книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред
.pdf§ 1.2. Законы сохранения и постановки задач для ATT |
21 |
(1.2.46), (1.2.4в), для нахождения полей вектора скорости |
радиус- |
вектора x (X l,t) и тензора напряжений T ( X l,t). Поскольку никаких других определяющих соотношений для ATT, кроме (1.1.25), в системе (1.2.1), (1.2.2) нет, она является незамкнутой (шесть скалярных уравнений и 12 неизвест ных). Эта система может иметь единственное решение только в частных случаях, когда, например, геометрия области V и граничное условие (1.2.4а) допускают существование однородного в пространстве поля тензора напряже ний Т = Т(£), удовлетворяющего условию V • Т = 0. Тогда система (1.2.1), (1.2.2) с начальными условиями (1.2.4в) становится замкнутой и может быть решена.
Замечание 1.2.1. Уравнение движения (1.2.1) можно записать в подвижной системе отсчета Л4ё\. Для этого следует подставить вместо ускорения v = х
его |
выражение |
согласно формуле Кориолиса (1.1.11а), а также учесть, что |
V |
Т = V Т |
(см. т. 2, теорема 1.1.2), где V = ё,г{д/дхг) = V = ёг{д/дхг) |
(см. т. 2, п. 3.11.4). Тогда из (1.2.1) получаем искомое уравнение движения в подвижной системе отсчета М.ё[ (см. также т. 2, (3.11.42)):
р(х' • Q т + ае + ас) = V • Т + pf. □ |
(1.2.5) |
1.2.2. Законы изменения количества движения
имомента количества движения для ATT
Вобщем случае движения ATT вместо незамкнутой локальной системы (1.2.1), (1.2.2) рассмотрим интегральную систему законов сохранения, состо ящую из законов изменения количества движения и момента количества движения (т. 2, (2.2.2) и (2.3.2)):
d\/dt = |
+ Т т, |
(1.2.6) |
dk/dt = ^ |
+ v m, |
(1-2.7) |
где i — суммарный импульс ATT; — суммарный вектор внешних поверх ностных сил; Т т — суммарный вектор массовых сил,
pvdV, |
JFE = n • Т dE, Т т = pfdV] |
( 1.2.8) |
V |
V |
|
k — вектор моментов количества движения ATT; — вектор по верхностных моментов; fim — вектор массовых моментов (определенные относительно точки О),
к = рх х v d V , |
— — п • Т х xdH, |
рх х f dV. |
(1.2.9) |
у |
X |
v |
22 |
Глава 1. Абсолютно твердые тела |
Отметим, что закон изменения моментов количества движения (1.2.7) для ATT является просто следствием уравнения движения (1.2.1). Этот за кон можно записать относительно произвольной точки A4Q пространства с радиус-вектором XQ(£) в /С:
|
|
dk/dt = |
+ Дш, |
(1.2.10) |
где к, |
р т — векторы, определенные относительно точки A4Q: |
|
||
k = |
рх х v dV, |
= х х t n dE, Vr |
p x x id V , x = x —X Q . |
(1.2.11) |
у |
|
|
у |
|
Из (1.2.9) и (1.2.11) следует очевидное соотношение между к и к :
к = к + XQ х i. |
(1.2.12) |
Для того чтобы замкнуть систему уравнений (1.2.6)—(1.2.9) (или (1.2.6), (1.2.8), (1.2.10), (1.2.11)), из нее следует исключить вектор напряжений t n = п • Т. Это можно сделать с помощью граничного условия (1.2.46) на поверхности ATT.
Подставляя (1.2.46) в (1.2.8), (1.2.9) и (1.2.11), находим выражения для
А^х и А^х:
^"Х = ^ Х 1+ ^Х 25 |
А^Х = А^Х1+ /^Х2» |
А^Х = А^Х1+ /^Х2> |
(1.2.13) |
|||
где |
|
|
|
|
M(v —ve) d£, |
|
^ x i = |
t ned£, |
^ х 2 —— |
|
|||
A^xi |
x x t n dE, |
/ХХ2 = |
- |
Мх х (v —ve) dE, |
|
|
A^xi — |
x x t n dE, fi^2 = — |
Mx x (v —ve) d£. |
(1.2.14) |
|||
Для замыкания системы уравнений (1.2.6)—(1.2.9), (1.2.13), (1.2.14) оста ется присоединить к ней уравнение Эйлера (1.1.8) и выразить функции i, к, ^Х 2>/хЕ2 чеРез Две векторные функции VQ и CJ, не зависящие от координат. В результате получим два векторных уравнения (1.2.6), (1.2.7) (или (1.2.6), (1.2.10)) относительно двух векторных функций VQ и ол Рассмотрим это более подробно в следующем разделе.
1.2.3. Интегральные характеристики ATT
Введем радиус-вектор центра масс ATT хс и тензор инерции I относи тельно точки A4Q — центра поворота ATT:
§ 1.2. Законы сохранения и постановки задач для ATT |
23 |
хс = — рх dV, |
гп = |
p d V , |
(1.2.15) |
т |
|
V |
|
У |
|
|
|
1 = р(|х|2Е —х ® х ) dV = |
® e/J, |
(1.2.16) |
|
у |
|
|
|
где базисы е- и еп совпадают.
о
Отметим, что, в силу несжимаемости ATT, dV = dV и в объемных интег-
о о
ралах (1.2.15), (1.2.16) можно перейти к интегрированию по области V в 1C. В подвижной системе координат .Моё-, движущейся вместе с ATT (т. е.
для которой центр поворота М о — фиксированная материальная точка), век
тор х, согласно (1.1.6), имеет координаты х \ не зависящие от t, поэтому для
о
случая, когда нет фазовых превращений ATT (т. е. V = const), компоненты тензора инерции Г - не зависят от t:
I |
г |
p(xkxpSj — xlXj) dV . |
(1.2.17) |
3 |
о
У
Эти компоненты являются характеристиками ATT (хр совпадают с х к). Используя свойство (т. 1, (1.2.40)) двойного векторного произведения, из
(1.2.17) получаем следующее соотношение:
1 Ь = р ((х • х)Ь —х(х • b)) dV = |
рх х (b х х) dV, |
(1.2.18) |
У |
У |
|
которое справедливо для любого вектора Ь, не зависящего от координат. Введем также поверхностный тензор инерции 1^, суммарную массовую
скорость фазового превращения М^, вектор момента импульса фазового пре вращения m s, средний по поверхности Е вектор скорости внешней среды V£e> средний по поверхности Е вектор момента скорости внешней среды vMe:
|
МЕ = |
М dE = |
pDodY,, IE = M(|x|E —x (g) x) dE, |
|
|
m s |
M xdS, |
vEe = — |
M vedE, vMe = T-r - M x x ve dE. |
(1.2.19) |
|
|
|
|
|
MY, |
|
Тензор IE удовлетворяет соотношению, аналогичному (1.2.18): |
|
||||
|
|
Is |
• u |
M x x (cv x x) dE. |
( 1. 2. 20) |
E
Поскольку F = E для ATT, из формул (т. 2, (1.2.52)) следует, что для ATT
о
dE = dE и в поверхностных интегралах можно перейти к интегрированию
24 |
Глава 1. Абсолютно твердые тела |
|
о |
о |
о |
по £ |
— поверхности области V |
в JC (которая может изменяться только |
в результате фазовых превращений).
Из формулы (т. 2, (2.1.13а)) следует, что для ATT имеет место соотноше
ние |
d |
DQсЕ , |
(1.2.21а) |
|
dt ^ dV = |
||
|
v |
X |
|
из которого находим (р = р = const) |
|
|
|
d |
pdV |
pDo cE = MY , |
(1.2.216) |
rn = — |
|||
dt |
|
|
|
уx
т.e. MY — это скорость изменения массы ATT.
1.2.4.Система уравнений движения ATT
Вернемся к выражениям (1.2.8), (1.2.9) и (1.2.11). Подставим в них фор мулу Эйлера (1.1.8), записанную для подвижной системы координат движущейся с ATT:
|
|
|
v = vo + uj х х, |
|
(1.2.22) |
|
так как в этой системе координат vr = 0. Отсюда получим |
|
|||||
1 = |
pv0 dV + |
рил х х dV = mvo + CJ x ^ |
pxdV — |
px0 dV , |
||
v |
|
V |
|
V |
V |
|
к = /9х х |
v dV = |
p x |
x vo dV + |
/9ХХ (CJ X x) (ТИ = |
|
|
У |
У |
|
У |
|
|
|
|
= mxc x VQ + px x |
(w x x) dn + |
yOXQx (cj |
x (x —XQ)) dV, |
||
|
|
|
V |
|
V |
|
|
k = |
px X VQdV + px x (CJ x |
x) dV. |
(1.2.23) |
||
|
|
У |
|
У |
|
|
Используя определения (1.2.15), (1.2.16) центра масс и тензора инерции, а также применяя формулу (1.2.18), находим следующие соотношения, свя зывающие векторы i, k, к с CJ и VQ:
i = mvo + шил x |
(xc —XQ), к = m(xc —XQ) X VQ + I • CJ, |
|
к = mxc x |
VQ + I • CJ + mxo x (CJ x (xc —XQ)) |
(1.2.24) |
(соотношение (1.2.12) очевидно выполняется).
§ 1.2. Законы сохранения и постановки задач для ATT |
25 |
Рассмотрим подвижную систему координат .Моё-, движущуюся |
вместе |
с ATT, в качестве центра вращения (фиксированной точки М$) выберем материальную точку Л4С— центр масс с радиус-вектором хс, т. е. примем
х0 = хс. |
(1.2.25) |
Обозначим такую систему координат М сё[.
В этой системе координат соотношения (1.2.24) имеют более простой вид
i = mvo, k = mxc x VQ + I • cv, k = I - CJ. |
(1.2.26) |
Подставляя формулу Эйлера (1.2.22) в выражение (1.2.14) для силы T Y Z и моментов /xs2>Деъ обусловленных фазовыми превращениями ATT, получаем следующие выражения:
— М VQ dX + Mcj xxdX,
Е Е
—Де2 = |
^Тх х (VQ + uj х х) dX — |
Мх х ve dX, |
|
||
|
Е |
|
|
Е |
|
—/^Е2 —/^Е2 + |
Мх о х (VQ + CJ х х) dX — |
M XQ х ve dX. |
(1.2.27) |
||
Используя обозначения (1.2.19), имеем |
|
|
|||
ZFе2 = ^ v 0 |
vEe + CJ х m E, |
-Д Е2 = rnE x v0 + IE • ^ - |
divMe, |
||
- ^ E 2 = Д е 2 + |
Xo X rn(v0 - |
vEe) + x0 X (ct> x m s ). |
(1.2.28) |
||
Подставляя соотношения (1.2.26) и (1.2.28) в (1.2.6) и (1.2.10), получаем систему уравнений движения ATT для определения двух вектор-функций VQ
и
( (m v0)# = ^ EI |
m (v0 v Ee) - |
CJ x m E + T m, |
(1.2.29) |
|
\ ( I • <*>)* = Де i - |
ш е x v 0 - I E • |
+ m vMe + Дш. |
(1.2.30) |
|
Векторы ^ е ь F m и ДЕ1, |
/1т |
здесь полагают заданными так же, |
как и га, |
|
m E, vMe, vse, I и 1^; все они могут быть функциями времени t. |
|
|||
Добавив к системе (1.2.29), |
(1.2.30) начальные условия |
|
||
t |
= 0: |
v0 = VQ, |
ш = CJ0, |
|
получим задачу движения ATT.
Пример 1.2.1. В качестве примера использования системы (1.2.29), (1.2.30), рассмотрим задачу К. Э. Циолковского о прямолинейном движении по направ лению вектора е без вращения тела с переменной массой, например, идеаль ной ракеты при отсутствии сил сопротивления и массовых сил. В этом случае CJ = 0, Т т = 0. Полагаем, что внешняя поверхностная сила T Y>\ обусловлена
§ 1.2. Законы сохранения и постановки задач для ATT |
27 |
IijU J/j + e i j p L j 'i l \ J l — /4]н + Mmr |
(1.2.35) |
Уравнение движения (1.2.31) обычно рассматривают в базисе ё^ неподвиж ной системы координат:
т£Ь = Ъ |
1+ Г т, |
|
(1.2.36) |
где |
|
|
|
У О * 0 X Q G I , « ^ S l |
S I ^ 5 |
777, |
m S j . |
Система уравнений (1.2.35), (1.2.36) с начальными условиями, например, вида
£ = 0: 4 = ®о, 4 = ^°> «/* = 4» |
(1.2.37) |
представляет собой основную задачу механики ATT с постоянной массой, решением которой являются функции времени XQ(£) и cun(t).
Зная вектор вихря с*;(£), можно найти тензор поворота Q с помощью уравнения (1.1.17). Домножив его на Q, получим уравнение Пуассона:
Q = CJ х |
Q, Q(0) = Е. |
(1.2.38) |
Если обозначить компоненты Q1■тензора поворота в декартовом базисе ё^: |
||
Q = |
|
(1.2.39) |
то из (1.1.3) находим |
|
(1.2.40) |
e' |
= Qjlej . |
|
С помощью этого соотношения определим компоненты вектора вихря CJ в базисе ё^:
u = u ,% = uj,iQiiej . |
(1.2.41) |
Подставляя (1.2.41) и (1.2.39) в (1.2.38), получаем уравнение для компо нент Q1■(,уравнение Пуассона в компонентах):
Q ^ = Qmn Qk3J n8^emkp. |
(1.2.42) |
Определив компоненты Q1■из уравнения (1.2.42), легко найти подвиж ный базис ё- из соотношения (1.2.40). Таким образом, задача нахождения положения ATT в актуальной конфигурации будет полностью решена.
1.2.6. Задача теплопроводности для ATT
Запишем уравнение энергии для ATT, не рассмотренное в п. 1.2.2 в общей системе локальных законов сохранения. Это уравнение (т. 2, (2.12.1) при а = = 4) для ATT имеет вид
°P^ = - V - q + p qm, |
(1.2.43) |
так как для ATT всегда выполняется соотношение
28 |
Глава 1. Абсолютно твердые тела |
|
|
Т • • V (g v T= О, |
(1.2.44) |
поскольку тензор Т симметричный, а V ® v кососимметричный (согласно (1.1.14)).
В силу (1.1.27), плотность внутренней энергии ATT зависит только от температуры, тогда скорость ее изменения можно представить в виде
de |
dO |
(1.2.45) |
|
dt |
dt ’ |
||
|
|||
где |
|
(1.2.46) |
|
с(0) = де(0)/дв |
|||
—теплоемкость ATT, являющаяся, вообще говоря, функцией от в. Проинтегрировав (1.2.45), находим выражение е(в) через с(6):
в
е = е0 + с{в') d6'y |
(1.2.47) |
где eg = const — плотность внутренней энергии ATT при температуре 00Выражение (1.2.47) аналогично выражению для е идеального совершен
ного газа с той лишь разницей, что для газа с — это теплоемкость при постоянном объеме cv. Для ATT теплоемкость только одна.
Подставив (1.2.47) во второе уравнение (1.1.27), полученное соотношение можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение отно сительно ф:
дф |
ф - е о |
1 |
cdd = О, |
(1.2.48) |
Ж |
в |
“Ж |
0о |
|
|
|
|
|
|
интегрируя которое, находим выражение для ф в ATT: |
|
|||
Ф = Фо + с(в') de' - |
в |
|
Фо = И) -Orjo, |
(1.2.49) |
где щ = const — константа интегрирования.
Подставляя (1.2.49) в первое соотношение (1.1.27), приходим к выраже
нию для плотности энтропии ATT: |
|
V = Vo + Ac A ld e '. |
(1.2.50) |
Если подставить выражение (1.2.45) и закон Фурье (1.1.28) в уравнение энергии (1.2.43), то получим уравнение теплопроводности ATT в простран ственном описании, т. е. в /С, или в неподвижной системе координат Оёр
§ 1.2. Законы сохранения и постановки задач для ATT |
29 |
p° f t = V ' (A' v 0 ) + ^ m , х е У , t> 0. |
(1.2.51) |
Уравнение (1.2.51) имеет параболический тип, к нему следует добавить граничные и начальные условия.
В случае отсутствия фазовых превращений в ATT граничные условия следуют из соотношения (т. 2, (4.4.28)) для скачка энергии на поверхности
разрыва и могут быть записаны в виде |
|
n - q = qne, |
(1.2.52) |
где qne — значение нормального теплового потока, которое можно считать заданным (граничное условие второго рода), либо зависящим от температуры, например линейным образом:
п • q = —ат(0 — ве) |
(1.2.53) |
(граничное условие третьего рода), где ве — заданная температура внешней среды; ат — коэффициент теплообмена.
Соотношение (1.2.53) называют законом теплообмена по Ньютону. Пра вую часть его можно рассматривать как аппроксимацию закона Фурье для нормального теплового потока qne.
Часто на поверхности £ твердого тела учитываются поверхностные источ
ники теплообмена С за счет излучения: |
|
П • q = qne - оЩ егЖ - ее6Ае), |
(1.2.54) |
где <т$в — постоянная Стефана — Больцмана; sw и £е — интегральные коэффициенты переноса излучения поверхности £ тела и внешней среды, называемые также степенью черноты.
В качестве граничного условия можно принять и условие гомотермичности поверхности £ (т. 2, (4.6.17)) (граничное условие первого рода):
в = ве, |
(1.2.55) |
где ве — известная температура внешней среды. |
|
Подчеркнем, что на одной и той же части поверхности £ |
задается |
какое-либо одно из соотношений (1.2.52)—(1.2.55). На разных же частях поверхности £ ATT возможны различные граничные условия.
Начальное условие к уравнению (1.2.51) имеет вид |
|
£ = 0: в = в0. |
(1.2.56) |
Уравнение (1.2.51) с условиями (1.2.52)—(1.2.56) называют задачей теп лопроводности для ATT.
Отметим, что, поскольку ATT может совершать жесткие движения, об ласть V решения этой задачи является, вообще говоря, зависящей от време
30 Глава 1. Абсолютно твердые тела
ни t, хотя закон ее изменения во времени полагают известным — определен ным из задачи движения ATT.
Используя соотношения (т. 2, (1.1.23)), (1.1.28) и (1.1.30), осуществим
о
переход из К, в /С:
V • q = V • (Л • V0) = V • Q T• (Q • Л • Q T) в ■V 9 = V • (Л • W ). (1.2.57)
О
Отсюда уравнение теплопроводности в /С, т. е. в подвижной системе коорди нат Оё[, имеет вид
p ^ = A- ( V ■ve) + °p + qm, x e v , t> 0. |
(1.2.58) |
о
Граничные условия (1.2.52) в /С с учетом правила преобразования нормали
п к п (т. 2, (1.2.57)) примут вид |
|
- п - Л - v e = qne. |
(1.2.59) |
Аналогично преобразуются и другие граничные условия (1.2.53), (1.2.54). Условия (1.2.55) и (1.2.56) не изменяют свой вид.
Решением задачи теплопроводности ATT в подвижной системе координат (1.2.58), (1.2.59), (1.2.56) является температура в, зависящая от координат Х г и времени t.
1.2.7. Закон сохранения энергии для ATT
Рассмотрим закон сохранения энергии для ATT в интегральной форме. Этот закон в обозначениях из т. 2, и. 2.4.1 для ATT имеет вид (т. 2, (2.4.3)):
|
dlT |
dl/ |
—т— _т_ |
.Л |
Л |
|
(1.2.60) |
|
~dt |
~^ ~dt |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где К — |
кинетическая |
энергия’, U — внутренняя энергия ATT, которую |
|||||
можно вычислить с учетом выражения (1.2.47) для е: |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
в |
|
|
К = |
и |
°pedV = U0 + U, |
|
d6dV, |
U0 = |
ре0 dV, |
|
v |
v |
|
|
v |
|
v |
|
Wm = |
p f-v d V , WE = |
t n • v dYl, |
Qm — |
pqm dV, |
Qs = |
qe |
|
|
v |
X |
|
У |
|
E |
(1.2.61) |
|
|
|
|
|
|
||
В отличие от законов изменения количества движения и момента ко личества движения, закон сохранения энергии для ATT имеет вспомога тельную роль; его не используют при определении кинематики движения ATT, а температуру в вычисляют по локальному уравнению энергии (1.2.43). С его помощью обычно находят кинетическую или внутреннюю энергию ATT