книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

у функций VQQ. Так, если va$(x) отлична от нуля только в некоторой конечной области —х\ ^ х ^ х\, причем внутри этой области она непрерывна, а на гра­

ницах имеется разрыв: \vao(±x\)] = lim vao(x ) Ф 0, то, согласно п. 2.11.3,

X—

решение (2.11.68), (2.11.69) представляет собой ударную волну. Если на границе области возмущения при х = ±х\\ [щ^о] = 0, но [dvao/dx\ ф 0, то решение (2.11.69) является слабой волной. В случае же, когда при х = ±х\: [щ*о] = 0 и [dvao/dx] = 0, решение (2.11.68), (2.11.69) — это гладкая волна.

Отметим, что решение (2.11.68), (2.11.69) удовлетворяет условиям (2.11.43в) на ударной волне, а соотношение (2.11.43а) удовлетворяется тождественно на плоской волне (см. упр. 2 к § 2.11).

Обратим внимание на аналогию решений Даламбера для упругой сре­ ды (формула (2.11.68)) и для идеальной безвихревой жидкости (см. т. 3, § 1.8 формула (1.8.10)). Как и для идеальной жидкости, начальное возму­

мируются две области ненулевых значений скорости v — две независимые волны, которые распространяются поступательно в разные стороны друг от друга без изменения их формы и амплитуды. Такие волны, как было указано в т. 3, § 1.8, называют прогрессивными. Скорости распространения этих волн совпадают с аа.

2.11.6. Свободные колебания упругих сред

Рассмотрим динамическую задачу (2.11.1) для анизотропных ограничен­ ных сред и исследуем случай гладких волн, когда функции начальных данных UQ, VO, граничных данных t ne, ue и плотность массовых сил f являются непрерывно-дифференцируемыми функциями своих аргументов (UQ и ue — дважды непрерывно-дифференцируемыми).

Начнем анализ гладких решений задачи (2.11.1) с частного случая — с задачи с нулевыми граничными условиями и массовыми силами:

J = 0: U = UQ, u = VQ В V.

Начальные данные U Q и V Q будем полагать удовлетворяющими условиям согласования:

Задачу (2.11.70) называют задачей о свободных колебаниях тела V, ее решение u(x,t) обусловлено только начальными данными. Будем искать это решение в виде гладкой волны следующего вида:

п = 1

где А'п, А'^, ип — неопределенные константы (штрихи — здесь просто обо­ значения); U(n)(x) — искомые функции только координат.

Уравнение (2.11.72) определяет так называемую стоячую волну, т. е. ее

форма не меняется со временем, изменяется только амплитуда волны. Функции U(n)(x) определяются формулой (2.11.72) только с точностью до

скалярного множителя, поэтому для определенности можно принять

Подставляя эти выражения в (2.11.70), получаем задачу для вычисления ФУНКЦИЙ U(пу

Отметим, что задача (2.11.77а, б) имеет тождественно нулевое решение U(n) = 0. Однако при некоторых значениях ип могут существовать ее ре­ шения, отличные от тождественного нуля. Такие числа ип ф 0 называют

собственными частотами линейно-упругого тела V, — собственными числами задачи (2.11.77а, б), а функции U(n)(x) — собственными функция­ ми.

Некоторые важные свойства собственных чисел и собственных функций приведены в следующей теореме.

Теорема 2.11.1. Пусть линейно-упругая ограниченная среда обладает по­ ложительным касательным модулем (т. е. для нее выполнены соотноше­ ния (2.4.76) и условие (2.6.87) положительной определенности тензора 4С), тогда

224

Здесь учтены граничные условия (2.11.776) и соотношение (2.11.76), в силу которого

Из (2.11.73) и (2.11.83) вытекает ортонормированность собственных функ­ ций. Если собственному значению сип соответствует несколько собственных функций, то их можно ортонормировать, используя процесс ортогонализации.

Собственные функции U(n) образуют полную систему (см. теорему Гиль­ берта — Шмидта [43]), поэтому любые гладкие функции щ и V Q , удовлетво­ ряющие нулевым граничным условиям (2.11.71), можно представить в виде разложения по собственным функциям.

Подставляя (2.11.74) и (2.11.72) в начальные условия задачи (2.11.70), имеем следующие соотношения:

Умножая каждое уравнение (2.11.84) скалярно на U(n)(x) и интегрируя по V, с учетом (2.11.73) и (2.11.83) получаем соотношения для вычисления

2.11.7. Неравенство Рэлея u метод Рэлея — Ритца

В приложениях часто бывает достаточно ограничиться информацией о первой (низшей) собственной частоте ио\ задачи (2.11.77), если считать, что все собственные частоты перенумерованы в порядке возрастания:

LU\ < LU2 < ids < .. .

Рассмотрим в области V произвольное дважды непрерывно-дифференци­ руемое векторное поле и(х), удовлетворяющее нулевым граничным условиям:

и запишем с его помощью следующее выражение:

Здесь использована формула Гаусса — Остроградского и учтены нулевые граничные условия (2.11.86).

Если и является решением задачи (2.11.77), т. е. совпадает с одной из собственных функций U(n), то со = соп и выражение (2.11.87) можно получить из уравнения (2.11.77а) умножением его на U(n) и интегрированием по V. Если же и — произвольная функция, удовлетворяющая только (2.11.86), то формула (2.11.87) дает значение некоторого функционала, построенного с помощью и.

Поскольку поле и(х) удовлетворяет нулевым граничным условиям, то его можно представить разложением по собственным функциям задачи (2.11.77):

си

Поскольку сип/си1 > 1, то каждый член ряда, стоящего в числителе, боль­ ше соответствующего члена ряда, стоящего в знаменателе, следовательно,

Это и есть искомая оценка (верхняя) для низшего собственного значения сщ, называемая неравенством Рэлея.

Наилучшая оценка будет получена, если рассмотреть минимальное значе­ ние функционала U/Т , т. е. приравнять к нулю вариацию этого функционала:

226 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями

Тогда, если аппроксимировать и конечной системой функций U(n), удовлетво­

Подставляя (2.11.92) в выражение (2.11.88) для U и Т, приходим к следующей системе линейных уравнений относительно ап:

Из условия существования нетривиального уравнения полученной систе­

— алгебраическое уравнение TV-го порядка относительно S2.

Вследствие неравенства Рэлея (2.11.90), наименьший корень этого урав­ нения дает верхнюю оценку для J\. С увеличением N корни этого уравнения будут стремиться к собственным значениям CJ2 при п > 1.

Изложенный метод приближенного вычисления собственных значений на­ зывается методом Рэлея — Ритца.

2.11.8. Вынужденные колебания упругих тел

Рассмотрим общую задачу (2.11.1) для ограниченной области с ненулевы­ ми массовыми силами f и поверхностными нагрузками t ne, ue. Для начальных функций U Q , VQ и поверхностных нагрузок t ne, ue примем следующие условия

Тогда задачу (2.11.1) можно свести к динамической задаче с нулевыми поверхностными нагрузками. Для этого рассмотрим вспомогательную квазистатическую задачу в той же области V с теми же упругими свойствами:

где t ne(x, t), ue(x, t) — те же самые, что и в исходной задаче (2.11.1). Очевидно, что функция w при t = 0 удовлетворяет следующим условиям

где u — решение задачи (2.11.1), a w — задачи (2.11.97), будет решением следующей динамической задачи с нулевыми поверхностными нагрузками:

Из формул (2.11.96), (2.11.98) и (2.11.101) следует, что функции uo и VQ удовлетворяют следующим условиям согласования:

Рассмотрим случай, когда массовые силы и поверхностные нагрузки f, t ne, ue являются полигармоническими функциями по времени:

где ft'k, ftk и (t — заданные векторные поля, зависящие только от х (далее будем использовать обозначение ftk '~ , соответствующее совокупности трех типов полей: n'k, n'k И П)\ иоу > 0 — заданные частоты колебаний.

Задача (2.11.100) уже знакома — это задача о свободных колебаниях под действием начальных данных UQ и VQ — аналог задачи (2.11.70). Поскольку поля и^//,_, в силу (2.11.108) и (2.11.109), удовлетворяют нулевым граничным условиям, векторные поля w^//,_ — граничным условиям (2.11.1076), а поля UQ и VQ, согласно (2.11.96) и (2.11.103), следующим граничным условиям:

Тогда задача (2.11.110) полностью аналогична задаче (2.11.70), и ее ре­ шение строится в виде разложения (2.11.72) по собственным функциям U(n) задачи (2.11.77):

Здесь коэффициенты Af^ f вычислены аналогично формулам (2.11.84).

Задача (2.11.109) — обычная квазистатическая задача линейной теории упругости под действием массовых сил и нулевых граничных условий.

Задачи (2.11.108) похожи на задачу (2.11.77) о собственных колеба­ ниях, однако отличаются от нее тем, что оду — заданные частоты (а сип в (2.11.77) — неизвестные собственные частоты); кроме того, в отличие от (2.11.77), в (2.11.108) имеются массовые силы f^ .

Для поиска решения задачи (2.11.108) введем новые векторные поля и^(х) и и^(х), являющиеся решениями вспомогательных квазистатических задач

где и ^ х ) — некоторые неизвестные векторные поля, для которых, подстав­ ляя (2.11.116) в (2.11.108) и учитывая (2.11.115), имеем следующие задачи:

Векторные поля и^" и и^", являющиеся решением задач (2.11.115), (2.11.117), удовлетворяют нулевым граничным условиям, и поэтому их мож­ но представить в виде разложения по собственным функциям U(n) задачи (2.11.71):

ти непосредственно из (2.11.119а) после решения квазистатических задач (2.11.115) и (2.11.107). Для вычисления коэффициентов о!^к следует под­ ставить разложения (2.11.118) в (2.11.117), тогда при каждом п получим следующую задачу:

+ s;;"v •4с ■•v в и(„, = о,

(2. 11. 120)

I а п к П ’ С • • V (8) u (n)|E(j — 0 ’ и {п) |su =

Здесь суммирование по п не выполнялось.

Учитывая, что U(n) — собственные функции задачи (2.11.77), и сравнивая (2.11.77) и (2.11.120), находим, что о!^ должны удовлетворять следующим

Таким образом, из формул (2.11.99), (2.11.104), (2.11.105), (2.11.116) и (2.11.118) получаем окончательный вид решения задачи (2.11.1) при условиях (2.11.103) на входные данные: