книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред
.pdf§ 2.1. Модели упругих сред с малыми деформациями |
41 |
Здесь использованы теорема живых сил, вытекающая из (2.1.29) при а = 2:
^ s ( i r ) = v ' v -'T + ? f ' v ' |
(2Х35> |
определение функции диссипации энергии (т. 2, (2.5.14)): |
|
w* = p° q * + S x Z l ^ o |
(2.1.36) |
U |
|
иопределение свободной энергии Гельмгольца (т. 2, (3.3.12)).
Вслучае малых деформаций мощность внутренних напряжений (т. 2, (3.2.1)) принимает следующий вид:
= (7 • • V (g) V = <7 • • |
(g) U = (7 • • |
(2.1.37) |
Это выражение одинаково для всех форм Ап и Сп, поскольку все энергети ческие и квазиэнергетические тензоры совпадают. Следовательно, при малых деформациях все формы Ап и Сп для ОТТ (т. 2, (3.3.15) и (3.3.17)) также совпадают между собой и имеют вид (2.1.34).
Применяя принцип термодинамически согласованного детерминизма
(см. т. 2, п. 3.4.2) для малых деформаций, введем активные и реактивные переменные Л и 7Z аналогично формулам (т. 2, (3.4.1) и (3.4.2)):
К = {6, е}, А = {ф, г/, а /p, w*/р}, (2.1.38)
тогда, согласно этому принципу и ОТТ в форме (2.1.34), получаем следующие определяющие соотношения, являющиеся аналогом (т. 2, (3.4.11)):
ф = |
ф (в, |
0), |
(2.1.39а) |
||
у |
= |
rj |
(в, |
0), |
(2.1.396) |
' а |
= £ |
(е, |
в), |
(2.1.39в) |
|
w* = iv* (в, 0). |
(2.1.39г) |
||||
Поскольку плотность р является константой, то ее всегда можно включить в структуру операторов .Т7 и гс*.
Соотношения (2.1.39а)-(2.1.39г), согласно принципу термодинамически согласованного детерминизма, должны удовлетворять ОТТ (2.1.34).
Если твердая среда с малыми деформациями идеальная (см. т. 2, п. 3.5.2), то операторы в (2.1.39) являются просто функциями указанных аргументов. Тогда, как было показано в т. 2, п. 3.5.2, модель твердой среды (для всех форм Ап и Сп совпадающая и поэтому называемая ф-моделью) задается только
одной скалярной функцией |
|
ф = ф(е, в), |
(2.1.40а) |
а остальные определяющие соотношения образуются с помощью производных этой функции:
42 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
|
|
|
' а |
= Т{е, в) = р (дф/де), |
(2.1.406) |
|
< г] = -{дф /дв), |
(2.1.40в) |
|
|
х |
= 0. |
(2.1.40г) |
Поскольку плотность при малых деформациях является константой, то
тензор Т всегда обладает потенциалом Ф = р ф: |
|
T ie , в) = <9Ф(в,в)/де. |
(2.1.40д) |
Функция рассеивания гс* идеальных твердых сред всегда тождественно
равна нулю. |
|
|
Законы Фурье (т. 2, (3.12.7) и |
(3.12.9)) |
для твердых сред с малыми |
|
|
о |
деформациями совпадают и имеют вид, общий для конфигураций /С и /С: |
||
q = |
-Л • V0. |
(2.1.41) |
2.1.6. Q-модель твердых сред
Для твердых сред с малыми деформациями используют еще одну фор му определяющих соотношений, называемую Q-моделъю, соответствующую
совпадающим между собой |
моделям Ап, Сп, |
Вп и Dn |
и являющуюся |
|||
в определенном смысле обратной к ^-модели. |
|
|
||||
Введем для этой модели свободную энергию Гиббса (см. т. 2, (3.3.28)), |
||||||
которая в случае малых деформаций имеет вид |
|
|
||||
|
|
С = |
Ф - |
{а-/°р) ■ • в |
|
(2.1.42) |
и удовлетворяет ОТТ в £-форме: |
|
|
|
|
||
о |
cLC |
о |
dQ |
da |
|
/r\i/io\ |
l>^ |
+ m d t + s " H t + w |
|
<2Х43> |
|||
Введя активные и реактивные переменные, согласованные с (2.1.42): |
||||||
71= {в, сг/р}, |
|
Л = {С, г), |
е, w*/p}, |
(2.1.44) |
||
в соответствии с принципом термодинамически согласованного детерминизма, получаем следующие определяющие соотношения:
'С = С («т. В), |
(2.1.45а) |
r) = rj(er, в), |
(2.1.456) |
е = П((г,6), |
(2.1.45B) |
w* = w*(cr, в), |
(2.1.45г) |
на которые накладываем требование согласованности с ОТТ (2.1.43).
Если твердая среда идеальная, то операторы в (2.1.44) являются просто функциями и ^-модель определяющих соотношений задают одной скалярной
§ 2.1. Модели упругих сред с малыми деформациями |
43 |
функцией — потенциалом |
|
С = С(сг, в), |
(2.1.46) |
а остальные соотношения в (2.1.44) записывают следующим образом:
г£ = П(<т, в) = |
- р ( д С / д а ) , |
<г] = —д ( /д в , |
(2.1.47) |
= 0. |
|
Тензор П для идеальных сред всегда обладает потенциалом Z — —р(:
П(<т, в) = dZ/da. |
(2.1.48) |
Замечание 2.1.3. Для линейных моделей твердых сред с малыми деформаци ями, в которых определяющие соотношения (2.1.39в) или (2.1.45в) являются линейными операторами (см. т. 1, и. 1.1.6), удобно использовать одновремен но ^-модели и ("-модели. При этом соотношения (2.1.39в) и (2.1.45в) являются взаимнообратными, т. е.
<г = Г (П (< г, в), в) |
|
и |
|
ё = П (^(е, в), в). □ |
(2.1.49) |
2.1.7. Модель несжимаемых твердых сред с малыми деформациями
В общей теории твердых сред с произвольными конечными деформациями как особый случай была рассмотрена модель несжимаемых сред (см. т. 2, § 3.9), которая была определена как среда с неизменяющейся плотностью:
р = р = const Vi ^ 0. |
(2.1.50) |
Напомним, что для твердых сжимаемых сред с малыми деформациями плотности р и р хотя и близки, но тем не менее не совпадают. В силу (2.1.28а) имеем
Ap = h(s), |
(2.1.51) |
где Ар = ( р - р)/р.
Для несжимаемых твердых сред с малыми деформациями Ар = 0, тогда
из (2.1.51) получаем |
|
Д(в) = £•• Е = 0, |
(2.1.52) |
т. е. тензор малых деформаций уже не произволен, а удовлетворяет соотно шению (2.1.52). Иначе говоря, он имеет только пять независимых компонент. Следовательно, при выводе определяющих соотношений в ОТТ (2.1.34) уже нельзя полагать приращения de независимыми, а значит, и соотношения (2.1.40) уже не имеют места.
44 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
Для построения определяющих соотношений несжимаемых сред, подобно тому, как это было сделано в т. 2, п. 3.9.3, используем метод неопределенных множителей Лагранжа. Рассмотрим скалярную функцию (2.1.52) и найдем ее производную:
dt Ш = Е -. |
(2.1.53) |
Введем неопределенный множитель Лагранжа р и добавим в ОТТ
(2.1.34) нулевое слагаемое {—p(dl\/dt))\ |
|
|
|
|
||
о йф |
о dO |
de |
dl\ |
* |
~ |
(2.1.54) |
РЛ - + |
Р Г \ - Г - С Т " |
- Г - р-г- + |
W* = |
0. |
||
dt |
dt |
dt |
dt |
|
|
|
Рассмотрев ^-модель твердой среды, в которой свободная энергия имеет
вид (2.1.40а), из (2.1.54) и (2.1.40а) получим |
|
|
|
~дф |
de о ( дф |
\ dO |
* п |
Р - - Г - Р Е |
|
|
(2.1.55) |
После введения неопределенного множителя приращения de можно счи тать независимыми, тогда из (2.1.55) получаем следующую систему опреде ляющих соотношений для идеальной несжимаемой среды с малыми деформа
циями:
сг = —_рЕ + р(дф/де),
Ii(e) = 0, |
(2.1.56) |
prj = —дф/дв, |
w* = 0. |
Для таких сред появляется дополнительное соотношение (2.1.52) и еще одно неизвестное р, называемое в теории твердых сред гидростатическим напряжением.
2.1.8. Замкнутая система уравнений для твердых сред
смалыми деформациями
Сучетом определяющих соотношений (2.1.39) и (2.1.40), а также соотно шений Коши (2.1.20), система уравнений (2.1.29) при а = 2, 4 и 5 является замкнутой относительно переменных (2.1.33) и имеет следующий вид:
р (dv/dt) = V • сг + pf,
Р 0 (dp/dt) = - V • q + p q m + w*, ди/d t = v,
& II 1 > |
<1 |
|
а = <т(е, в), |
||
г] = rj(e, |
|
в), |
w* = w*(e, |
в), |
|
(2.1.57а)
(2.1.576)
(2.1.57B)
(2.1.57г)
(2.1.57д)
(2.1.57е)
(2.1.57ж)
§ 2.1. Модели упругих сред с малыми деформациями |
45 |
в = (l/2)(V<g>u + V ^ u T). |
(2.1.57з) |
Действительно, система (2.1.57а-з) содержит 3 + 1 + 3 + 3 + 6 + 1 + 1 + + 6 = 24 скалярных уравнения относительно 24 скалярных неизвестных (3 +
+ 3 + 6 + 6 + 1 + 1 + 1 + 3 = 24): |
|
u, v, сг, в, г/, 0, w*, q. |
(2.1.58) |
Оставшуюся в системе (2.1.33) функцию е находим из соотношения (т. 2,
(3.3.12)): |
|
е = ф(е9 в) + ву(е, в). |
(2.1.59) |
Внутренняя энергия е не входит в систему (2.1.57) и может не при влекаться для ее решения. Отметим, что уравнение энергии (2.1.30) при се = 3 не используется явно в системе (2.1.57), но фактически оно заменяется системой определяющих соотношений (2.1.39), на которые наложено требо вание удовлетворения ОТТ (2.1.34) (а ОТТ является следствием законов термодинамики (2.1.30), а = 3,4).
Следует отметить, что вместо уравнения изменения энтропии (2.1.576) (или (2.1.30) при а = 4) можно было бы использовать уравнение энергии (2.1.30) при а = 3, как это обычно делается для жидкостей и газов (см. т. 3, § 1.1). Однако для твердых сред с малыми деформациями удобнее применять именно уравнение (2.1.576).
Указанное выше число уравнений и неизвестных в системе (2.1.57) мо жет быть значительно сокращено, если подставить закон Фурье (2.1.57г) и соотношения (2.1.57е), (2.1.57ж) для у и в уравнение изменения энтропии (2.1.576), а соотношение (2.1.57д) и уравнение (2.1.57в) — в уравнение дви жения (2.1.57а), а также вместо е во всех этих соотношениях использовать градиент V С) и согласно (2.1.57з):
(р (d2u /d t2) = |
V • <x(V С) и, в) + р f , |
|
(2.1.60) |
|
{ p ^ r K V O ii, |
0) = V - ( * - V 0 ) |
+ t»*(V ® и> |
e) + °pqm. |
(2.1.61) |
Таким образом, получаем систему |
из четырех |
скалярных соотношений |
||
относительно четырех скалярных неизвестных: |
|
|
||
|
и, в || |
х , t. |
|
(2.1.62) |
2.1.9.Соотношения на поверхности разрыва твердых сред
смалыми деформациями
о
Система уравнений (2.1.57) имеет место в области V = V в конфигурации
о |
о |
о |
JC в том случае, если V не содержит поверхности разрыва S(t) = S(t). Если такая поверхность S(t) существует, то на ней следует записать соответству
46 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
ющие |
соотношения для скачков функций (см. т. 2, § 4.4). Покажем, какой |
вид имеют соотношения (т. 2, (4.4.17) и (4.4.19)-(4.4.24)) в случае, когда по обе стороны от поверхности разрыва S(t) находятся твердые среды с малыми деформациями (вообще говоря, различные).
Поскольку при малых деформациях конфигурации /С и /С не различаются, то из формул (т. 2, (4.4.17)) с учетом допущений А — Ж получаем
Q |
° |
> |
ь II о |
|
М [v] + П • [о-] + С*2Е = 0,
М[е + V2/2] + п • [а ■v —q] + C3S = 0,
M[i]\ - n • [q/0] = С4е = 0,
M[u] + C5s = 0,
kM [A FT] + n ® [pv] + Cgs = 0.
(2.1.63a)
(2.1.636)
(2.1.63B)
(2.1.63r)
(2. 1.63д)
(2.1.63e)
Здесь n = п — вектор нормали к поверхности разрыва S(t).
Если использовать соотношения (т. 2, (4.4.19)-(4.4.24)), то, пренебрегая конвективными членами v - n в уравнении (т. 2, (4.4.19)) и применяя допу
щения А — Ж, вновь приходим к системе (2.1.63а-е). |
|
|
|||
Используя выражение (2.1.9) для тензора |
A F T = V (8) и, |
из |
формулы |
||
(2.1.63е) получаем |
о |
о |
|
|
|
|
M[V ® u] + n ® [pv] + Сб£ = 0. |
|
(2.1.64а) |
||
С учетом соотношений Коши (2.1.20), симметризуя (2.1.63е), находим |
|||||
Ще\ + ^(n® |
[р v] + [р v] <g>n) + ^(С 6Е + C6TS) = 0. |
|
(2.1.646) |
||
Уравнение (2.1.63г) |
можно исключить из |
общей системы, |
так |
как его |
|
обычно используют |
для определения скачка |
|
|
о |
|
производства энтропии |
|||||
о
или скорости М, если поверхность S(t) является поверхностью фазового превращения (см. т. 2, и. 4.7.9; в этом случае определяющие соотношения (2.1.57г)-(2.1.57з) различны по обе стороны поверхности S{t)).
Например, если поверхность S(t) является гомотермической, т. е. скачок температуры на ней равен нулю: [в] = 0, то, записывая общие уравнения термодинамического равновесия на поверхности раздела (т. 2, (4.7.76)), для случая малых деформаций получаем
['Ф} - [°п/р\ = Сф, |
(2.1.65) |
Сф = С4Е —CnE{ 1 / р}, |
(2. 1.66) |
где С у = в С ^ / М ; (7пе = С2Е • п.
§ 2.1. Модели упругих сред с малыми деформациями |
47 |
Это соотношение можно получить непосредственно из соотношений (2.1.63в)-(2.1.63г) способом, изложенным в т. 2, § 4.7 (см. упр. 1 к § 2.1), где
ап = п • ст• п — нормальное напряжение.
Выражая из (2.1.65) одно из нормальных напряжений, находим аналог
соотношений |
(т. 2, (4.7.83)): |
|
|
|
Сп+ = ®пОп-, P+, Р-, |
0, е+, е_). |
(2.1.67) |
Здесь учтено, что ф является оператором вида (2.1.39). |
|
||
Умножив |
соотношение (2.1.64) слева и |
справа на п |
(рассмотрим для |
|
о |
|
|
простоты случай, когда Сes = 0), получим |
|
|
|
|
[vn\ + Ь[еп\ = |
0, |
(2.1.68) |
где vn = v • n; еп = п • в • п.
Если умножить соотношение (2.1.636) на п справа, то получим уравнение,
связывающее скачки vn и ап: |
|
°Р+ЪЫ + Ы = 0 |
(2.1.69) |
о |
|
При С2£ = 0. |
|
Из (2.1.68) и (2.1.69) находим соотношение между скачками нормальных
напряжений и деформаций: |
|
[ап] = р+Ь 2[£п]. |
(2.1.70) |
Подставляя (2.1.67) в (2.1.70), получаем выражение для скорости фазо вого превращения:
еЯ = -—-— (Фп (ап- , р+, р-, в, е + , £ - ) - ап- ) , |
(2.1.71) |
Р+1£п\
являющееся аналогом выражения (т. 2, (4.7.84)).
Если поверхность S(t) является поверхностью ударной волны (т. е. опре
деляющие соотношения (2.1.57г)-(2.1.57з) по обе стороны от S(t) — одни и
о
те же, а М Ф 0), когерентной и на ней нет сингулярных смещений (см. т. 2, п. 4.6.2), то Css = 0 и Сб£ = 0. Тогда из (2.1.63) и (2.1.64) получаем
'Й |
= °. |
|
РD [v] + п • [<т] + С2Е = 0, |
|
|
< °pD [е + (Л/2)] + п • [сг • v —q] + С^т, = 0, |
(2.1.72) |
|
[и] |
= 0, |
|
О |
|
|
D[V ® и] + n ® [v] = 0.
Ум нож ив последнее уравнение в (2.1.72) скалярно на п , находим выраже
ние для скачка вектора скорости (аналог формулы т. 2, (4.7.20) для малых
48 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
|
деформаций): |
0 |
|
|
[v] = -£>n- [V<g>u]. |
(2.1.72а) |
Подставляя это выражение во второе соотношение (2.1.72), получаем выраже ние для скачка вектора напряжений (аналог формулы т. 2, (4.7.24) для малых
деформаций): |
0 |
|
п • [а] = |
°pD2п • [V (8) и]. |
(2.1.726) |
Наконец, если поверхность S является поверхностью контакта (т. е.
о
определяющие соотношения различны по обе стороны от S и М = 0 (см. т. 2, п. 4.1.2)), тогда из (2.1.63) имеем
' Й |
Ф 0, ^ |
(2.1.73а) |
п • |
[сг] + С2е = о, |
(2.1.736) |
—п • [q] + п • [<т• v] + СзЕ = 0, |
(2.1.73в) |
|
п®[°рлг] + Сю = 0. |
(2.1.73г) |
|
В частности, если |
поверхность S(t) — гомотермическая, |
когерентная |
О |
|
О |
(Сб£ = 0) и поверхностными эффектами можно пренебречь (т. е. Cyz — 0,
о
С зе = 0), то из (2.1.73) получаем
V [ < T] = 0, |
(2.1.74а) |
п • [q] = 0, |
(2.1.746) |
[и] = 0, |
(2.1.74B) |
J 0 ] = O . |
(2.1.74г) |
Условие непрерывности вектора перемещений является следствием допу щения о когерентности поверхности S (см. т. 2, п. 4.6.2).
Отметим, что поскольку для рассматриваемого случая поверхность S
О
является неподвижной (D = 0) и в рамках малых деформаций S может
о
изменить положение только из-за собственного движения в конфигурации /С, но не за счет перемещения материальных точек поверхности, то из условия (2.1.74г) следует, что
[v] = 0 . |
(2.1.74д) |
Это условие можно присоединить к системе соотношений (2.1.74а-г) вместо (2.1.74г).
Условия (2.1.74а-г) называют условиями идеального контакта двух твердых тел с малыми деформациями.
Если поверхность S является поверхностью неидеального контакта (некогерентной), то систему (2.1.73) дополняют соотношениями, которые конкретизируют тот или иной тип неидеальности контакта. Например, для
§ 2.1. Модели упругих сред с малыми деформациями |
49 |
гомотермической поверхности S с идеальным скольжением соотношения для скачков функций имеют вид
[и] • п = 0 |
или |
[vn\ = 0, |
(2.1.75а) |
||
[o-n] = 0, |
|
|
|
(2.1.756) |
|
аТ1± = 0, |
/ = 1,2, |
|
(2.1.75в) |
||
Ы |
= о. |
|
|
|
(2.1.75г) |
[ 0 ] |
= о- |
|
|
|
(2.1.75д) |
|
|
|
|
||
Здесь использовано представление вектора напряжений t n = п • а |
на поверх |
||||
ности S: |
|
|
|
2 |
|
|
t n = |
п • а = |
апп + ^ с г Т/т/, |
(2.1.76) |
|
где |
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
(2.1.77) |
|
|
<7Т/ = |
П • (7 • Т /, |
<ТП = П • (7 • П. |
||
Условия (2.1.75а) и (2.1.75в) являются дополнительными и вводятся «ис
кусственно», конкретизируя тип поверхности разрыва. Оставшееся условие
о
(2.1.73в) служит для определения функции CQ
2.1.10. Граничные условия для твердых сред с малыми деформациями
Пусть все параметры, относящиеся к области V\, являющейся внешней по отношению к рассматриваемой области V2 , известны и требуется найти решение системы уравнений (2.1.60), (2.1.61) только в области V2 . В этом случае соотношения (2.1.63) или (2.1.73а-г), или (2.1.74а-г) служат источ ником получения граничных условий на поверхности £(£) области V2 .
Рассмотрим основные типы граничных условий для твердых сред с малы ми деформациями.
А. Пусть поверхность £ является подвижной (т. е. это поверхность фазо вого превращения), а внешнее тело В\ — твердым, тогда из системы (2.1.63), (2.1.64) получаем следующие граничные условия на £:
°р2 D [v] + П • [о-] + С2Е = о,
°р2 D [е + v2/2] + п • [а ■v —q] + C3S = 0, |
(2.1.78) |
где [v] = vi —V2 и т. д.; функции с индексом «2» соответствуют рассмат риваемой области V2 , а с индексом «1» полагаем известными. Оставшиеся соотношения (2.1.63г), (2.1.63д) и (2.1.64) не участвуют в формулировке граничных условий (напомним, что число граничных условий для задач механики определяется математическим типом системы уравнений (2.1.60), (2.1.61) и не может быть произвольным), они только налагают определенные
50 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
о
ограничения на значения функций во внешней области V\ — на ui, е\ и С ^ .
о |
о |
о |
Функции С |
|
и скорость D полагаем известными. |
Если внешнее тело В2 — идеальная жидкость, то, исходя из системы соотношений (т. 2, (4.5.156), (4.5.15в)) на поверхности разрыва твердого тела и жидкости, и учитывая, что для малых деформаций Т 2 = <Т2, снова приходим к соотношениям (2.1.78), в которых условно можно обозначить сг\ = —piE.
Отметим, что если тело В2 — жидкость, то из формулы (т. 2, (4.4.19))
имеем О ^ ^
Р2 D = PliD - vn\).
т. е. плотности р2 и р\, вообще говоря, различны, а если В2 — твердое тело, то из (2.1.63а) следует, что р2 = , т. е. плотности совпадают.
Граничные условия (2.1.78) применяют при решении задач испарения твердых тел под действием мощного излучения, плавления, кристаллизации, перекристаллизации (фазовое превращение из одного твердого состояния в другое) и др.
Б. Если поверхность Е является неподвижной, гомотермической и коге рентной, то из системы (2.1.74а-г) получаем следующие граничные условия для области V2 :
(2.1.79)
где t ne = t n\ = n • <j\ и qne = qn\ = n • qi — заданные значения. Оставшиеся два условия (2.1.74в) и (2.1.74г) используют для вычисления перемещений ui и температуры в\ (т. е. ui и в\ нельзя задавать одновременно с t n\ и qn\).
Возможны и обратные граничные условия, когда, наоборот, на Е задают именно перемещения ue = ui и температуру ве = в\\
(2.1.80)
тогда соотношения (2.1.74а) и (2.1.746) позволяют вычислить функции t n\ и qn1 после того, как решены уравнения механики (2.1.60), (2.1.61) с условиями (2.1.80) и найдены функции п • сг2 = t n2 и п • q2 = qn2 на Е.
Кроме того, не запрещены и две другие комбинации граничных условий (2.1.74а—г):
(2.1.81)
или
(2.1.82)
Если на Е задана температура ве или ие, то говорят, что это граничное