книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред
.pdf§ 2.5. Нелинейно-упругие среды с малыми деформациями |
91 |
|||
2.5.2. Индифферентность потенциалов Ф и Z |
|
|||
для сред с малыми деформациями |
|
|||
Пусть преобразование F: JC —>К, соответствует допущению (2.5.26) о ма- |
||||
* |
|
|
|
|
лости деформаций, тогда F имеет вид (2.5.1), т. е. |
|
|
||
|
F = (Е + AF) • Q. |
|
(2.5.6) |
|
о |
|
|
|
( п ) ( п ) |
Поскольку для /С —>/С деформации малы, то все тензоры деформации |
Л, С |
|||
совпадают с е (см. (2.1.19)). |
* * |
* |
|
|
|
— суперпозиция |
(2.5.6) |
||
Теорем а 2 .5.1. При движениях F: /С —>/С, |
где F |
|||
о |
|
* |
о |
|
малых деформаций из К, в К, и поворота из К, в К,, все энергетические
тензоры деформаций |
(п) |
(п) |
следующим |
С * и напряжений Т* преобразуются |
|||
образом: |
(п) |
|
|
|
Т |
= <т = Q T• <т • Q, |
(2.5.7) |
|
(п) |
* |
(2.5.8) |
|
С |
= e = Q T- e -Q, |
|
(п)(п)
аквазиэнергетические тензоры А* к S* совпадают с е и а:
(п)(п)
А* = e, |
S * = сг, |
|
(2.5.9) |
где г — тензор малых деформаций |
(2.1.20); |
сг — |
тензор напряжений |
о |
|
|
|
(2.1.21) при малых деформациях из К, в К,.
Т Используя определения энергетических и квазиэнергетических тензо ров деформации (см. т. 2, пп. 3.2.1 и 3.2.10), находим, например при n = I, V:
С* = С = 1 (F T• F —Е) = 1(Q T• (Е + A F T) • (Е + AF) • Q - Е) |
« |
|
|||
|
|
и 1 Q T • (A FT+ AF) |
Q = Q T |
e |
Q = I, |
C* = |
1 ( E |
—F -1 - F “ lT) = 1 ( E - Q T• ( E - AF) • (E —A F T) • Q) « |
|
||
V |
1 |
« ^ Q T• (AF + A F T) • Q = I, |
|||
* 1 * 1 |
|
|
|
||
A* = ^ ( E - F “ lT - F ” 1) = |
|
|
|
||
|
|
= i ( E - (E - A F T) Q Q T (E - A F ) ) « ^ ( A F T + A F ) = e, |
|||
A* = i ( F • F T — E) = i ( ( E + A F ) Q Q T (E + A F T) - E) « |
|
|
|||
а также |
|
ps ^ ( A F |
+ A F T) = |
e |
и T. д., |
|
^ |
|
|
|
|
T* = F T • <r • F = Q T • (E + A F T) • cr • (E + A F ) Q sa Q T <r Q = <r,
92 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями
Т* = F -1 • сг • F _1 т = Q T• (Е —AF) • а • (Е —A F T) |
Q « сг, |
|||||
I |
* |
V |
* 1 |
* |
1 |
|
S* = |
V • сг • V рз сг, |
S* = V |
• сг • V - |
рз сг и т. д. для других п. |
||
Здесь учтено, что согласно (2.1.11) |
|
|
|
|||
|
|
F -1 = Q T• ( Е - AF), |
(2.5.10) |
|||
а также, в силу (2.1.14), (2.1.14а) и (2.1.146), |
|
|||||
V = V = E + ^(A F+ A F T), |
Q = О • Q = (E + ^ (A F - A F T)) • Q. ▲ (2.5.11) |
|||||
Теорема 2.5.1 позволяет установить связь (2.5.7) между тензорами сг и сг, а также (2.5.8) между е ив.
Если подставить соотношения (2.5.7) и (2.5.8) в (2.5.4), то получим, что
потенциал Ф(е,0) должен удовлетворять условию |
|
||||
Ф(е, |
в) = Ф(СГ е |
Q, |
в) |
VQ G G8. |
(2.5.12) |
В этом случае, согласно |
теореме 3.8.1 |
из |
т. 2, |
определяющие |
соотношения |
ст= 2F(e,6) удовлетворяют принципу материальной симметрии, т. е. выполня ется соотношение (2.5.3в), которое можно записать следующим образом:
Q T• Т{е, в) • Q = :F(Q T в Q, в). |
(2.5.13) |
Напомним, что, согласно определениям 3.8.1 и 3.8.5 из т. 2, функции, удовлетворяющие условиям (2.5.12) и (2.5.13), называют индифферентными относительно группы Gs.
Таким образом, согласно принципу материальной симметрии, при малых деформациях определяющие соотношения (2.5.3) для идеальных твердых сред должны удовлетворять условиям (2.5.12) и (2.5.13) для некоторой группы симметрии Gs С /о, конкретный вид которой определяется типом твердой среды.
Если использовать ("-форму определяющих соотношений, то из (2.5.5) и (2.5.7) получим, что потенциал Z(cr,e) должен быть индифферентной отно
сительно группы Gs скалярной функцией: |
|
Z(<7, в) = Z(Q T ст Q, в). |
(2.5.14) |
В этом случае из той же теоремы 3.8.1, т. 2 следует, что определяющие соотношения е = Щ<Т,в) удовлетворяют условию индифферентности относи тельно той же группы Gs'-
Q T• П(сг, в) ■Q = II(Q T• о- • Q, в). |
(2.5.15) |
§ 2.5. Нелинейно-упругие среды с малыми деформациями |
93 |
2.5.3. Инварианты тензоров деформации и напряжений
Используем результаты т. 2, пп. 3.8.2-3.8.4, в которых на основе свойства (2.5.12) было введено понятие скалярных инвариантов тензоров второго ранга: I^s\e ) = являющихся индифферентными скалярными функ циями относительно группы Gs С I. Здесь Gs — группа симметрии, каждый
^ |
о |
* |
тензор Q преобразования /С —►/С которой имеет вид
Q = Н 1^? ® Ci, |
(2.5.16) |
где Н г• — ортогональная матрица компонент, имеющая стандартный вид (см., например, т. 2, (3.7.30) и (3.7.33)) для групп ортотропии, трансверсальной изотропии и изотропии (т. е. Gs = О, Gs = Т3 или Gs = I);ci — ортонормированный кристаллофизический базис (главный базис анизотропии).
В частности, если сц = ё^, то ортогональные тензоры преобразований
о |
* |
|
0 |
|
|
/С —>/С имеют вид |
|
|
|
||
|
|
|
О = Я ^'< х)ё;. |
|
(2.5.17) |
Группы симметрии обозначим |
О |
|
второго ранга — |
||
а инварианты тензора |
|||||
J(e)(e) = |
|
|
|
|
|
|
Скалярные инварианты тензоров второго ранга |
l\s\e ) можно постро- |
|||
ить |
с помощью образующих |
тензоров Os(7) (7 = 1, |
..., к) каждой группы |
||
Gs (см. т. 1, п. 4.5.2 и т. 2, |
п. 3.8.3), причем среди |
всех |
инвариантов вы |
||
деляют функционально независимые, образующие функциональный базис /[^(в), ..., IrS\s ) , где г — число инвариантов в функциональном базисе, различное для каждой группы Gs (см. теорему 4.5.4 из т. 1). Такие функ циональные базисы для групп Gs = О, Т 3 , Е и I приведены в т. 1, п. 4.5.4 и т. 2, п. 3.8.4 (для всех 39 групп Gs такие базисы построены в [18]) и для тензора е имеют следующий вид:
группа ортотропии (Gs = О): |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ja0)(e) = e "C ^, |
7 = 1.2,3, |
l f |
\e ) |
= (с2 -в) • • |
(с3 -в), |
||||
l f \ e ) = (ci • е) • • (с3 • в), |
l f \ s ) |
= |
((ci |
• в) |
• (с2 •£))•• |
(с3 • в), (2.5.18) |
|||
или в компонентном представлении: |
|
|
|
|
|
|
|
||
р ° \ в ) = { е п , ? 22. |
£зз. £ 23. |
£13. £12£13£2з }. |
7 = |
1. |
•••> 6 ; |
||||
группа трансверсальной изотропии (Gs = Т3): |
|
|
|
||||||
l{3)(e) = (Е - |
с3) • • |
в, |
4 3)(в) = |
е • • с3, |
|
||||
4 3)(в ) = |
((Е ~ |
с 3) |
- в) |
• • ( с 3 - в), |
|
|
|||
1{Р (е) = в2 • • Е - i f 2 - 2Ig3), |
/ f }(в) = det в, |
(2.5.19) |
94 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями
или
1 ^ \ е ) = { е \\ + е 22, ^33> ^13 + |
^23’ |
£ П + £ 22 + |
2 e f 2 , 8 } ’ |
группа изотропии (Gs = /): |
|
|
|
/ Д = / 7(в), |
7 = |
1,2,3. |
(2.5.20) |
Здесь /7(е) — главные инварианты тензора е.
Для тензора напряжений сг (или любого другого симметричного тензора второго ранга) скалярные инварианты 1^\сг) образуют по формулам (2.5.18)— (2.5.20) простой заменой е —►сг.
2.5.4. Тензорно-инвариантная форма определяющих соотношений для идеально-упругих сред
Всякую индифферентную относительно группы Gs скалярную функцию Ф(е,0) можно представить как функцию от инвариантов I^s\e ) тензора относительно этой же группы (см. т. 1, п. 4.8.5):
Ф(е, в) = Ф (4°(е), ..., Д Ц е), в). |
(2.5.21) |
Рассмотрим идеальные твердые среды, которые часто называют идеаль но-упругими или просто упругими средами. Для таких сред потенциал Ф(е,0) можно представить в виде (2.5.21), тогда определяющие соотно шения (2.1.406) для идеально-упругих сред можно записать в тензорно инвариантной форме:
ст= Г(е,6) |
<9Ф |
dl\s\e) |
(2.5.22) |
|
де |
де |
|||
|
|
|||
где |
7—1 |
= р аФ |
|
|
|
(2.5.23) |
|||
^ ( l [ s)(e), ..., |
4*Це),в) |
|||
|
|
дИр' |
|
|
Отметим, что функции 8 1 ^ /де |
всегда можно считать фиксированными |
|||
для каждой группы симметрии Gs, поэтому одна тензорная функция Т(е,в) может отличаться от другой в рамках фиксированной группы Gs только вследствие различных скалярных функций (2.5.23).
Используя результаты т. 1, п. 4.8.6, приведем вид тензорных функций (2.5.22), индифферентных относительно групп О, Тз и I.
Ортотропную тензорную функцию (2.5.22), (2.5.23) (т. е. индифферент
ную относительно Gs = О) можно представить в виде |
|
з |
|
а = ^ у?7с7 + 4Ог • • е + 3(^6 6От ... е ® е. |
(2.5.24) |
7—1 |
|
Соответствующее компонентное представление этой функции в базисе сц имеет вид
|
§ 2.5. Нелинейно-упругие среды с малыми деформациями |
|
95 |
аП _ ^ |
+ - (^4^23 + ^12^13^б)(^2^3 + ^3^2) + 2 ^ 5Sl3"*" |
|
|
7—1 |
|
|
|
+ ^ 6^12^23)(^1^3 + ^3^1) + 2^ 7^12 + ^ 6^13^23)(^1^2 + ^ |
) - |
(2.5.24а) |
|
Здесь Эг^ и |
— компоненты тензоров сг и е в базисе сц; Щ, 0 |
7 |
(7 = 1,2,3) |
и 6Ош — индифферентные относительно группы О тензоры, составленные из
образующих тензоров Os(7) этой группы (т. 1, табл. 4.3.2) |
(см. также |
[18]): |
||||
|
|
С7 = с7 ® с7, |
|
|
|
|
0 7 — с Q/ 7^ Ср |
е р |
CQ/, |
ft 7^ 7" 7 7" сц |
<7, /5, |
7 — 1? 2, 3, |
|
6° ш = |
1 |
3 |
( O a ® 0 /3 + 0 /3(g)0 Q) ® 0 7. |
(2.5.25) |
||
48 |
a,/3,j=\ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
афЗф^фа |
|
|
|
|
|
Тензор 4Ог зависит не только от образующих тензоров группы О, но и от
инвариантов l!y°\s): |
|
4Or = ^(y?4 0 i ® Oi + ^бС>2 ® 0 2 + 727O3 ® 0 3). |
(2.5.26) |
Функции (р1 в (2.5.24) зависят от инвариантов (2.5.18): |
|
ф)1 = ф)1{е\\, £22, ?33> ^23> ^13, ?12?23?135 £12)* |
(2.5.27) |
Для симметрии определяющих соотношений (2.5.24) в набор (2.5.27)
добавим седьмой инвариант |
|
J70)(£) = (ci • е) ■• (с2 • е) = ei2, |
(2.5.27а) |
не являющийся независимым.
Для группы трансверсальной изотропии Тз форма определяющих соотно
шений (2.5.22) имеет вид |
|
ст= -01Е + ^ 2^3 + 40 • • е + Фзе<2у |
(2.5.28) |
где 40 — тензор, зависящий от инвариантов /7^(в), |
|
40 = (^-(рз{0\ 0 Oi + 0 2 ^ 0 2) + 2ср4^А — -(Oi® Oi + О2® 0 2)) —(р$1\ А^,
^ |
^ |
,о\ |
^ |
(2.5.28а) |
^ 1 = ^ 1 + / 2^5, |
1р2 = <Р2 - <Р\ - |
’ |
'Фз = (Рь, |
акомпонентное представление в базисе сц имеет следующий вид:
^= фх& + ф2е33щ 4 + (гз ~ 2^4)((45з +
+ [5\8{ + 4<фб13) + (2^4 - I m ) e ij + <p5e ike ki, (2.5.29)
96 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
|
где Lp1 — функции инвариантов (2.5.19), |
|
|
|
= ^7(£ц + ^22 + ^33’ Из2 + ^232> ^п 2 + ^222 + 2^i22, dete). |
(2.5.30) |
Для изотропной среды тензорно-инвариантная форма определяющих со отношений (2.5.22) имеет вид
а |
= -01Е + ф2£ + |
|
(2.5.31) |
ИЛИ |
|
|
(2.5.32) |
аг° = <ф\SlJ + V>2£ 13 + Фз£гк £ |
> |
||
где |
|
|
(2.5.33) |
V?7 = |
^ 7(/i(e), / 2(е), / 3(е)), |
|
|
Ф\ = <£l + <y52/i + ^ 3/2, |
Чр2 = |
^3 = ¥>3- |
(2.5.34) |
Отметим, что поскольку базис сц является ортонормированным, то ком поненты о\j и Э гэ совпадают так же, как и компоненты e'ij,
2.5.5. Тензорно-инвариантная форма определяющих соотношений для несжимаемых упругих сред
Если упругая среда является несжимаемой, то 1\(е) = 0, и определяющие
соотношения для нее имеют вид (2.1.7): |
|
а = - р Е + ^ . |
(2.5.35) |
Потенциал Ф(е,0) для несжимаемой среды не зависит от первого инвари анта Д(в), поэтому для несжимаемой изотропной упругой среды имеем
|
|
Ф = Ф(/2(е), / 3(е)), |
(2.5.36) |
т. е. р\ = 0, тогда из (2.5.35) |
и (2.5.31) получаем |
|
|
|
а = —рЕ —р2е + Гзё2’ |
(2.5.37) |
|
где р = р —psh'y |
и Гъ определяют по формулам |
|
|
|
(^7(/2(в), |
/ 3(е)) = 5Ф/5Д, 7 = 2,3. |
(2.5.38) |
Для трансверсально-изотропной несжимаемой упругой среды инвариант
I ^ \ s ) |
не является независимым, так как |
|
|
|||
|
4 % ) = % |
= - Ц п |
+ £22) = - / ; 3)(е), |
(2.5.39) |
||
поэтому потенциал Ф можно считать |
зависящим |
только от инвариантов |
||||
/34 |
(3) |
р\ = |
0 и определяющие |
соотношения |
(2.5.35) с |
|
ц (е), |
..., /5 (в), т. е. |
|||||
учетом (2.5.28) принимают вид |
|
|
|
|
||
<т = |
- р Е + ф2Щ+ 46 |
• е + ф3е2, |
Ф = Ф (43)(е), ..., 4 3)(е)), |
(2.5.40) |
||
где р = р - / 2<^5; |
|
|
|
|
|
|
§ 2.5. Нелинейно-упругие среды с малыми деформациями |
97 |
|
•02 = |
^ 2 - 2 щ Щ . |
(2.5.41) |
Для ортотропной несжимаемой упругой среды инвариант l[0 \ s ) |
также не |
|
является независимым: |
|
|
l[ ° \e ) = |
+ l f \ e ) ) , |
(2.5.42) |
однако для сохранения симметрии определяющих соотношений (2.5.24) от носительно индексов 1, 2 и 3 (это требование не является обязательным, но удобно в приложениях) будем считать Ф зависящим от всех семи инвариантов среди которых независимыми являются только пять. Тогда соотноше ния (2.5.35) с учетом (2.5.24) для несжимаемой ортотропной среды примут
вид |
з |
|
|
|
|
а = —рЕ + |
'У ^ |
+ 4Ог • • в + 3р0 ^От • • в 0 |
в, |
(2.5.43) |
|
|
7—1 |
|
|
|
|
iPl = дЧ!/д1(° \ |
Ф = |
Ф(/[0), ..., l f \ e ) ) , |
7 = 1 , |
..., 7. |
(2.5.44) |
После вычисления производных в (2.5.44) необходимо заменить инвари анты и в соответствии с формулами (2.5.42) и (2.5.27а).
Отметим, что р и р в (2.5.37) и (2.5.40) можно рассматривать как неопре деленные множители Лагранжа, не возвращаясь к самой р.
2.5.6. Квазилинейные упругие среды
Втеории малых деформаций в подавляющем большинстве случаев рас сматривают квазилинейные упругие среды.
Теорема 2.5.2. Идеально-упругую среду называют к в а з и л и н е й н о й , если соответствующие ей определяющие соотношения являются квази линейными (тензорно-линейными), т. е. содержат тензорные степени не выше первого порядка.
Для изотропной квазилинейной среды из (2.5.31) и условия тензорной
линейности следует, что |
фз = Рз = дЪ/д13 = 0. |
(2.5.45) |
|
||
Таким образом, потенциал зависит только от двух инвариантов /j |
и / 2, а |
|
определяющие соотношения (2.5.31) принимают вид |
|
|
|
СГ= (р\ + Р2Д)Е - р2£, |
(2.5.46) |
где |
Ф = Ф(Д(в), 12(е)), 7 = 1,2. |
(2.5.47) |
^7 = аФ /а/7, |
||
Для трансверсально-изотропной квазилинейной среды из (2.5.28) имеем |
||
|
<Р5 = дф/д!ь = 0, |
(2.5.48) |
и, следовательно, |
|
|
98 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
|
||
|
|
сг = уцЕ + Ф2Щ + |
40 • • |
(2.5.49) |
^ |
= д Ъ / д 1 ф , |
Ф = Ф(/[3)(е), |
4 3)(е)), 7 = 1, ..., 4, |
|
где |
|
|
|
|
46 = ( ^ |
3- v?4)(O i<8>Oi + 0 2(8>0 2) + щ А , |
(р2= ч>2~ <р\- 2ip4I ^ \ |
(2.5.50) |
|
Для ортотропной квазилинейной среды из (2.5.24) следует, что должно
выполняться условие |
Гв = дЪ/д16 = 0, |
(2.5.51) |
|
|
|
||
т. е. потенциал Ф и функции |
(2.5.27) не должны зависеть от кубического |
||
Т(Р) |
|
|
|
инварианта Ц |
= £12^23^13- |
|
|
Отметим, что при этом система шести инвариантов 1^°\ ..., I^°\ Ij°^
является функционально независимой и включение инварианта I j° ^ = £ \ 2 обязательно.
Определяющие соотношения (2.5.24) для квазилинейной среды принима
ют вид |
3 |
|
|
ст = ^ Lp1с7 + 4О г • • в, |
(2.5.52) |
|
7—1 |
|
где 4О г задается формулой (2.5.26); |
|
|
|
V - , = ^ 0 Y * № (0)И . ■■■• 4 0 , И . 4 0 , ( Ф |
(2-5.53) |
2 .5 .7 . |
Спектральное представление тензоров напряжений |
|
|
и деформации |
|
Определяющие соотношения квазилинейных сред удобно записать с помо щью так называемых спектральных представлений тензоров напряжений сг и деформации в, приведенных в т. 1, §4.10 и 4.11, которые имеют следующий вид (см. т. 1, (4.11.1)):
’ = X X ! . |
<2-5-64> |
а=\ |
|
п |
|
* = Е Р Й - |
(2.5.55) |
а=1
где и р |^ — ортогональные проекторы (обобщенные девиаторы тензо ров сг и в), линейно зависящие от а и е соответственно:
Р Й = 4 р («) • • Л |
Р £ , = 4Г , о ■• г, а — 1, . . . . п . |
(2.5.56) |
Тензоры 4Г(а) являются индифферентными относительно определенной группы Gs (для которой записаны представления (2.5.54), (2.5.55)) и не
§ 2.5. Нелинейно-упругие среды с малыми деформациями |
99 |
зависят от сг, е, а выражаются только через образующие тензоры группы. Кроме того, эти тензоры взаимно-ортогональны:
4Г (а) • • 4Г (/3) = 0 , аф (3, |
(2.5.57) |
поэтому имеют место соотношения взаимной ортогональности ортопроекто ров:
Р ( « ) - - Р Й |
= ° . р ё " |
р ! ? , = ° . |
P S " P S |
= ° . |
(2.5.57а) |
Среди всех тензоров 4Г ^ т штук являются |
приводимыми, так что их |
||||
можно представить в виде |
|
|
|
|
|
4Г (а) = — |
а(а) • а (а), |
аа = (а(а) • • |
а(а))1/2, |
а = 1 , ... ,т , |
(2.5.58) |
da |
|
|
|
|
|
где а(а) — также индифферентные относительно Gs тензоры второго ранга. Подставляя (2.5.58) в (2.5.56), находим, что соответствующие т ортопро
екторов р |^ |, р |^ можно представить в виде
(ст) = |
J _ y ( < r ) |
а (а)’ |
р ( е ) |
= J _ y ( £ ) |
(2.5.59) |
||
(ъ\ |
ха |
^(а) |
а п |
а |
а (а) |
||
(а ) |
а п ~ |
v~' |
w |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
у(о-) _ J_
“dry а (а) • • Y a } = dry а (а) ' ' * (2.5.60)
—так называемые линейные спектральные инварианты тензоров сг и в (см. упр. 2 к § 2.5).
Для остальных |
(а = т + 1, ..., п) вводим квадратичные спек |
|||
тральные инварианты: |
|
|
|
|
pi ‘T, = (p S |
- ' p («>)>'/2' |
pi ' , = |
(p (« )--p 15)'/2- |
<2-5-61> |
С учетом (2.5.59) спектральные представления (2.5.54) и (2.5.55) можно |
||||
представить в виде |
|
|
|
|
т |
п |
т |
п |
(2'5'62> |
* = Е |
+ Е рЙ. |
£ = Е |
+ Е рё- |
|
а = \ |
а=т-\-1 |
а = \ |
а=т-\-1 |
|
Используя результаты т. 1, пп. 4.11.5-4.11.7, запишем спектральные пред ставления тензоров сг и в для трех основных групп Gs: I, Т3 и О.
Для изотропной среды (Gs = I) |
п = 2, т = 1 |
и ортопроекторы (2.5.56) |
||||||
принимают вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р ^ = Д ( е ) Е , |
’ |
P g = e - ^ ( e ) E , |
Р ^ ^ Д И Е , |
’ |
P g = < x - ^ i ( < x ) E . |
|||
(1)_ 3 Н ' |
(2) |
3 й |
- ' ’ |
(1) “ 3 Н |
' |
(2) |
||
Тензор а(а) всегда один — он совпадает с Е: |
|
|
(2.5.63) |
|||||
|
|
|
||||||
|
|
|
а (1) = Е, |
а\ = л/3, |
|
|
(2.5.64) |
|
а спектральные инварианты Y& |
и |
имеют следующий вид: |
||||||
100 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
|
||||
Yy |
= |
£ = 1\ (в), |
еи = У (е) = (Р,(*) |
р(£)\1/2 |
||
La |
—-е/у/Ъv- , |
- —- 1v-y> |
2 |
— VA(2) |
^ (2)1 |
’ |
Y y = a / V 3, |
a u = |
y 2(<7) = |
( P ^ ) - - P g )) 1/2- |
(2.5.65) |
||
Инварианты е и |
и crw называют интенсивностями тензоров е и сг соответ |
|||||
ственно. |
|
|
|
|
|
|
Спектральные представления (2.5.62) для изотропной среды имеют вид
(r = | j i H E |
+ |
P W |
1 |
(2.5.66) |
3- 1V” / “ |
1 |
* (2) ’ |
е - 5Jl(£) Е + Р (2)’ |
|
их называют разложением тензоров сг и в на шаровую и девиаторную части.
Для трансверсально-изотропной среды {Gs = Т3) п = 4, т = 2 и орто
проекторы (2.5.56) имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||
■р(сг) __ у '(< г)^ 2 |
p (-2) |
= |
^ |
y2(<T)(E - c i) - |
Р ^ } = |
сг • с§ + с§ • СГ - 2У, |
|
||||
*(1) ~ М С3’ |
(4) |
|
|
|
1 с3’ |
||||||
Р (3? = |
< Т ~ 7 2 |
Y ^ ] ^ ~~ ^ + |
~ c r ' ^ |
~ |
^ ' |
c r ' |
(2.5.67) |
||||
|
|
||||||||||
а спектральные инварианты определяют следующим образом: |
|
|
|||||||||
У (<т) = а |
к (ст) |
= |
1 |
ст■■(Е • |
, |
Y4(a) = |
7 2 |
(с |
^2 |
лл(сг) |
2ч1/2 |
7= |
“'З |
11 |
J |
||||||||
|
r(<J) |
_ |
72 |
_Y^a) |
|
^ _y^(<J) |
2ч1/2 |
|
|
|
|
|
( т.( |
^ |
|
(2.5.68) |
|||||||
|
Т Г |
= ( W |
|
|
|
|
|
|
|||
Проведя замену а —►е в (2.5.67) и в (2.5.68), получим выражения для
ортопроекторов р |^ и спектральных инвариантов |
. |
|
|||||
Для ортотропной среды (Gs = О) п = 6, |
m = 3 и ортопроекторы (2.5.56) |
||||||
принимают вид |
|
|
|
|
|
|
|
>0 ) = |
rv |
с2 |
><» |
= - О а(сг • • |
О Д |
а =1,2,3, |
(2.5.69) |
(а) |
^rv > |
(а+З) |
|
||||
а |
а ’ |
2 ’ |
|
|
|
||
а спектральные инварианты определяют следующим образом: |
|
||||||
у И = |
|
|
|
|
Ог |
а = 1,2,3. |
(2.5.70) |
-*■ rv |
|
|
|
|
|||
Заменой а —►е получаем выражения для р |^ |
и у Д \ |
|
|||||
Спектральные |
представления |
(2.5.62) в компонентах приведены в упр. 3 |
|||||
к § 2.5. |
|
|
|
|
|
|
|
2.5.8. Спектральное представление определяющих соотношений для квазилинейных сред
Теорема 2.5.3. Для идеально-упругих квазилинейных изотропных (или трансверсально-изотропных, или ортотропных) сред имеют место следу ющие спектральные представления определяющих соотношений: