книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред
.pdf§ 2.3. Постановки задач в напряжениях |
61 |
Теорема 2.3.3. Пусть имеется непрерывно-дифференцируемое поле неко торого тензора второго ранга А(х), тогда дифференциальная форма А(х) • dx имеет полный дифференциал
da. = А • dx |
(2.3.25) |
в том и только в том случае, если поле А(х) удовлетворяет следующему
уравнению: |
|
V х А т = 0. |
(2.3.26) |
Вектор а называют потенциалом тензора А.
▼Для доказательства запишем соотношение (2.3.25) в декартовом базисе ёг (это можно сделать, поскольку все величины имеют тензорный характер):
ddi = Aij d x \ |
(2.3.25а) |
где а = щёг, А = А ^ёг ® ёД Тогда при фиксированном значении |
индекса г |
правая часть соотношения (2.3.25а) представляет собой обычную скалярную дифференциальную форму AijdxД необходимое и достаточное условие су ществования полного дифференциала ddi которой — это условие равенства частных производных:
d A i j |
dAik _Q |
дхк |
дх^ |
Домножая это соотношение на символы Леви-Чивиты спаД записываем его следующим образом:
^пар I d A if3 |
dAio, ^ ^ |
(0 0 0 7 \ |
6 |
~ д ^ ) ~ ^ |
[z-6-z n |
Здесь проведена замена индексов j —>се, Л: —>/3, причем по се и (3 суммирова ния нет.
Несложно убедиться, что соотношение (2.3.27) в локальном базисе гц имеет вид
(1/\Гд) enkjV kAl3 = 0 |
(2.3.28) |
по к и j суммирование есть (действительно, при фиксированных |
индексах |
п, %индексы к и j |
принимают только одно какое-либо значение %ф к ф j ф |
Ф г, и в (2.3.28) |
возможны лишь две ненулевые комбинации: nkj и njk, |
отличающиеся знаком, что и приводит к соотношению (2.3.27)).
Сравнивая (2.3.28) с определением ротора тензора второго ранга (см. т. 1, (2.3.16)), заключаем, что соотношение (2.3.28) действительно является просто компонентной формой записи соотношения (2.3.26), что и доказывает теорему. А
Поскольку для дифференциала любого векторного поля имеет место фор мула (т. 1, (2.2.29)), то
da = (V С) а ) т • dx. |
(2.3.29) |
62 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
|
|
Тогда из (2.3.25) и (2.3.29) следует, что А и а связаны соотношением |
|
|
А = (V ® а)т. |
(2.3.30) |
Подставляя (2.3.30) в (2.3.26), приходим к дифференциальному тожде
ству, которое имеет место для любого вектора а: |
|
V x ( V ® a ) T= 0. |
(2.3.31) |
Вернемся к рассмотрению поля перемещений и(х). |
Согласно формуле |
(т. 1, (1.6.32)), транспонированный градиент перемещений V 0 u T можно представить в виде суммы симметричного е и кососимметричного ft тензоров:
v 0 и т = е + а, |
(2.3.32) |
£ = ^ ( V ® u + V<g> u T), |
(2.3.33) |
П = i(V О u T- V eg) u), |
(2.3.34) |
причем тензор е — введенный ранее тензор малых деформаций, а ft называют тензором поворота (чтобы не путать с введенным ранее тензором вихря W (см. т. 2, (1.4.46)).
Тензор ft является кососимметричным, и для него можно ввести сопут
ствующий ему вектор вихря CJ (см. т. 1, (1.6.36)): |
|
ft = uj х Е. |
(2.3.35) |
Ротор этого тензора удовлетворяет следующим соотношениям (см. т. 1,
(2.3.22)): |
|
|
V |
х ft = (V ® и>)т - E(V • о;), |
(2.3.36) |
Ii ('V |
х ft) = Е • •V х ft = - 2 V • w. |
(2.3.37) |
Поскольку тензор е |
симметричен, то, в силу формулы |
из т. 1, упр. 1 |
к § 2.3, первый инвариант его ротора равен нулю: |
|
|
|
y1( V x e ) = 0. |
(2.3.38) |
Используя эти соотношения, докажем сформулированное в начале п. 2.3.3 утверждение.
Теорема 2.3.4. Соотношения Коши (2.3.33) имеют решение относительно поля перемещений и(х) тогда и только тогда, когда тензор деформации удовлетворяет уравнениям совместности:
V х (V х в)т = 0. |
(2.3.39) |
▼ Если поле перемещений и(х) удовлетворяет соотношениям Коши (2.3.33), то, в силу теоремы 2.6.7 из т. 2, тензор деформации в, образованный по (2.3.33), тождественно удовлетворяет уравнениям совместности (2.3.39).
§ 2.3. Постановки задач в напряжениях |
63 |
Докажем эту теорему в обратную сторону. Пусть имеется непрерывно дифференцируемое поле е(х), удовлетворяющее уравнениям (2.3.39). Тогда можно образовать дифференциальную форму (V х е) • dx. Согласно теореме 2.3.3, эта форма имеет полный дифференциал
du: = (V х е) • dx, |
(2.3.40) |
так как по условию выполняется уравнение (2.3.39). Следовательно, су ществует и потенциал — векторное поле CJ(X ), которое, согласно (2.3.30), связано с тензором V х е соотношением
V х в = (V ® CJ) t . |
(2.3.41) |
Поскольку е — симметричный тензор, то, согласно (2.3.38), |
имеет место |
и такое соотношение: |
|
0 = /i(V х е) = Е • -(V ® CJ) T = V • и>. |
(2.3.42) |
По тензору со можно образовать кососимметричный тензор ft по форму ле (2.3.35): ft = CJ х Е. Этот тензор ft будет удовлетворять соотношению (2.3.37), а, следовательно, в силу (2.3.42):
д ('V х ft) = - 2 V • CJ = 0, |
(2.3.43) |
но тогда формула (2.3.36) принимает вид
V х П = ( V ® CJ) t . |
(2.3.44) |
Сравнивая (2.3.44) и (2.3.41), получаем
V x s - V x f i = 0. |
(2.3.45) |
Поскольку тензор ft кососимметричный, то соотношению (2.3.45) можно придать следующий вид:
V х (e + ft)T = 0. |
(2.3.46) |
Вновь рассмотрим дифференциальную форму (в + ft)T• dx. Эта форма, со гласно теореме 2.6.7 из т. 2 и условию (2.3.46), имеет полный дифференциал
du = (в + ft)T• dx, |
(2.3.47) |
т. е. существует векторный потенциал и(х), удовлетворяющий условию (2.3.47), а, следовательно, имеет место соотношение
( V ® u )Т = е + ft, |
(2.3.48) |
где е — симметричный; ft — кососимметричный тензоры. В силу единствен ности этого разложения, из (2.3.48) следуют соотношения (2.3.33) и (2.3.34), а значит, действительно, найденное векторное поле и(х) удовлетворяет соот ношениям Коши. А
64 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями
Явное выражение поля перемещений и(х) через поле тензора деформации е(х) позволяет найти формула Чезаро.
Теорема 2.3.5. Пусть в односвязной области V задано дважды непре рывно-дифференцируемое поле симметричного тензора е(х), удовлетво ряющее условию совместности деформаций (2.3.39). Тогда поле вектора перемещений и(х), являющееся решением уравнений Коши (2.3.33), можно представить в виде
и(х) = и0 + CJ0 X (х - х0) + |
(в + (х' |
х) х V х е) • dx!, |
(2.3.49) |
|
с |
|
|
где С — произвольная кривая, |
все точки которой, в том |
числе XQ и |
|
х — точки ее начала и конца, принадлежат области V; UQ и ил^ — |
|||
произвольные постоянные векторы. |
|
|
|
▼ Согласно теореме 2.3.3, в |
условиях |
настоящей теоремы |
существует |
полный дифференциал du (2.3.47). Тогда, применяя теорему 3.3.2 из т. 1, получаем, что скалярный криволинейный интеграл
du (V С) и )т • dx и(х) - 110 (2.3.50)
сс
не зависит от вида кривой С, а зависит только от значений векторов UQ и и(х) в точках XQ и х — точках начала и конца этой кривой.
Поскольку для и имеет место формула (2.3.47), то, согласно формуле Гельмгольца (т. 1, (2.2.37)), имеет место и следующее ее представление:
du = е • dx + ил х dx. |
(2.3.51) |
Подставляя (2.3.51) в (2.3.50), находим
и(х) = и0 + е • dx + ил х dx . |
(2.3.52) |
Отметим, что в теореме 2.3.4 доказано и существование вектора вихря ил, обладающего полным дифференциалом (2.3.40). Тогда к формуле (2.3.40) также можно применить теорему 3.3.2 из т. 1:
ил(х) = ил0 + (V х е) • dx, |
(2.3.53) |
где ило — значение вектора ил в точке XQ. Подставляя (2.3.53) в (2.3.52), получаем
и(х) = и0 + с X (х - х0) + £ - dx — dx |
(V х е) . dx'. |
(2.3.54) |
§ 2.3. Постановки задач в напряжениях |
65 |
Меняем порядок интегрирования в двойном интеграле (так же, как и для обычного двойного интеграла от скалярных функций):
|
|
|
|
К*') |
|
|
|
dx |
(V х е) • dx' = |
|
t(s)ds х |
(V х e(s)) |
• t(s) ds |
= |
|
с |
с |
о |
|
о |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(V |
x e(s') -t(s')ds') |
X |
t(s) ds = |
|
||
|
о |
|
|
|
*(*') |
|
|
(x(s) —x(s7)) x (V x |
e(s7)) • t(sf) dsf= |
(x —x7) x (V x |
e) • dx. (2.3.55) |
||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
Здесь использованы формулы (т. 1, (3.3.30) и (3.3.32)) связи криволинейных интегралов первого и второго рода.
Подставляя (2.3.55) в (2.3.54), действительно приходим к формуле (2.3.49), называемой формулой Чезаро. А
Отметим, что если использовать представление сопутствующего вектора CJ
через ft и тензор Леви-Чивиты: |
|
CJ = ^ е • • ft |
(2.3.56) |
(это обратная формула к (2.3.35)), то, |
подставляя (2.3.34) в (2.3.56), получаем |
|
cj = ^ e --(V (g )u T—V(g)u) = |
^ e --V (g )u T= ^ V ® и. |
(2.3.56а) |
2.3.4. Задача о всестороннем сжатии
В заключение этого параграфа рассмотрим несколько задач, которые име ют простое аналитическое решение для различных моделей твердых сред.
Теорема 2.3.6 (о всестороннем сжатии). Пусть на всей границе £ огра ниченной области V твердого тела задан только вектор усилий t ne специального вида:
tne = |
~РеП, |
(2.3.57) |
где п — вектор нормали к £, ре = |
const, |
массовые силы отсутствуют: |
f = 0, а процессы в теле являются квазистатическими, тогда для любой модели твердой среды поле тензора напряжений <т(х) в области V имеет
следующий вид: |
|
О- = - р еЕ Vx G V, |
(2.3.58) |
поле деформации |
|
е = П(сг, 9Q) = П(—_реЕ, во) = const Vx G V, |
(2.3.59) |
66 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
|
а поле перемещений для односвязной области V определяется по формуле |
||
|
u(x) = u0 + CJ0 X (х - х0) + е • (х - х0), |
(2.3.60) |
где UQ и CJQ — векторы-константы. |
|
|
▼ Подставляя |
выражение (2.3.58) в уравнение равновесия |
(2.3.17а), по |
лучаем, что при отсутствии массовых сил оно тождественно выполняется. Очевидно, что и статические граничные условия (2.3.17г) тоже удовлетворя ются, поскольку п • сг|Е = —реЕ • п = —реп.
Поле деформации (2.3.59) находим, подставляя выражение (2.3.58) в опре деляющие соотношения (2.3.17в), причем вид оператора П(сг,0о) может быть произвольным (главное, чтобы не было зависимости от координат, напри мер от переменного поля температур 0(х)). Поскольку тензор е (2.3.59) не зависит от х, то уравнение совместности деформаций (2.3.176) тоже будет тождественно выполнено. Согласно теореме 2.3.5, вектор перемещений в этом случае можно найти по формуле Чезаро (2.3.49). Но в силу того, что в данной задаче тензор е не зависит от х, то приходим к формуле (2.3.60), в которой UQ и U JQ — произвольные векторы-константы. А
Замечание 2.3.1. Для того чтобы однозначно определить поле перемещений
в задаче о всестороннем сжатии, необходимо дополнительно задать: |
|
• |
вектор перемещений UQ в какой-либо одной точке XQ области V U £; |
• |
вектор вихря CJQ = (1/2)(V х u)o, т. е. вектор малого поворота в какой- |
|
либо точке, например в той же точке XQ. □ |
Говорят, что задано жесткое защемление, если |
|
|
UQ = 0 И |
(JJQ = r>(rot u)o = 0. |
(2.3.61) |
При жестком защемлении формула (2.3.60) для и принимает вид |
|
|
и(х) = е • (х —XQ). |
(2.3.62) |
|
2.3.5. |
Задача о растяжении бруса |
|
Теорема 2.3.7. Пусть выполнены следующие условия: |
о |
|
|
|
|
1)имеется упругая среда с малыми деформациями в области V, пред ставляющей собой брус, т. е. цилиндр с осью Оё3, нормальное сече ние которого является односвязной ограниченной двумерной обла стью {рис. 2.3.1), а торцевые поверхности перпендикулярны к Оё3;
2)боковая поверхность цилиндра свободна от нагрузок (tne = 0), а на торцах цилиндра х3 = ±L задан вектор растягивающих усилий
х3 = ±L: t ne = cen, |
(2.3.63) |
§ 2.4. Вариационные постановки задач |
69 |
Перемещения и после жесткого защемления одной точки, |
например |
хо = 0, определяются по формуле Чезаро (2.3.62), которая в данном случае
принимает простой вид: |
(2.3.70) |
и = е • х. |
Упражнения к § 2.3
Упражнение 1. Показать, что уравнения совместности деформаций (2.3.10) в декар товом базисе имеют явный вид:
М П = £33,22 + £22,33 ~ 2^23,23 = 0, |
М 22 |
= £ц,зз + £3 3 , 1 1 |
— 2щздз = 0, |
|
|
м 3 3 = £ц,22 + £22,11 - 2^12,12 = 0, |
М 12 |
= £1 3 ,2 3 |
+ £23,13 ~ ^12,33 ~ ^33,12 |
= 0, |
|
М 13 = £2 3 ,1 2 + £12,23 - Щ3,22 ~ ^22,13 = 0, |
М23 |
= £1 2 ,1 3 |
+ ^13,12 ~ ^23,11 ~ ^11,23 |
= 0. |
|
Упражнение 2. Показать, что тензоры е = е^гг0 гJ и |
ft = |
гг ® rJ , введенные по |
|||
(2.3.33), (2.3.34), удовлетворяют соотношениям |
|
|
|
|
|
V k^ij = ^ j^ik V i^kj = ^sij^ |
^ m^kli ^ |
О ^ = |
(V X s) *6 . |
|
|
Упражнение 3. Показать, что уравнения равновесия (2.3.17а) в декартовом базисе имеют явный вид:
&ij,j + pfi = 0
или
041,1 + сг1 2 ,2 + 0 13,3 + p fi = о, |
СГ12,1 + СГ2 2 ,2 + 0"23,3 + pf2 = 0, |
^13,1 + ^23,2 + &33,3 + р/з = 0.
Упражнение 4. Доказать теорему 2.3.1.
§ 2.4. Вариационные постановки задач
2.4.1. О вариационных постановках
Сформулированные в §§ 2.2 и 2.3 постановки задач МДТТ называют классическими, поскольку они позволяют найти классические решения и, в в классе дважды непрерывно-дифференцируемых в области V функций. Однако, как известно [43, 54], существуют и другие решения — обобщенные, для которых формулируют и обобщенные (в МДТТ их обычно называют вариационными) постановки задач.
Отметим, что при численном решении задач МДТТ, например широко применяемыми в настоящее время методами конечных элементов и граничных элементов, используют именно вариационные постановки.
2.4.2. Вариационная постановка квазистатической задачи
Рассмотрим квазистатическую задачу (2.2.9).
70 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
|
|
Введем некоторый специальный класс векторных полей w(x), определен |
|
ных и непрерывно-дифференцируемых в области V U £ |
и удовлетворяющих |
|
нулевому граничному условию на части поверхности |
области V: |
|
|
W I и = 0. |
(2.4.1) |
Домножим уравнение равновесия (2.2.9а) скалярно на w и проинтегриру ем получившееся выражение по всей области V:
w • V • crdV + |
pi • w dV = 0. |
(2.4.2) |
у |
у |
|
Преобразуя подынтегральное выражение
w • V • сг = V • (w • сг) —а • • V (g) w = V • (w • а) — а • • s(w), (2.4.3)
а также используя теорему Гаусса — Остроградского и граничное условие (2.2.9г), получаем интегральное соотношение
сг • • s(w)dV |
W • t nedE |
pi • wdV. |
(2.4.4) |
v |
|
v |
|
Здесь учтено граничное условие (2.4.1) и введено обозначение
e(w) = def w. |
(2.4.5) |
Рассмотрим такие векторные поля и(х), которые являются непрерывно дифференцируемыми в области V и удовлетворяют граничному условию (2.2.9д) из системы (2.2.9):
иI = ие.
1
Такие векторные поля будем называть кинематически допустимыми. Если же векторное поле и, кроме того, удовлетворяет и всем остальным уравне ниям системы (2.2.9), то будем называть его действительным. Очевидно, что действительное векторное поле и есть искомый вектор перемещений — решение задачи (2.2.9).
Рассмотрим вариацию ди кинематически допустимого поля и, понимая под ней разность двух кинематически допустимых полей. Тогда 6и удовлетворяет
нулевому граничному условию: 5и|Е |
= 0, и ее можно выбрать |
в качестве |
поля w: |
|
|
w = 6и. |
(2.4.6) |
|
В силу линейности дифференциального оператора (2.4.5), |
|
|
e(5u) = |
5е(и). |
(2.4.7) |