книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

232 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями

2) функции начальных данных UQ, VQ нулевые,

тогда в задаче (2.11.1) можно пренебречь начальными данными, а в выраже­ нии (2.11.123) — соответствующим им полем и.

Поскольку при условии (2.11.124) из (2.11.122) имеем 2 ^ < то амплитудами, соответствующими этим коэффициентам также можно прене­ бречь, и решение (2.11.123) задачи (2.11.1) принимает вид полигармониче-

ской функции:

N

Эти поля можно вычислить непосредственно, решая задачу, являющуюся суперпозицией задач (2.11.107) и (2.11.108), (2.11.109):

2.11.10. Колебания оболочек

Одними из основных объектов приложения рассмотренной выше теории свободных и вынужденных колебаний являются оболочки и пластины. Ди­ намические уравнения теории оболочек могут быть получены из уравнений квазистатического равновесия (2.10.41), выведенных в и. 2.10.6. Для этого плотность массовых сил f a , входящую в выражения (2.10.29) для массовых усилий Fea и массовых моментов Меа, следует заменить на обобщенные

где иа — компоненты вектора перемещений и в ортонормированном физиче­ ском базисе га срединной поверхности оболочки (см. и. 2.10.2).

Подставляя вместо иа выражения (2.10.21), соответствующие модели обо­ лочки Тимошенко, находим

Если подставить (2.11.130) в (2.10.29), то получим следующие выражения для массовых усилий и моментов:

Подставляя эти выражения в уравнения (2.10.41) вместо Fea и Меа, получаем

динамические уравнения теории оболочек:

где дифференциальные операторы La(T) выражаются по формуле (2.10.41а). Определяющие соотношения (2.10.43) и кинематические соотношения (2.10.26), (2.10.27) остались без изменений, в результате получаем замкнутую систему динамических уравнений теории оболочек Тимошенко относительно пяти неизвестных функций U\, 7ь 72 и W, зависящих от X 1, X 2 и t. Эта система имеет второй порядок производных по координатам и времени и относится к типу гиперболических систем дифференциальных уравнений с

частными производными.

После добавления к этой системе граничных условий (2.10.50), а также начальных условий

t = 0: Ua = Uaо, 7с = 7с0, W = W0,

dUa/d t = Ua1, dla /d t = 7сь dW /dt = Wu а = 1,2, (2.11.133)

получаем постановку динамической задачи теории оболочек (2.11.132), (2.11.133), (2.10.26), (2.10.27), (2.10.49) модели Тимошенко, где Uaо, 7^0, Wo, Ua1, 7d и W\ — заданные функции координат Х а.

В задаче о свободных колебаниях оболочек граничные условия (2.10.50) следует принять нулевыми (условия свободного края (2.10.51), жесткой задел­ ки (2.10.52) и шарнирно-закрепленного края (2.10.53) являются примерами таких условий), а также считать отсутствующими все массовые усилия и моменты:

Fea = 0, Меа = 0, РеЪ= 0 , Ар = 0.

234 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями

Решение данной задачи в соответствии с общей теорией ищем в гармони­ ческом виде (2.10.72):

оо

n = Y , ( AnCosujnt - A i; Smujnt)n {n}(X a), Q = {Ua, la ,W } . (2.11.134) П=1

Подставляя (2.11.134) в кинематические соотношения (2.10.26), (2.10.27) и определяющие соотношения (2.10.43), находим, что усилия, моменты, тан­ генциальные деформации и искривления оболочки также имеют гармониче­ ский вид (2.11.134), т. е.

^ = \UQLI Тск’ Мар, ^aph Qa}• (2.11.135)

После подстановки выражений (2.11.134), (2.11.135) в уравнения динами­ ческой теории оболочек (2.11.132) и граничные условия (2.10.50), получаем

Здесь использована символическая запись нулевых граничных условий для собственных функций задачи.

Подставляя выражения (2.11.134) в начальные условия (2.11.133), полу­ чаем следующие соотношения:

функций: J7a(n), 7a(n), W(n)), согласно теореме Гильберта — Шмидта, является полной, и поэтому коэффициенты А" разложения функций По(Ха), Hi(Xa) по системе собственных функций всегда существуют — это коэффи­ циенты Фурье.

Аналогичным образом можно рассмотреть задачи о вынужденных и уста­ новившихся колебаниях оболочек.

Выражая из (2.11.1406) функцию 7(п)ц и подставляя ее в уравнение (2.11.140а), продифференцированное по X 1, получаем следующую задачу для функции W(ny.

' D n W{n)M n+ L o l ( 2 ^ + Dp)w(n)M-

После подстановки (2.11.142) в (2.11.141a) получаем следующее алгебра­

Решая это уравнение, находим две последовательности (ветви) собственных частот колебаний балки:

Для большинства упругих сред параметры АСп/В 2 оказываются обычно малыми: АСп/В 2 <С 1, тогда для низшей ветви собственных значений (знак «—» в (2.11.144)) после линеаризации получаем следующее выражение:

или после подстановки выражений (2.11.145) в (2.11.146) и отбрасывания членов порядка (п//)2, малых по сравнению с 1:

Для балок с конечной сдвиговой жесткостью отношение Сц/(12С55) ~ ~ 1 конечно, и параметры ап оказываются много меньше 1: a n 1, поскольку hjl < 1. В этом случае сдвиговыми свойствами балки можно пренебречь, то­ гда из формулы (2.11.147) получаем следующее выражение для собственных

очень малой сдвиговой жесткостью, для нее в формуле (2.11.147) можно считать, что 1 + ап рз ап, тогда для собственных частот получаем следующее выражение:

Параметр ав представляет собой скорость поперечных волн в ортотропной среде (см. п. 2.11.2).

Колебания балки с очень малой сдвиговой жесткостью не зависят от ее изгибных упругих свойств (т. е. от Си) и определяются только модулем сдви­ га С55. Аналогичный эффект имеет место для струн (длинных тонких тел), у которых отсутствуют изгибные жесткости, а их колебания определяются продольным нагружением струны сг^. Формула для частоты колебаний струн

совпадает с (2.11.149), где ав ^ а в = \Ja\\/°p.

На практике часто вместо ип используют круговые частоты колебаний:

Первую круговую частоту щ называют основной частотой (основным тоном) колебаний, а остальные частоты vn (п > 1) — высшими частотами

(обертонами).

Звуковыми колебаниями называют колебания (свободные или вынуж­ денные) с частотами ип в диапазоне 17... 20000 Гц, которые способно вос­ принимать человеческое ухо. Колебания с частотами Vn < 17 Гц называют

инфразвуком, а свыше 20 кГц — ультразвуком.

В силу условий (2.11.73) и (2.11.83) ортонормированности собственных функций (называемых в теории оболочек собственными формами коле­ бании), множитель Wn в формуле (2.11.147) следует выбрать следующим образом: Wn = л/Z jl для всех п.

Из формулы (2.11.142) следует, что собственные формы колебаний балки имеют синусоидальный вид, причем число полусинусоид укладывается на

где Хп — длина волны собственной функции W ^ ( X l) (см. рис. 2.11.5).

условиями (2.11.138г), то, согласно формуле (2.11.72), решение будет иметь следующий вид:

п = 1

Модули \Ап| называют амплитудами колебаний, а (рп — углами сдвига фазы.

Амплитуды и фазы колебаний зависят от А '£ , которые определяются по

упругих средах определяются только начальной скоростью тела (в неупругих средах ситуация иная, см. § 5.6).

Если WQ(X 1) — симметричная функция относительно точки X х = 1/2: WQ(X 1) = WQ(1— X х), т о и з (2.11.155) следует, что А\ Ф 0, а А'п = 0 (п > 1), т. е. колебания происходят только с одной основной частотой щ.

2.11.12. Продольные колебания балки

А. Свободные колебания балки

В качестве еще одного часто встречающегося в приложениях примера

В этом случае задача (2.11.132), (2.11,133), (2.10.43), (2.10.26), (2.10.52) о свободных колебаниях, подобно квазистатической задаче о растяжении балки