книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред
.pdf§ 1.2. Законы сохранения и постановки задач для ATT |
31 |
внекоторых специальных задачах, например в задачах соударения ATT.
Вмеханике ATT широко используют теорему 2.4.3 живых сил из т. 2 (см. т. 2, и. 2.4.4), которая в данном случае имеет вид
|
dK /dt = Wm + W ^ |
(1.2.62) |
поскольку, в силу (1.2.44), мощность внутренних массовых сил для ATT |
||
тождественно равна нулю: |
= 0. |
|
Теорема 1.2.1. Если выполнены следующие условия: |
|
|
1)внешние поверхностные силы отсутствуют (tn|s = 0);
2)внешние массовые силы, действующие на ATT, обладают потенциа лом, т. е. существует такая скалярная функция х, что
f = vX; |
(1.2.63) |
3) х не зависит от t, |
|
то уравнение (1.2.45) имеет интеграл |
|
К + П = const, |
(1.2.64) |
где |
|
П = - PXdV |
(1.2.65) |
У
— потенциальная энергия ATT.
Соотношение (1.2.64) называют законом сохранения полной механиче ской энергии К + П. Этот закон фактически является следствием закона изменения количества движения.
▼Используя условие потенциальности (1.2.63) массовой силы, получаем |
|
|||||||
f • v dt = V x • |
dx = |
Y1 • dx = |
—— eJ • dxkep = |
|
|
|
||
Л |
д х 1 |
|
д х ъdxJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= — T T d x j = T X d X 1= dX. |
(1.2.66) |
||||
|
|
|
дХ1dx3 |
дХг |
л |
v |
/ |
|
Последнее равенство записано с учетом того, что х не зависит от t. |
|
|
||||||
Подставляя (1.2.66) в выражение (1.2.61) для Wm, находим |
|
|
|
|||||
|
Wm = |
P° ^ d v = 4 - |
° |
ЛТ Г |
|
(1.2.67) |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
dt |
dt p x d v = - l t ' |
|
|
|
||
уу
Если теперь подставить (1.2.67) в (1.2.62) и учесть, что = 0, то из (1.2.62) действительно получим соотношение (1.2.64). А
Вычитая теорему живых сил (1.2.62) из (1.2.60), получаем уравнение
притока тепла для ATT: |
|
dU/dt = Qm + Q^, |
(1.2.68) |
согласно которому изменить внутреннюю энергию ATT можно только за счет внешних источников тепла.
Г л а в а 2
УПРУГИЕ СРЕДЫ С МАЛЫМИ ДЕФОРМАЦИЯМИ
Начнем более детальное изучение твердых сред не с общей их теории, а с частного случая — с так называемой модели твердых сред с малыми деформациями. Несмотря на достаточно сильные допущения, принимаемые в этой модели, ее приложение очень широко: подавляющее большинство задач механики твердых сред с достаточной точностью можно решить на основе именно модели с малыми деформациями. Это обусловлено тем, что большин ство самих твердых сред, как физических объектов, может деформироваться без разрушения только в области малых деформаций.
§ 2.1. Модели упругих сред с малыми деформациями
2.1.1. Определение малых деформаций
Ранее уже использовалось понятие малости деформаций (см. т. 2, гл. 2), под этим подразумевалась малость относительных удлинений 5а:
6a = ds°-ds« « 1; « = 1 , 2 , 3 , |
(2.1.1) |
dsa |
|
где dsa и dsa — длины элементарных радиус-векторов («материальных воло кон») соответственно в отсчетной и актуальной конфигурациях.
Такое определение хотя и достаточно наглядно, однако не очень удобно для построения полной теории малых деформаций, поэтому дадим еще одно определение, эквивалентное (2.1.1).
Определение 2.1.1. Будем говорить, что рассматривается модель твер
дой среды с м а л ы м и д е ф о р м а ц и я м и , |
если при переходе из конфигу- |
|
о |
|
|
рации 1C в 1C выполняется условие |
|
|
F = Е + AF VJTeVx, |
| | A F | | < 1 , |
(2.1.2) |
для всякой материальной точки М сплошной среды.
В формуле (2.1.2) || AF || — скалярная норма компонент градиента дефор мации, которая определяется, например, следующим образом:
§ 2.1. Модели упругих сред с малыми деформациями |
35 |
AF |
max |
|
(2.1.3) |
|
|
xieVx |
|
|
|
где компоненты тензоров F и AF определяются в декартовом базисе е^: |
||||
F = ^ e i 0 e j , |
A F = |
J |
(2.1.4) |
|
OXJ |
|
\ OXJ |
|
|
Пример 2.1.1. В задаче о растяжении бруса |
(см. т. 1, упр. 4 к § 2.2 и т. 2, |
|||
пример 1.1.1) условие (2.1.1) означает, что |
|
|
||
|
|
з |
|
|
AF = F —Е = |
—1)еа 0 еа, |
(2.1.5) |
||
и должно выполняться условие |
а = \ |
|
|
|
|
|
|
||
|
max |
\ка — 11 |
0, |
(2.1.5а) |
|
а=1,2,3 |
|
|
|
т. е. коэффициенты пропорциональности удлинения к должны |
мало от |
|||
личаться от 1. Поскольку в данной задаче имеет место однородное со
стояние (т. е. деформации и напряжения не зависят |
от координат), то |
|
ка = ha/h a = dsa/dsa, и условие (2.1.1), очевидно, также выполняется. |
||
Иначе говоря, из условия малости деформаций (2.1.2) |
следует, что отно- |
|
о |
о |
о |
сительные размеры бруса (ha — ha)/h a при переходе из конфигурации /С в /С изменяются пренебрежимо мало. □
Для большинства реальных твердых сред максимально возможные отно сительные удлинения 5*, при которых не происходит разрушение, составляют
примерно 1... 3 %, т. е. |
|
|
max \5а\ ^ |
~ 0,03 |
1. |
Исключение составляют особые случаи твердых сред: каучуки, синте тические резины, некоторые полимеры, пластические и сверхпластические металлы и некоторые другие, для которых 5* может составлять 20... 50 %, а иногда и 100 % и даже несколько тысяч процентов (10-кратные удлинения). Для этих материалов теория малых деформаций может оказаться не примени мой, для них используют общую теорию произвольных конечных деформаций (см. гл. 3).
2.1.2. Случай жестких движений
о
Если твердое тело при переходе из конфигурации /С в /С совершает только жесткое движение, то, согласно формуле (т. 2, (3.10.4)), закон движения
материальных точек имеет вид |
|
х(Х г, t) = x0(t) + a (t) + (х(Хг) - x0(f)) • Q (t), |
(2.1.6) |
36 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
а соответствующий градиент деформации совпадает с тензором поворота:
F = п сх) г* = |
® р = Q T. <g>Р = Q T, |
(2.1.6а) |
дХг
где а — вектор параллельного переноса; XQ — радиус-вектор центра поворота. Подставляя (2.1.6а) в (2.1.2), получаем, что для выполнения условия ма лости деформаций при жестких движениях необходимо и достаточно, чтобы
повороты были малы, т. е.
|| Q - E ||< 1. |
(2.1.7) |
Параллельный перенос сплошной среды на произвольный вектор а, оче видно, удовлетворяет условию (2.1.2) малости деформаций.
Замечание 2.1.1. Хотя параллельный перенос удовлетворяет условию (2.1.2), однако очень часто его исключают из рассмотрения, поскольку, очевидно, что на тензор F, а также на тензоры деформации и напряжений он не влияет. В этом случае обычно говорят, что рассматриваются малые деформации «с точностью до параллельного переноса». □ Замечание 2.1.2. Углы поворота твердого тела как жесткого целого, согласно
условию (2.1.7), при малых деформациях должны быть малы. Это требование является более сильным, чем (2.1.1), поскольку при повороте тела как жест кого целого расстояния между материальными точками не изменяются, т. е. dsa = dsa и условие (2.1.1) всегда выполняется — тем самым допускаются повороты на любые углы. □
2.1.3. Следствие из допущения о малости деформаций
Поскольку градиент деформации F мало отличается от единичного тен зора, то при малых деформациях можно провести линеаризацию всех соот ношений МСС, пренебрегая квадратами тензора A F T• AF по сравнению с AF и тензором AF по сравнению с Е. Отметим, что если в соотношениях участвует тензор AF, а не (Е + AF), то пренебречь им уже нельзя.
Проведя такую линеаризацию, с учетом замечаний 2.1.1 и 2.1.2 из п. 2.1.2 в теории малых деформаций делают следующие предположения.
о |
и вместо /С можно использовать |
|
А. Конфигурации /С и /С неразличимы, |
||
о |
|
|
известную начальную конфигурацию /С. |
о |
|
Б. Координаты материальной точки М |
||
в JC и JC считают совпадающими |
||
х & х, |
(2.1.8) |
(лагранжевы Х г, очевидно, могут не совпадать с хг и хг), поэтому все векторы
локальных базисов гц и iц, а также гг и гг попарно неразличимы; при этом
о
ковариантные производные в /С и /С также совпадают
V (8) а ^ V (8) а. |
(2.1.8а) |
§ 2.1. Модели упругих сред с малыми деформациями |
37 |
В. Вектор перемещений и теряет свой физический смысл разности ради ус-векторов х и х и становится просто независимой функцией (физическая
о
трактовка соотношения х = х + и «возвращается» только после того, как найден вектор и из решения задачи механики). Тогда для градиента вектора перемещений из формул (2.1.2) и (т. 2, (1.2.10)) имеем
V(g)u = F T- E = A F T, |
|
|||
V(g>u = Е —F “ lT = Е - ( Е - A F T) = A F T= V (g>u, |
(2.1.9) |
|||
следовательно, |
|
|
|
|
|| V<g>u ||= || A F T ||< |
1 |
(2.1.10) |
||
ИЛИ |
3 |
|
|
|
max ($ 3 W |
/ d X3 < |
1. |
(2.1.10а) |
|
X3^vx |
\ j=l 1 |
|
|
|
Отметим, что из (2.1.2) следует |
|
|
|
|
|
F -1 = Е —AF. |
|
(2.1.11) |
|
|
|
О |
|
|
Г. Метрические матрицы в конфигурациях JC и JC неразличимы: |
|
|||
9ц * к р |
gi j *°gij, |
|
(2.1.12) |
|
|
|
о |
|
|
поэтому изменение объема при переходе из /С в /С является малым:
g = det (gij) « g = det (<Щ |
(2.1.13) |
Д. Тензоры искажений U и V и тензор поворота О, сопровождающий деформацию, на основании (2.1.2) и замечания 2.1.2 из п. 2.1.2, также лине аризуются для случая малых деформаций:
U = Е + AU, |
V = Е + AV, |
О = |
Е + АО, |
(2.1.14) |
||AU ||< 1, |
|| AV ||< 1, |
|| АО |
||< 1. |
|
Подставляя (2.1.14) и (2.1.2) в полярное разложение (т. 2, (1.3.1)), нахо дим связь AF, AU, AV и АО:
F = О • U « Е + AF Щ Е + АО) • (Е + AU) и Е + АО + AU,
отсюда
AF = АО + AU.
Аналогично получаем
AF = АО + AV,
т. е. AU и AV совпадают:
AU = AV.
Если подставить представление (2.1.2) в определения тензоров U и О (см. т. 2, и. 1.3.1), получим
38 |
|
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
|
||
|
U 2 = F T• F « Е + AF + A F T= Е + 2AU, |
|
|||
отсюда находим |
|
|
|
|
|
AU = AV = ^(A F + A F T) = i(V ® u + V ® и 1 |
(2.1.14а) |
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
АО = AF - |
AU = ^(A F - |
A F T) = i(V ® u - |
V ® u T). |
(2.1.146) |
|
|
|
|
(n) |
(n) |
|
Все тензоры деформации А, Л, С и J, а также С |
и А совпадают: |
||||
А = ^(Е —F -1 т • F -1) = i ( Е - |
( Е - A F“ lT) • (Е —A F -1)) = |
|
|||
= ^ (Е - |
(Е - |
V ® и т) • (Е - |
V ® u)) « ^ (V ® и + (V ® и)т) , |
(2.1.15) |
|
J = ^ ( - E |
+ F - F T) = С - Е + (Е + V(x)uT) • (Е + V ® и)) « |
|
|||
|
|
|
(V ® и + (V <8>и)т), |
(2.1.16) |
|
С = ^ (F T• F - Е) = i (( E + V ® и) • (Е + V ® и т) - Е) |
|
||||
|
|
|
^ ( V ® u + ( V c x ) u )т), |
(2.1.17) |
|
Л = ^(Е —F -1 • F _1 т) = i ( E - |
(Е + Vex) и т) • (Е + V ® и)) « |
|
|||
|
|
|
» ^ ( V ® u + ( V c x ) u ) T), |
(2.1.18) |
|
т. е. пренебрегая квадратами V u T• V u по сравнению c V ® u , получаем
(п) |
(п) |
(2.1.19) |
е = А = Л = С = J = С = |
А, п = 1........ V, |
|
где |
|
|
£ = ^(VtXiu + ViXiu1 |
(2. 1.20) |
|
Тензор е называют тензором малых деформаций, а соотношения (2.1.20) — соотношениями Коши.
Е. Тензоры напряжений Коши Т и Пиолы — Кирхгофа Р и П неразличи мы (т. е. совпадают с точностью до малых в смысле нормы (2.1.3) величин):
Т = у 9/ 9 F Р ^ Р , Т = у g/g F • П • F 1 П.
Аналогично все энергетические и квазиэнергетические тензоры напря жений совпадают, т. е.
(п)(п)
Т = Т = S = р = п = сг. |
(2.1.21) |
§ 2.1. Модели упругих сред с малыми деформациями |
39 |
Симметричный тензор напряжений а в теории малых деформаций ис пользуют вместо Т и Р.
В силу (2.1.14), поворотный тензор напряжений S (т. 2, (3.2.51)) явля
ется нулевым: |
|
S « i(T - Т) • О = 0. |
(2.1.22) |
О
Ж. Поскольку конфигурации JCи JCнеразличимы, то совпадают и скорост |
|||
ей |
|
|
|
ные характеристики в JC и /С, т. е. конвективной производной пренебрегают, |
|||
а полная производная по времени совпадает с частной: |
|
||
da. да |
_ |
да |
1 |
~Ж = a |
+ v ' v |
® a M a " |
(2Л-23) |
В частности, из (2.1.23) следует, что векторы скорости и перемещений в
случае малых деформаций связаны линейным соотношением |
|
du/dt = du/dt = v. |
(2.1.24) |
Плотность р при малых деформациях изменяется мало. Действительно, используя уравнение неразрывности (т. 2, (2.1.17)), имеем
-^ = —V • v. (2.1.25)
рdt
Сучетом (2.1.22) и (2.1.23) преобразуем это уравнение следующим обра-
зом: |
я |
л |
л |
(2.1.26) |
|
- l „ „ = - V . v |
= - s |
( V ® u ■■Е) = - - Ы С), |
где 1\(е) = е • • Е — первый инвариант тензора е. Интегрируя (2.1.26), полу чаем
In (p/°p) = - I l(e). |
(2.1.27) |
Поскольку значение life) является малым, можно линеаризовать соотноше ние (2.1.27):
р/р = exp (-Ji(e)) и 1 - Ii(e). |
(2.1.28) |
Отсюда находим, что относительное изменение плотности действительно ма ло:
Ар = 1 - (р/р) « I x(е) < 1 |
(2.1.28а) |
всилу малости деформаций е.
2.1А. Законы сохранения при малых деформациях
Сучетом допущений А — Ж системы универсальных законов сохранения
(т. 2, (2.12.1) и (2.12.8)) в пространственном (эйлеровом) и материальном (.лагранжевом) описаниях совпадают и имеют вид
40 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями
дАа |
V . В , + р с ( |
(2.1.29) |
Р dt |
Обобщенные векторы при малых деформациях можно записать следую щим образом:
1 ^ |
|
|
( |
|
° |
) |
( |
° |
\ |
V |
|
|
|
|
а |
|
|
f |
|
е + Л /2 |
> B Q; |
-- |
|
сг - v —q |
, c Q = |
|
f • v + qm |
(2.1.30) |
|
1? |
|
|
—q / в |
|
{Ят + Q*)/6 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
и |
|
|
|
|
0 |
|
|
V |
|
A F T / |
|
|
у pF ® v у |
V |
0 |
/ |
|||
Здесь использовано свойство (2.1.23), а также соотношения |
|
||||||||
|
д¥ _ |
дА¥ |
р ¥ т0 v = рЕ 0 v, |
(2.1.31) |
|||||
|
~dt ~ |
|
dt |
|
|||||
|
|
|
’ |
|
|
|
|
||
справедливые при малых деформациях.
Поскольку при малых деформациях плотность р не входит в основную систему (2.1.29), a A F Tтривиально выражается через градиент перемещений (см. (2.1.9)):
A F T= V ® и,
то уравнения при а = 1 и а = 6 в (2.1.29) из рассмотрения можно исключить. Уравнение (2.1.29) при а = 6 является очевидным следствием кинемати
ческого уравнения (2.1.29) при а = 5: |
|
|
|
|
||
о дА ¥Т о д |
о |
/° |
ч |
о |
. |
|
р ^ |
= р —V ® u = pV(g)v = V - (рЕ ® v) |
= р V ® v. |
(2.1.32) |
|||
Таким образом, система (2.1.29) при малых деформациях фактически состоит из восьми скалярных уравнений относительно 19 (а не 29 как при произвольных конечных деформациях) неизвестных:
u, v, сг, е, у, в, q и q*. |
(2.1.33) |
Решив систему (2.1.29), изменение плотности Ар (и саму плотность р) вычисляют с помощью уравнения (2.1.28).
2.1.5. Общий вид определяющих соотношений твердых сред
с малыми деформациями
Процедура замыкания системы уравнений (2.1.29) аналогична той, ко торая была проделана для общего случая конечных деформаций (см. т. 2, гл. 3). На основе уравнений термодинамики (2.1.29) при а = 3 и 4 получаем
основное термодинамическое тождество в ^-форме — аналог ОТТ (т. 2, (3.3.14а) и (3.3.19)):