книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

ниях. После решения этой задачи напряжение <73 вычисляют по формуле (2.8.44), где константу AQ находят из соотношения (2.8.46а).

2.8.9. Метод функций комплексного переменного для плоской деформации

Если тело является изотропным, т. е.

тогда уравнение (2.8.45) при отсутствии массовых сил (% = 0) становится бигармоническим. Добавив к нему граничные условия (2.8.35) на контуре, получим следующую задачу:

где

Д Д Ф = Фд 111 + 2Ф д 122+ Ф,2222. Д Ф = Ф .11+ Ф,22> Р[ = tieds, I = 1,2;

о

Са — часть контура £, на которой заданы усилия; Си — часть контура, на которой заданы перемещения.

Для решения задачи (2.8.49) могут быть эффективно использованы мето­ ды функций комплексного переменного, разработанные еще Г. В. Колосовым [33], Н. И. Мусхелишвили [44], А. Лявом [38], согласно которым вводятся комплексная переменная z и ее сопряженная z:

являющуюся мнимой частью p'{z), то несложно проверить, что она удовле­ творяет соотношениям Коши — Римана

Ар = Д(<тц + сг22) = Д(Ф,ц + Ф,22) = ДДФ = О,

то обе функции р и q являются гармоническими. Из (2.8.59) и (2.8.60) следует формула

Если обозначить действительную и мнимую части самой функции р:

то, дифференцируя (2.8.63) по г с учетом (2.8.51) и (2.8.61), находим соот­ ношения между р, q и Р, Q:

Используя формулы (2.8.64), можно выразить перемещения щ и г<2 через функции комплексного переменного. Для этого воспользуемся соотношения­ ми Коши (2.8.23а), (2.8.236) и (2.8.23г), в которые подставим определяющие соотношения (2.8.10) для изотропных сред:

154 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями

Здесь учтены соотношения (2.8.48).

Подставляя в первые два соотношения (2.8.66) выражения (2.8.64), полу­ чаем

2 Gu\p = 4(1 - v)V,\ - Фд 1- vA0,

где сщ, г^ю и г^о — константы, определяющие перемещение тела как жесткого целого. Тогда выражения (2.8.68) принимают окончательный вид:

и называются формулами Лява.

Составляя из этих формул комплексную комбинацию и учитывая то, что

Обратимся к граничным условиям в задаче (2.8.49). Используя представ­ ление (2.8.56) для производных Фд и и образуя комплексную величину Ф 1+ 1Ф,2, находим граничное условие на контуре Са:

На части контура Cu, где заданы перемещения, с учетом (2.8.72) получаем граничное условие

2^((3 - 4u)ip(z) - zip'(z) - f3(z)) - uA0z - iwiz+

+ (M10 + i«2o) = (u le + iM2e)- (2.8.74)

Таким образом, задача (2.8.49) свелась к нахождению двух функций ком­ плексного переменного p(z) и £f(z), удовлетворяющих граничным условиям (2.8.73), (2.8.74).

Константы и\ и щ о, що, Що находим из условий (2.8.2) закрепления тела в одной точке (XQ,0), число которых с учетом (2.8.41) равно четырем.

Подставляя (2.8.72) в условие (2.8.2а), получаем

2^((3 - A v ) i p ( z o ) - z 0 L p ' ( z 0 ) - (3( Z Q ) - U A Q ZQ ) + \ ш \ z 0 + и10 + ш20 = u l0 + I U Q ,

Що = uo>

где ZQ = XQ + ixg — комплексная координата точки закрепления; uJQ — коор­ динаты заданного вектора перемещений в точке закрепления.

Вычислим ненулевую компоненту ротора вектора перемещений, используя

Подставляя в это выражение формулы (2.8.57) и (2.8.64), (2.8.60) для Фд2 и <2д = q/4, а затем получившееся выражение в (2.8.26), находим окончатель­ ное уравнение для сщ:

Пример 2.8.1. Рассмотрим применение метода комплексного переменного в задаче Кирше, в которой сечение тела имеет форму прямоугольника раз­ мерами h°{ и h® и содержит круглое отверстие радиусом а с центром в начале координат (рис. 2.8.3). Поверхность отверстия и две противоположные боковые грани х2 = ±Л°/2 тела свободны от нагрузок, а на другой паре боковых граней х 1 = ±Лд/2 задано растягивающее усилие:

х2 = ± /^ /2: од = <Ji2 = 0;

158 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями

Напряжения и деформации в теле в этом случае определяются по формулам

Подставляя выражение для <т3 в условия на торце (2.8.37а), (2.8.376), в

£13 = £23 —0 — в уравнения (2.8.31), а затем проинтегрировать их, то получим следующие выражения для W\, W2 и W3 (определяем их с точностью до перемещений тела как жесткого целого, так как такие перемещения уже учтены в общем представлении перемещений (2.8.32)):

Если рассматривать жесткое закрепление в точке О — в начале коорди­

(в точке О исключаются не только перемещения, но и малые повороты как жесткого целого в плоскостях Оххх2, Ох2х 3). Тогда, подставляя (2.8.32) в

Полученное решение, очевидно, представляет собой суперпозицию реше­

В частности, при чистом изгибе моментом М\ из (2.8.91) и (2.8.96) полу­ чаем следующие выражения для напряжений, деформаций и перемещений:

X1 константу Се называют жесткостью тела при кручении.

Напряжения и деформации в задаче кручения, согласно (2.8.14) и (2.8.10), запишем следующим образом:

Для изотропных сред задача (2.8.104) представляет собой внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Пуассона, при решении которой могут быть эффективно применены методы теории функций комплексного переменного. Для простейших форм сечений И1 тела решение можно получить без приме­ нения специальных методов.

Пример 2.8.2. Для цилиндрического изотропного тела с круговой формой поперечного сечения И1 решение задачи (2.8.104) имеет вид

7 = (G/2)(a2 —г2), г2 = (ж1)2 + (ж2)2 ^ а2, (2.8.109)

где а — радиус кругового сечения. Подставляя это выражение в (2.8.109), убеждаемся, что Wt\ = П72 = 0, и решением задачи (2.8.108) является нулевая функция W = 0.

Вычислим жесткость при кручении кругового цилиндра Се из (2.8.105):

7rGa4

x1