книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред
.pdf§2.10. Оболочки и пластины |
181 |
Из (2.10.62) и (2.10.63) находим уравнения для 71, W\ и U\\
МП |
ттг |
|
Q\ |
тт |
Т\\ |
, |
|
71,1 = чу > |
Щ х = |
-------7 ь |
и ХЛ = |
-=г |
|
||
M l |
|
|
O55 |
|
Оц |
|
|
интегрируя которые, получаем |
|
|
|
|
|
||
о |
1 |
х 1 |
|
|
О , |
ГПи |
v l |
M n d X , |
|
И |
|||||
71 = 7° + т г |
U1 = ^ и + ^ Х |
|
|||||
|
Ml |
|
|
|
Mi |
|
|
х 1 |
|
|
X1X |
|
|
|
|
m = w? +2- |
Q1d X - 7?X 1- l - |
Мп d * ' d_X\ |
|||||
Мб J |
|
|
Mi |
J |
|
|
|
0 |
|
|
|
о 0 |
|
|
|
где f/p 7p W® — постоянные интегрирования.
Вычислим напряжения <тц и (713 в балке, используя (2.10.42), (2.10.62), (2.10.63) и (2.10.44):
(2. 10.66)
(2.10.67)
соотношения
&\ 1 = Сц (ей + Х 3хц) |
С п т о . т г С п м |
Т,° |
1 2 М ц Х 3 |
|
+ х а 7м " |
= Т + |
л5 |
||
|
||||
Мз = 2C55ei3 = Q\/h. |
|
(2.10.68) |
||
Если используется уточненная модель Тимошенко, то, согласно (2.10.57) и (2.10.60), получим другое выражение для сг13:
(713 = |
= 12C55?7ei3 = 6 r)Qi/h. |
(2.10.69) |
Модуль |(jj31 достигает максимального по X 3 значения на срединной поверхности балки при X 3 = 0 ( 7 7 (0) = 1/4):
к 1з|тах = ^ - , |
(2.10.70) |
т. е. значение |сг131, полученное по уточненной модели Тимошенко, в 1,5 раза больше значения |сг131, вычисленного по классической модели Тимошенко.
Рассмотрим несколько типичных граничных условий.
А. Изгиб равномерным давлением консольной балки. В этом случае граничные условия имеют вид
X 1 = 0: |
?7i=0, |
7i = 0, |
W = 0 |
(жесткое защемление); |
|
X 1 = I: |
Т\\ = 0, |
М\\ = 0 , |
Q\ = 0 |
(свободный край); |
(2.10.71) |
Ме1 = 0, Fe3 = Ар = const (равномерное давление). |
|
||||
Тогда, интегрируя (2.10.65), находим |
|
|
|||
7 = 0, |
Qi=Q°x + A p X l, |
М и = M [>+ Q?X1+ А^ ‘)2. |
(2.10.72) |
||
Подставляя эти выражения в граничные условия (2.10.71) на свободном торце, находим Q® и М® и окончательные выражения для М\\ и Q\:
§2.10. Оболочки и пластины |
185 |
w = - |
А рХ х |
1 |
(С + ( Х 1)3 - |
1\2л |
I —X х |
2 |
|
2 (Х 1)2) + |
С55 |
||
|
V12Пц v v 7 |
v / / |
|||
Прогиб достигает максимального значения в центре балки:
4Сп ( h \ 2
(2.10.85)
(2. 10.86)
32С]|Л3 ^1 + 5C i 5 \ l )
оно меньше, чем соответствующее значение (2.10.74) прогиба консольной балки.
Изгибное и касательное напряжения находим по формулам (2.10.68),
(2.10.69) и (2.10.84): |
|
СГЦ = 6АрХ 3Х х( Х х - I), С13 = |
6Ар |
Изгибное напряжение |сгц| достигает максимального значения в центре балки X х = 1/2 на боковых поверхностях X 3 = ± h / 2, а касательное напря
жение — на торцах X х = 0,1 на срединной поверхности X 3 = 0: |
|
|||||
, |
, |
A |
h v |
ЗАр ( I |
к 13|тах = ^ ( { ) . |
(2-10.88) |
' |
ХХ|тах = |
^"11 ( 2 ’ |
2*) = |
4 \ll ) \ |
||
Эти значения также меньше соответствующих значений (2.10.76).
Г. Изгиб шарнирно-опертой балки массовой сосредоточенной силой.
Граничные условия и внешние нагрузки зададим следующим образом:
X l = 0,1: U i= 0, |
W = 0, |
М\\ = 0 , |
|
||
Ар = 0, |
Mel = 0, |
Т еЪ = Р5{Хх - 1-), |
(2.10.89) |
||
|
х 1 |
|
(р , |
X 1 > 1/ 2 , |
|
т. е. |
Xe3 (X)dX |
|
|||
[0, |
X х <1/2, |
|
|||
|
о |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(нагрузка Р связана с компонентой JFe3 вектором внешних сил JFe3 = —РЪ). Зададим нагрузку JFe3, приложенную в точке 1/2, в виде 5-функции (см.
т. 1, п. 3.7.1). Подставляя выражение для JFe3 (2.10.89) в (2.10.65), получаем
Qx = A°x + P H { X x- 1-), |
M n = M 0x+ Q°xX x+ P ( X x- -l ) H ( X x- |
-1), |
(2.10.89а) |
|||
где |
|
|
1, |
X х >1/2, |
|
|
Н (Х ' |
- -1 |
|
|
|||
0, |
X 1 < 1/ 2 , |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
— функция Хевисайда. |
|
|
|
|
|
|
Подставляя (2.10.89а) |
в граничное условие для М\\, находим М р Q® и |
|||||
окончательные выражения для М\\ |
и Qi: |
|
|
|
||
Qx= - p h - H ( X x- 1-)), |
M xx= |
- A x x- ( 2 X x- l ) H ( X x- |
1-)). |
(2.10.896) |
||
§2.10. Оболочки и пластины |
187 |
С учетом формул из упр. 3 к § 2.6 получаем, что на самом деле различие
между Е\ и С\\ = |
—z/23^32) невелико, если значения коэффициен |
тов Пуассона |
много меньше 1. Поэтому говорят, что модель растяжения |
балки (стержня) дает правильное значение, если можно пренебречь эффекта
ми Пуассона. Для многих ортотропных сред значения |
обычно близки к |
0,1 и балочная модель является достаточно точной. |
|
Для изотропных сред, у которых v имеет значение 0,3-0,4 (например, для металлов и сплавов) точность балочной модели ниже. □
2.10.11. Пластины
Для пластин, представляющих собой плоские оболочки, в декартовых координатах Х г = хг имеем
А х = А 2 = 1, h = h = 0. |
(2.10.93) |
Тогда уравнения системы (2.10.26), (2.10.41), (2.10.43) принимают следую щий вид:
2 2 2
У ^ Тд(3,(3 + F e a = 0 » У ^ Мз/3,/3 Q a + М еа = 0, Q(3,(3 + ^еЗ = 0, О; = 1,2,
/3=1 |
|
(3= 1 |
|
/3=1 |
(2.10.94) |
— уравнения равновесия; |
|
|
|||
|
|
|
|||
|
2 |
|
2 |
|
|
T-OLOL |
УУ |
Маа |
^ ^ Рд(3к а(3? |
2б70_а^_аваз, |
СУ 1?2, |
|
/3=1 |
|
/3=1 |
|
|
|
|
Т12= 2(7ббе12, М]2 = 2D66X]2 |
(2.10.95) |
||
— определяющие соотношения для прямолинейно-ортотропной среды; |
|||||
|
= 2 (^ч/з Т Upfa), |
^а(3 — 2 (Та,/з + Т/з,ск)5 сц Д = 1 >2, |
(2.10.96) |
||
— кинематические соотношения.
Граничные условия к системе (2.10.94)—(2.10.96) сохраняют вид (2.10.50). Совокупность уравнений (2.10.94)—(2.10.96), (2.10.50) называют задачей теории плоских пластин.
Если на контуре С оболочки заданы ненулевыми только перемещения Uea и усилия Т^а, т. е. граничные условия выбираем по одной из следующих пяти
пар (2.10.50): |
|
(Uea,TZa), (0,0), (0,0), (0,0), а = 1 , 2 , |
(2.10.97) |
то решение задачи теории пластин (2.10.94)—(2.10.97) ищем в виде
188 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями
W = О, 7а = |
О, Ма(3= 0 , |
Qa = 0, к а(3= 0 , |
Uа ф 0, Тар ф О, ва/Зт2^ О |
|
и сводим к задаче |
|
(2.10.98) |
||
|
|
|||
2 |
Та(3,(3 + Fea = О, |
|
|
|
/3=1 |
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таа |
= |
Z) Сск/З^а/З, |
Т12 —2 Сб6е12? |
(2.10.99) |
< |
|
/3=1 |
|
|
еск/3 |
= |
(1 / 2)(C^QJ,/3 Н” U(3,a)i |
|
|
Си\ |
|
|
2 |
а =1, 2, |
и а = и ае] Са: Т , п'втар = Тпа> |
||||
|
|
|
/3=1 |
|
которую называют задачей об обобщенном плоском напряженном состо
янии, |
поскольку ее |
решение |
и а(хТ) зависит только |
от двух переменных |
х 1, а |
ее постановка |
(2.10.99) |
формально совпадает с |
постановкой плоской |
задачи в перемещениях (2.8.47) с точностью до замены: Ua —►иа, еа/з —►£а/з>
Faf3 >Оарч Fa /3 >Caf3.
Следовательно, для решения задачи (2.10.99) могут быть применены ме
тоды решения задачи о плоской деформации. |
|
|
|
В частности, если |
массовые силы потенциальны, т. е. Fea = |
—х >а, то |
|
можно ввести функции напряжений Ф(ж7): |
|
|
|
Т\\ = Ф,22 — |
^22 = Ф,11 “ X’ |
^12 = “ Ф,12> |
(2.10.100) |
после чего уравнения равновесия в (2.10.99) будут тождественно удовлетво рены.
Для определения Ф в этом случае следует использовать двумерное урав нение совместности деформаций
011,22 + е22,112в12Д2 —О, |
(2. 10. 101) |
которое является очевидным следствием кинематических соотношении в (2.10.99) . Запишем соотношения, обратные к определяющим соотношениям (2.10.99) :
|
2 |
|
|
|
|
Оскск Е ВарТрр, |
е12 = 2 В ^ Т \2 , |
(2.10.102) |
|
|
/3=1 |
|
|
|
где Вар вычисляем по формулам |
|
|
|
|
|
Baf3 —Bap/h |
|
|
|
С22 |
с хх |
В\2 = — |
Сх2 |
(2.10.102а) |
В и = |
£>22 = |
|
||
0^11022— 0у12 |
0у ц О22— 0у12 |
|
|
^ 1 2 |
Подставляя их вместе с (2.10.100) в (2.10.101), получаем уравнение для Ф, формально совпадающее с (2.8.45):
§2.10. Оболочки и пластины |
189 |
#22^,1111 + 2 ( Б 12+ # б б ) Ф ,П 2 2 + В \ \ Ф 2222 — ( В \ \ + В \ 2) х , 2 2 + (# 1 2 + |
^22)Х,11* |
|
(2.10.103) |
В частности, для изотропных пластин из (2.10.103) для Ф имеем бигармоническое уравнение (2.8.53) (при х = 0), для решения которого могут быть использованы методы теории функций комплексного переменного.
2.10.12. Круглая пластина
Рассмотрим случай, когда пластина обладает цилиндрической ортотропией (см. и. 2.8.1) с осью О Х 3 цилиндрической ортотропии. В этом случае модули упругости Сг^ы в декартовой системе координат зависят от коорди нат х \ поэтому вместо постановки (2.10.93) удобнее использовать систему (2.10.26), (2.10.41), (2.10.43) в цилиндрических координатах X 1= z, X 2 = ф,
X 3 = г, тогда |
|
|
А х = 1, A 2 = r, |
k1 = k 2 = 0. |
(2.10.104) |
Если пластина круглая (0 < г < г\), |
а нагружение |
ее осесимметричное, |
т. е. не зависит от угла ф, то уравнения системы (2.10.26), |
(2.10.41), (2.10.43) |
принимают следующий вид: |
|
' 2-{rTn ) - T 22 + FeX = 0 , |
|
< |- ( r M ii) - M 22 - r Q i + M ej = 0 , |
(2.10.105) |
^( r Q i ) - r F e3 = 0,
—уравнения равновесия;
Таа= Са\е\\ + С а2 &2 2 , |
Маа= Da\x\\ + Da2 ^ 2 2 |
(а =1,2), |
Qi = 2C55ei3 |
|||
— определяющие соотношения; |
|
|
|
(2.10.106) |
||
|
|
|
|
|||
dU1 |
U\ |
dji |
7i |
0 |
dW |
/0 , n , n7x |
<зц = —j—, |
e22 = — , |
Щ \= ~ г , |
Щ2 = — > |
2ei3= |
— |
+ 7i (2.10.107) |
dr |
r |
dr |
r |
|
dr |
|
— кинематические соотношения, в которых Таа, Маа, Qi, еаск, хаа, ei3 и С/i, ЕЕ, 7i зависят только от г, а остальные функции равны нулю:
Т12 = 0, М 12 = 0, |
Q2 —0, |
72 = 0, |
ei2 = 0, |
х 12 = 0, |
е2з = 0. (2.10.108) |
||
Проинтегрировав третье уравнение в (2.10.105), получим |
|
||||||
|
Q, = |
«?+ i |
Fe3 (rf)rf dr . |
(2.10.109) |
|||
|
|
Г |
г |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя кинематические |
соотношения |
(2.10.107) |
в (2.10.106), |
а те, |
|||
в свою очередь, — |
в первые |
два уравнения |
равновесия |
(2.10.105), |
имеем |
||
