книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

среды, получаем, что определяющие соотношения (2.5.21) или (2.5.49) можно представить в виде

(подчеркнем еще раз, что функции уу* в (2.5.52) и (2.5.88) различны). Варианты конкретного задания скалярных функций (2.5.84), (2.5.86) и

(2.5.88) приведены в т. 1.

2.5.9. Следствие из условия устойчивости Адамара

Вспомним, что для обеспечения единственности решения задачи МДТТ в п. 2.4.8 было введено понятие сверхустойчивости среды по Адамару (эл­ липтичности). Это понятие для идеальных сред эквивалентно требованию (2.4.75) или (2.4.76) существования положительного касательного модуля.

Учитывая, что потенциал Ф(е,0) является функцией (2.5.21) инвариантов

h — произвольный ненулевой симметричный тензор второго ранга. Неравенство (2.5.89) накладывает ограничения на вид потенциала Ф. Более детально эти ограничения будут рассмотрены для линейно-упругих

сред в § 2.6.

Упражнения к § 2.5

Упражнение 1. Показать, что для изотропной несжимаемой квазилинейной упругой среды определяющие соотношения можно представить в виде

а = -р Е - (р2е, ip2 = д

для трансверсально-изотропной несжимаемой квазилинейной упругой среды —

а для ортотропной несжимаемой квазилинейной упругой среды —

к которым следует присоединить соотношение (2.5.42).

Упражнение 3. Показать, что в базисе сi спектральные представления (2.5.62) для группы I (изотропная среда) имеют следующий вид:

для группы Тз (трансверсально-изотропная среда):

§ 2.6. Модель линейно-упругой среды

2.6.1. Определение линейно-упругой среды

Рассмотрим наиболее простую, но вместе с тем самую широко используе­ мую в приложениях модель твердой среды с малыми деформациями, называ­ емую линейно-упругой средой.

Определение 2.6.1. Твердую среду с малыми деформациями, для которой оператор (2.1.39) свободной энергии Гельмгольца ф имеет вид

Здесь фо — начальное значение свободной энергии, фо = е о —вщ\ cv(0) — теп­ лоемкость; 4С(0) — тензор четвертого ранга, называемый тензором модулей упругости; е{в) — тензор второго ранга, называемый тензором тепловой деформации. Все эти величины являются заданными.

Подставляя выражение (2.6.1) в (2.1.396) и (2.1.39в), находим определя­

Модель линейно-термоупругой среды, для которой справедливы соотноше­ ния (2.6.6) и (2.6.7), называют линейно-термоупругой средой с не зависящи­ ми от температуры свойствами. Учет тепловой деформации в соотношении (2.6.7) называют законом Дюгамеля — Неймана.

Если рассматривают изотермические процессы с0 = $о>тов = Ои модель (2.6.1) называют моделью линейно-упругой среды.

Модель линейно-термоупругой среды предполагают всегда обратимой, т. е. всегда существует обратное соотношение к (2.6.2):

где тензор 4П, называемый тензором упругих податливостей, является

С учетом соотношений (2.6.8) и (2.6.8а) свободную энергию ф (2.6.1)

а с помощью (2.1.42) можно получить выражение для свободной энергии Гиббса в модели линейной термоупругой среды:

Очевидно, что если подставить (2.6.9.б) в (2.1.47), то после вычисления тензора производной е = —р(д(/дст) снова получим соотношение (2.6.8).

Таким образом, для линейно-упругой среды ^-модель (2.6.1) и ("-модель (2.6.96) являются эквивалентными и представляют собой различные формы одной и той же модели.

2.6.2. Число независимых компонент тензора модулей упругости

Тензор модулей упругости 4С, как всякий тензор четвертого ранга, имеет З4 = 81 компоненту Сг^ы в базисе сц. Однако вследствие наличия симметрии по первым двум индексам, а также по третьему и четвертому индексам, т. е.

(2 6 10)

число независимых компонент сокращается до 36, а условие того, что тензор 4С образует квадратичную форму в потенциале (2.6.1), означает наличие еще одного вида симметрии — по паре индексов:

Qljkl _ Qkllj

В результате максимально возможное число независимых компонент сокра­ щается до 21 (см. подробно т. 1, п. 4.6.9).

Для различных групп симметрии Gs число независимых компонент может быть еще меньше (см. т. 1, §4.6, а также п. 2.6.3). Число независимых компонент W ikl тензора упругих податливостей 4П равно числу независимых компонент Сг^ы соответствующего тензора модулей упругости 4С. Для тен­ зора 4П справедливы те же соотношения симметрии (см. т. 1, упр. 4 к § 4.6).

Тензор теплового расширения а является симметричным и имеет не более шести независимых компонент.

2.6.3. Тензорно-инвариантное и матричное представления модели линейно-термоупругой среды

Для линейно-термоупругой среды (2.6.1) можно использовать эквивалент­ ное тензорно-инвариантное представление (2.5.21). В этом случае потенци­ ал Ф задается в виде квадратичной функции от инвариантов I^s\ s ) (см. т. 1, п. 4.9.4).

Для ортотропной линейно-упругой среды

где а ф /3 ф у ф а; а, /3, 7 = 1,2, 3; Аь ..., Ад — независимые упругие константы, число которых для ортотропной среды равно девяти (см. т. 1, п. 4.6.9).

Соответствующий тензор модулей упругости 4С для ортотропной среды можно представить в следующем виде (см. т. 1, п. 4.6.9):

з

4С = У^(Аас^ 0 с2а + А3+а(сг| 0 с Щ 0 е |) + А6+аОа 0 Оа) =

а=\

Для компонент Сг^к1 тензора модулей упругости 4С часто используют удобное матричное представление в виде матрицы 6 x 6 (см. т. 1, п. 4.6.9):

2А5/

т. е. в этом случае

Тензор упругих податливостей 4П для трансверсально-изотропной среды имеет аналогичную структуру:

4П —Л^Е Е Т А2С3 (S) с2 Т А3(Е с3 Т с3 (S) Е)Т

+ A4 (O I ® Oi + 0 2 0 0 2) + 2 А5 А = n i j k l Ci 0 C j 0 с к 0 Cl, (2.6.21)

где пять констант А), ..., Ag обычно выражают через пять трансверсально­ изотропных технических констант:

Технические константы (2.6.22) можно связать с техническими констан­

их обычно называют следующим образом: Е' — модуль упругости в продоль­ ном направлении (направление оси трансверсальной изотропии с вектором с3); Е — модуль упругости в поперечном направлении (в плоскости транс­ версальной изотропии); v и G — коэффициент Пуассона и модуль сдвига в плоскости трансверсальной изотропии; z/ и G' — коэффициент Пуассона и модуль сдвига в продольном направлении.

Для трансверсально-изотропной среды G выражается через и и Е:

имеет следующий вид: