книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

Исключение составляют процессы распространения упругих волн боль­ шой амплитуды в твердых телах, приводящие к значительному разогреву и даже плавлению и испарению твердых сред при ударе. К таким процессам относятся, например, удары частиц космического мусора, движущегося со скоростями 8 ... 16 км/с вдоль элементов космических аппаратов.

Если принять допущения (2.6.75), то из (2.4.3) получаем следующее выражение для плотности энтропии:

Подставляя (2.6.76) в (2.6.74), находим выражение для $ в адиабатиче­

В частности, для изотропных сред, для которых тензор (3 шаровой (см. (2.6.69)),

где s = е - -Е.

Из (2.6.78) следует, что изменение температуры $ в адиабатическом про­ цессе определяется только объемным расширением-сжатием упругой среды, причем при расширении, когда г > 0, упругая среда охлаждается: $ < 0, а при сжатии, когда г < 0, среда нагревается: $ > 0. Отметим, что это свойство справедливо только для идеальных сред, для неидеальных наблюдается иной эффект (см. § 5.3).

Следовательно, при заданных условиях сталь охладится всего на 8,9 К, т. е. $/$о = 0,03 <С 1, для сравнения температура плавления стали 6т рз 1900 К.

Таким образом, допущения (2.6.75) оказываются вполне приемлемыми для многих адиабатических волновых процессов в упругих средах.

Подставляя (2.6.77) в (2.6.2), находим тензор напряжений в адиабатиче­ ском процессе:

где 4Са — тензор адиабатических модулей упругости,

где Aia — адиабатическая константа упругости Ламе.

Для сталей, используя значения (2.6.79) и (2.6.80), находим характерные

Иначе говоря, для упругих сред отличие адиабатических 4Са и изотермиче­ ских 4С модулей упругости обычно невелико, и им часто можно пренебречь.

Учет различия между 4С и 4Са не составляет труда: для этого необходимо подставить (2.6.78) в уравнение движения (2.6.60) или, что то же самое, определяющие соотношения (2.6.81) в (2.2.5а), в результате приходим к постановке динамической задачи линейной теории упругости для адиабатиче­

ских процессов:

(°ри = V - ( 4C a - - V c x ) u ) + pf,

t = 0: u = u0, u = v0.

Сравнивая соотношения (2.6.60) для изотермических процессов и (2.6.86) для адиабатических процессов, заключаем, что эти постановки задач отлича­ ются только формальной заменой тензора изотермических модулей упругости 4С на 4Са, поэтому для решения задачи (2.6.86) можно использовать решение изотермической задачи (2.6.60) при д = 0 с заменой в полученном решении 4С —►4Са. В силу этого, далее не будем делать различия между 4С и 4Са.

2.6.9. Единственность решения для динамической задачи теории упругости

В п. 2.4.9 доказана теорема единственности для квазистатических задач теории упругости. Для динамической задачи линейной упругой среды имеет место аналогичная теорема.

Теорема 2.6.1. Для линейно-упругой среды, обладающей положительно определенным тензором модулей упругости, т. е. удовлетворяющей усло­ виям (2.4.75), решение динамической задачи (2.6.86) является единствен­ ным.

▼Пусть имеется два различных решения задачи (2.6.86).

Выберем произвольное непрерывно-дифференцируемое поле w (х,£), удо­

в (2.6.86), записанные для иа, а затем проинтегрируем их по У:

Преобразуем второй интеграл стандартным образом по формулам (2.4.3)- (2.4.4), тогда с учетом граничных условий задачи (2.6.86) получим

Вычитая уравнение (2.6.88) при се = 1 из уравнения (2.6.88) при а = 2 и выбирая w = U2 —йь получаем

уу

где и = U2 —ui и w = й. Из первого и второго интегралов в (2.6.89) можно выделить полные производные по t:

уу

Поскольку и — разность двух решений задачи (2.6.86), то при t = 0: и = 0 и й = 0 в V, а значит оба интеграла в правых частях (2.6.91) обращаются в нуль, и константа в этом уравнении равна нулю. Тогда, поскольку первое слагаемое в (2.6.91) всегда неотрицательно (это кинетическая энергия К тела), то второе слагаемое должно быть неположительным, что противоречит условию (2.4.75) положительной определенности тензора 4С. Следовательно, принятое допущение о двух различных решениях задачи (2.6.86) является неверным, и решение этой задачи единственно. А

2.6.10. Следствие из условия устойчивости Адамара

Как отмечалось в п. 2.4.9, чтобы обеспечить единственность решения задачи МДТТ, для упругого потенциала Ф принимают условие устойчивости Адамара (2.4.73), эквивалентное условию существования положительного касательного модуля (2.4.76).

Пусть линейно-упругая среда обладает положительным касательным мо­ дулем. Тогда, подставляя выражение (2.6.1) для ф в (2.4.76), получаем, что

124 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями

тензор модулей упругости 4 С должен удовлетворять неравенству

т. е. тензор 4С должен быть положительно определенным.

Если линейно-упругая среда обладает положительной касательной подат­ ливостью, то, подставляя выражение (2.6.96) в (2.4.77), получаем, что тензор упругих податливостей 4П должен удовлетворять следующему неравенству:

Однако для некоторых случаев анизотропии (в частности, для изотроп­ ных сред) границы допустимых значений упругих констант, вытекающие из (2.6.95), можно сузить, если предварительно перегруппировать в (2.6.92) слагаемые следующим образом. Подставим в (2.6.92) спектральное представ­ ление (2.6.41) для тензора 4С:

Здесь учтено определение линейных инвариантов Y^(h) симметричного тен­ зора второго ранга (см. (2.5.60), а также т. 1, (4.10.11)), определение ор­

всегда можно выбрать такие значения тензора h, чтобы отличным от нуля был только один спектральный инвариант Y^(h) (для инвариантов I a \ h ) так можно сделать не всегда; например, так нельзя сделать для инвариантов

Ji(h), / 2(h) в группе изотропии). Тогда из (2.6.96) следует, что должны выполняться неравенства

Рассмотрим неравенства (2.6.94) и (2.6.97) для основных групп симмет­ рии.

Изотропные среды. Используя матричное представление (2.6.32) для ком­ понент тензора упругих податливостей, находим

п «««« = ! , й а/3а/3 = 2 ^ = ! ± Д а фр. а> (3 = 1,2,3.

Подставляя эти выражения в (2.6.94), приходим к следующим неравенствам:

Используя соотношения (2.6.45) и (2.6.48), для изотропной среды имеем

Подставляя эти выражения в (2.6.97), получаем еще одно дополнительное неравенство: v < 1/2 (второе неравенство снова приводит к G > 0). Объ­ единяя это неравенство с (2.6.98), окончательно получаем два независимых неравенства:

ограничивающие допустимые интервалы упругих констант для изотропной линейно-упругой среды (неравенство G > 0 следует из (2.6.99)).

Ортотропные среды. Подставляя выражения упругих податливостей IPJ^ (2.6.17) через технические константы в (2.6.94), получаем

Используя представление компонент Саааа через технические константы Еа и на(3 (см. упр. 1 к §2.6), из условий (2.6.95) получаем еще три неравен­ ства:

z1 = iy^p(Ep/Еа) > 0), из (2.6.101) получаем следующую систему неравенств:

является несовместной.

Таким образом, из (2.6.100) и (2.6.102) имеем следующую систему нера­ венств для технических констант:

Трансверсально-изотропные среды. Подставляя выражения упругих по­ датливостей W ikl (2.6.26) через технические константы в (2.6.94), получаем

Если подставить в неравенства (2.6.95) выражения упругих модулей Саааа через технические константы (см. упр. 3 к §2.6), то из (2.6.95) полу­ чим еще два дополнительных неравенства:

Упражнения к § 2.6

Упражнение 1. Используя матричное представление (2.6.17) для тензора 4П и тензора 4С (см. т. 1, (4.6.64)), путем обращения матриц 6 x 6 показать, что компо­

ненты тензора модулей упругости Cl^kl для ортотропной среды выражаются через технические константы (2.6.15) следующим образом:

Упражнение 8. Используя (2.6.28) и (2.6.35), показать, что тензор (3 = 4С • • а. для изотропной среды является шаровым, т. е. справедливы формулы (2.6.69).

Упражнение 9. Используя спектральное представление тензора модулей упругости

(2.6.41) и выражения для тензоров аа и 4Га (см. т. 1, (4.10.44) и (4.10.56)), а также

о ^

представления (2.6.19) и (2.6.20), показать, что соотношения между Сар и Сгэк1 для трансверсально-изотропных сред (группа Тз) имеют вид (см. также т. 1, (4.11.46)):

§ 2.7. Фундаментальные решения в теории линейной упругости

Рассмотрим некоторые общие представления решения квазистатической задачи (2.6.63) для линейно-упругого тела.

2.7.1. Фундаментальное решение Кельвина

Проанализируем частный случай, когда линейно-упругое тело — все трех­ мерное пространство Eg, и в некоторой точке х = XQ этого пространства действует сосредоточенная массовая сила, для которой поле вектора f(x) имеет вид

трехмерная дельта-функция Дирака (см. т. 1, формула (3.7.12)), удовлетво­ ряющая соотношению

для произвольного тензорного поля А(х).

Рассмотрим решение задачи линейной теории упругости (2.6.63) для та­

Здесь, поскольку рассматриваемая область Eg не имеет границы, для един­ ственности решения в качестве «граничного» условия вводим условие обра­ щения в нуль перемещения и его ротора V х на бесконечности. От-

130 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями

Согласно определению 3.7.3 из т. 1, производная 5-функции удовлетворяет

Выражение (2.7.11) называют двойной сосредоточенной силой, поскольку вектор можно представить как предел отношения суммы двух сосре­

доточенных сил f^ 5 (x —XQ —hei) —fg^5(x —XQ), приложенных к точкам XQ + hei и X Q , имеющих одинаковую величину, но противоположно направ­ ленных, к расстоянию h между точками приложения сил (рис. 2.7.2):

Массовую силу в виде суммы трех двойных сосредоточенных сил без момента

(2.7.16)

а =\

называют центром расширения-сжатия или центром дилатации (рис. 2.7.2, в). Массовые силы, образованные комбинацией трех двойных сосредоточенных сил с моментом

Если подставить какое-либо из выражений для f(x) (2.7.11), (2.7.15)- (2.7.17) в уравнения равновесия системы (2.6.63), то получим аналог задачи (2.7.3) для всего пространства 8 %, например, для плотности силы (2.7.11):