другую совокупность объектов, подчиняющихся той же систе­ ме аксиом, что и евклидова геометрия, то вы можете выдви­ нуть новые определения и делать выводы, сообразуясь с правильной логикой, — все следствия окажутся правильными, и совершенно неважно, чего они касаются. А в природе? Когда вы проводите линию или провешиваете ее при помощи луча света и теодолита (как это делается на геодезических съемках) — следует ли природа Евклиду? Нет, вы делаете приближение; крест на объективе имеет определенную тол­ щину, а геометрическая линия — никакой; значит, применять ли в съемках евклидову геометрию или нет — это вопрос физики, а не математики.

Конечно, с экспериментальной (а не математической) точки зрения вам нужно знать, применимы ли законы Евкли­ да к тому роду геометрии, которую вы используете, измеряя окрестности; вы предполагаете, что да, применимы. И, дей­ ствительно, они прекрасно работают; прекрасно, но не точно, потому что ваши съемочные линии — это не настоящие гео­ метрические линии. Приложимы или нет абстрактные евкли­

определением, вывести из него все чисто математически и сделать механику математической теорией: механика — это

216

описание природы. Выдвигая подходящие постулаты, всегда можно создать математическую систему вроде евклидовой,, но вы не можете создать математики мира; рано или поздно вам пришлось бы отвечать на вопрос: выполняются ли эти аксиомы на объектах природы? И вы немедленно завязли бы среди этих запутанных, «нечистых» реальных предметов,— правда, добиваясь все большей и большей точности прибли­ жений.

§ 2. Трение

Итак, чтобы по-настоящему понять законы Ньютона, мы должны обсудить свойства сил; цель этой главы — начать это обсуждение и составить своего рода дополнение к законам Ньютона. Мы уже знакомы со свойствами ускорения и с дру­ гими сходными представлениями, теперь же нам предстоит заняться свойствами сил. Из-за сложности их мы в этой главе (в отличие от прежних) не будем гнаться за точными форму­ лировками. Чтобы начать с конкретной силы, рассмотрим сопротивление, которое воздух оказывает летящему самолету. Каков закон этой силы? (Мы обязаны найти его; ведь закон

существует для каждой силы!) Едва ли только он будет прост. Стоит представить себе торможение воздухом самолета — свист ветра в крыльях, вихри, порывы, дрожание фюзеляжа и множество других сложностей, — чтобы понять, что этот за­ кон вряд ли выйдет простым и удобным. Тем замечательней тот факт, что у силы очень простая закономерность: F « cv2

(постоянная, умноженная на квадрат скорости).

Каково же положение этого закона среди других? Подобен ли он закону F = та? Отнюдь. Во-первых, он эмпирический, и получен он грубыми измерениями в аэродинамической тру­ бе. Но вы возразите: «Что ж, закон F = т а тоже мог бы быть эмпирическим». Но разве в этом дело? Различие не в эмпи­ ричности, а в том, что, насколько мы понимаем, этот закон Трения есть результат множества влияний и в основе своей ничуть не прост. Чем больше мы станем его изучать, чем точ­ нее мерить, тем сложней (а не проще) представится он нам.

Иными словами, все глубже вникая в закон торможения самолета, мы все ясней будем понимать его «фальшь». Чем глубже взгляд, чем аккуратней измерения, тем усложненней становится истина; она не предстанет перед нами как итог простых фундаментальных процессов (впрочем, мы и с самого начала об этом догадывались). На очень слабых скоростях (самолету, например, они даже недоступны) закон меняется: торможение уже зависит от скорости почти линейно. Или, к примеру, торможение шара (или пузырька воздуха или чегонибудь еще) за счет, трения о вязкую жидкость (наподобие

21?

Направление движения

Фиг. 12.1. Соотношение между силой трения и нормальной со- ставляющей силы при скольжении.

бы преодолевать трение и тащить один предмет по поверхно­ сти другого, зависит от силы, направленной по нормали (по перпендикуляру) к поверхностям соприкосновения. В доволь­ но хорошем приближении можно считать, что сила трения пропорциональна нормальной силе с более или менее постоян­ ным коэффициентом:

ц не очень постоянен, эта формула оказывается хорошим эм­ пирическим правилом, позволяющим прикидывать, какая сила понадобится в тех или иных практических или инженерных, обстоятельствах. Только когда нормальная сила или быстрота движения очень уж велика, закон отказывает: выделяется чересчур много тепла. Важно понимать, что у любого из этих, эмпирических законов есть ограничения, вне которых они нет работают.

Приближенную справедливость формулы F = pN можно-

засвидетельствовать простым опытом. Положим брусок весом W на плоскость, наклоненную под углом 0. Подымем пло­ скость круче, пока брусок под тяжестью собственного веса не соскользнет с нее. Составляющая веса вниз вдоль плоскости Wsin 0 равна силе трения F, раз брусок скользит равномерно. Слагающая веса, нормальная к плоскости, это W cos 0; она и есть нормальная сила N. Формула превращается в W sin 0 = = pW cos 0, откуда ц = sin 0/cos 0 = tg 0. Согласно этому

закону, при определенном наклоне плоскости брусок начинает скользить. Если брусок нагрузить дополнительным весом, то все силы в формуле возрастут в той же пропорции, и W из

формулы выпадет. Если величина ц не изменилась, то нагру­ женный брусок опять соскользнет при таком же наклоне. Определив из опыта угол 0, убедимся, что при большем весе бруска скольжение все равно начинается на том же угле наклона. Даже если вес возрос многократно, это правило соблюдается. Мы приходим к заключению, что от веса коэф­ фициент трения не зависит.

Когда проделываешь этот опыт, легко заметить, что при правильном угле наклона 0 брусок скользит не непрерывно, а с остановками: на одном месте он застрянет, а на другом

219

рванется вперед. Такое поведение есть признак того, что ко-» эффициент трения только грубо можно считать постоянным: он меняется от места к месту. Столь же неуверенное поведе­ ние наблюдается и при изменении нагрузки бруска. Различия в трении возникают от разной гладкости или твердости частей поверхности, от грязи, ржавчины и прочих посторонних влия­ ний. Таблицы, в которых перечислены коэффициенты трения «стали по стали», «меди по меди» и прочее, — все это сплош­ ное надувательство, ибо в них этими мелочами пренебрегают, а ведь они-то и определяют значение р. Трение «меди о медь» и т. д. — это на самом деле трение «о загрязнения, пристав­ шие к меди».

В опытах описанного типа трение от скорости почти не зависит. Многие верят, что трение, которое нужно преодо­ леть, чтобы привести предмет в движение (статическое), боль­ ше силы, необходимой для поддержания уже возникшего движения (трение скольжения). Но на сухих металлах труд­ но заметить какую-либо разницу. Мнение это порождено, ве­ роятно, опытами, в которых присутствовали следы масла или смазки, а может быть, там бруски закреплялись пружинкой или чем-нибудь гибким, как бы привязываясь к опоре.

Очень трудно добиться точности в количественных опытах по трению, и до сей поры трение не очень хорошо проанали­ зировано, несмотря на огромное значение такого анализа для техники. Хотя закон F = цЫ для стандартных поверхностей

почти точен, причину такого вида закона на самом деле не по­ нимают. Чтобы показать, что р мало зависит от скорости, нужны особо тонкие эксперименты, потому что от быстрых ко­ лебаний нижней поверхности видимое трение_сильно падает. В опытах на больших скоростях надо заботиться, чтобы тела нс дрожали, а то видимое трение сразу уменьшается. Во вся­ ком случае/ этот закон трения относится к тем полуопытным законам, которые поняты не до конца и не становятся понят­ ней, несмотря на огромные усилия. Оценить коэффициент тре­ ния между двумя веществами сейчас практически никому не под силу.

Раньше было уже сказано, что попытки измерить р при скольжении чистых веществ (меди по меди) ведут к сомни­ тельным результатам, потому что соприкасающиеся поверх­ ности— не чистая медь, а смеси окислов и прочих загрязне­ ний. Если мы хотим получить совершенно чистую медь, если мы вычистим и отполируем поверхности, дегазируем вещество в вакууме и соблюдем все необходимые предосторожности, то все равно р мы не получим. Потому что два куска меди слипнутся, и тогда хоть ставь плоскость торчком! Коэффи­ циент р, для умеренно жестких поверхностей обычно меньший единицы, тут вырастает до нескольких единиц! Причина такого

220