Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4628 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
19.11.2023
Размер:
41.7 Mб
Скачать
☆

 

§2.10. Оболочки и пластины

 

191

прогиб:

 

 

 

 

 

W =

+ — (i

-

— ) +

-

(2.10.117)

 

64 D u \ + B? V

 

R2) + CK R2V

 

R2

Прогиб достигает максимального значения в центре пластины:

(2.10.118)

16Cn /i3 v ' ЗС44

Для достаточно больших пластин (h/R <С 1) вторым слагаемым в скобках можно пренебречь.

Подставляя (2.10.116) в (2.10.107), находим искривление:

XI1=

A pR2 /З г 2

,

Х22 Др'!- ( ‘ - Ц

(2.10.119)

I — -

1

 

16DU \ R 2

V ’

I6A 1

 

тогда соотношения (2.10.106) позволяют вычислить моменты:

м " = ^ ( Р

+ Д 7 ) г 2 -

л2(1 + Д 7 ) ) ’

 

М22 = ApDn

3 + т г У 1

-

Я2(1 + (г Ч )-

(2. 10. 120)

l6 Dn Vv

' Di27

 

v ' D12 J

 

Эпюры перерезывающей силы Q\

и моментов М\\

и М22 для пластины

приведены на рис. 2.10.11.

Напряжения оаа в пластине находим из соотношений (2.10.42):

&аа= z{Ca\Щ\+ Са2X22) =

 

((3 +

R2(1 + уг^)) > « = 1,2,

 

1о Т'п Vх

' J

 

 

 

(2. 10. 121)

а касательное напряжение — из соотношения (2.10.57):

сг1з = \2Съъехъф ) =

6r](z)Qi

М

(2. 10. 122)

 

h

\hJд ( \\4

Напряжения оаа достигают максимальных значений на краю пластины

(г = R,

z = h j2) в зоне жесткой

заделки,

а касательное напряжение <713 —

также на краю пластины, но на срединной поверхности (z = 0):

 

сгп

(

h\

_

3APCai /Д \ 2

_

.

_ 3

/Д \

<raa[R,

2)

-

4Си

( h ) ,

а - 1 ,2 ,

k 13|max- 4 A P ( h )-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.10.123)

2.10.13. Осесимметричные оболочки

Важным для практических приложений является случай осесимметрич­ ных оболочек. Такие конструкции, как цистерны, резервуары, трубопроводы, корпуса ракет, корпуса двигателей, фюзеляжи самолетов и др. (рис. 2.10.12), могут представлять собой осесимметричные оболочки, для которых средин­ ная поверхность HQ является поверхностью вращения (см. т. 1, упр. 11 к §3.2).

§2.10. Оболочки и пластины

193

Введем дополнительно угол id(s) наклона образующей кривой г = f(z) к оси Oz, отсчитываемый по часовой стрелке (см. рис. 2.10.13, б), тогда

COS id = r/i?2 = 1 / у 1 + / /2 ,

sin = —л /1 —cos2 = —f j \ + / /2 = —dr/ds,

did

d s

1 d

n

v7! + / /2

d

(

f

)

\

\d z

f"

--------sindds

COS U==---------------

/ '

^

----

+-----------/ /2 / ^

= -----= ——

 

^ 1

 

+ //2)3

A2 i = dr/ds = —sin'??.

1

# i ’

(2.10.126)

Здесь во второй формуле перед корнем выбран знак «—», поскольку, в силу выбора угла $, положительные значения угла ddсоответствуют отрицательным значениям угла наклона касательной к кривой f(z).

Рассмотрим осесимметричное

нагружение осесимметричных

оболочек,

т. е. когда компоненты входных данных задачи по координате X 2 равны нулю

(либо отсутствуют):

 

 

и е2 = 0, Тпе2 = 0, 7е2 —0,

М еп2 = 0, Ме2 = 0, Fe2 = 0,

(2.10.127)

а их компоненты по координате X х могут зависеть только от X х = s. Тогда решение задачи (2.10.26), (2.10.27), (2.10.41), (2.10.43), (2.10.50) также яв­ ляется осесимметричным, т. е. компоненты [/2 и у2 — нулевые, а 71, U\ и VP зависят только от s:

Т/2= 0 , 7 2 = 0 ; W, Ult 7 i II 5 . (2.10.128)

Подставляя (2.10.128) в (2.10.26), (2.10.27), с учетом (2.10.124)-(2.10.126) имеем

dU\ Т ттт

е22 =

~(W cos'd —U\ sin'??),

(2.10.129a)

еп = -3— Ь k\W,

ds

 

г

 

'Vi

 

Xi 1 = d7i/ ds,

x 22 =

(2.10.1296)

-----sind,

 

 

 

 

r

(2.10.129B)

 

2ei3 =

dW/ds,

X12 = 0,

ei2 = 0,

е2з = 0

Г2.10.129г)

— кинематические соотношения в данной задаче.

Подставляя (2.10.129) в (2.10.42), находим ненулевые определяющие со­ отношения в осесимметричной задаче:

Т а а = С а \е\ \ + Са2е22, OL = 1,2,

 

Маа = Da\K\\ + Д*2х 22, Qi = 2(755в13.

(2.10.130)

Подставляя (2.10.130) в (2.10.124)—(2.10.126), получаем уравнения равно­ весия:

^ ( г Т п ) + Т22 sin d +

+ r ^ei = 0 ,

194

Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями

 

 

j( r M n ) + M22sini?- ^-Q \ - r M eX = 0 ,

 

 

as

R \

 

 

i s {rQx) - r ( | f

+ I f ) - r(-Ap - F*d = °-

(2.10.131)

После подстановки (2.10.129)—>(2.10.130)—>(2.10.131) имеем систему трех уравнений второго порядка относительно трех функций W, 71 и U\ одного переменного.

Граничные условия к этой системе следуют из (2.10.50) и сводятся к заданию одной функции из следующих трех пар:

(UeuTZt) {We,Qen) b e u K i)>

(2.10.132)

величины в которых определяются по (2.10.45)—(2.10.48).

Рассмотрим частные случаи решения представленной выше задачи.

2.10.14. Безмоментное осесимметричное нагружение

Найдем приближенное решение задачи, когда отсутствуют моменты и перерезывающая сила:

Меi = 0 , М ц = М 22 = 0, Qe = 0.

(2.10.133))

В этом случае приходим к следующей системе уравнений равновесия:

dTn + (Т22 -

Т\ 1) sin 'в =

- r F e{,

(2.10.134)

ds

 

 

 

Т22 - -Й2-^еЗ — Н\ 1’

Fe3 = А р ~

Fe3,

(2.10.135)

 

которую решают методом В. В. Новожилова.

Подставляя первое уравнение из (2.10.135) в (2.10.134) и умножая левую и правую части результирующего уравнения на cos#, приходим к следующему уравнению для Т\\\

г c o s # ^ -1- —sin#(cos#5^ + cos#)Тп = —(r cos#Tei —R 2 cos#sin#Te3).

(2.10.136) Учитывая (2.10.126), проведем замену R 2 cos# = г, тогда левая часть этого

уравнения представляет собой производную от функции Tnrcos#:

^-(Tnrcos#) = —r(cos#Tei —sin#Te3).

(2.10.137)

Интегрируя это уравнение, находим Тц, а из первого уравнения в

(2.10.135) - Т 22:

 

Тп = ~ ^

r{Fe1cos# - Те3 sin#) ds - A i),

R2 cos # V.

/

«о

 

 

§2.10. Оболочки и пластины

195

1

^ r(Fe1cos'# —Fe3 sin#) ds — A\^j —i?2^ e3>

(2.10.138)

Т22 = -=■

R \ cos^ # V

 

 

So

 

где A\ — постоянная интегрирования.

 

Полагая Тц

и Т22 известными с точностью до константы А\

и подставляя

их в (2.10.130), а затем в (2.10.129), получаем систему двух уравнений относительно W и U\:

d U x |

W

W

sin#

ds

+ В 12Т22),

Ж

Ui ~j^ ( B \ 2 T \ 1 + B 22T 22),

R \

 

(2.10.139)

где Bap — коэффициенты из (2.10.102a).

Подставив второе уравнение из (2.10.139) в первое и поделив результиру­ ющее уравнение на cos#, приходим к следующему уравнению для U\\

 

 

 

 

1

dU\ ^

R2

sin#

U\ _ g

, .

(2.10.140)

 

 

 

 

cos#

ds

R \

cos#

r

 

 

 

 

 

 

 

 

а д

 

 

 

 

 

 

 

 

Левая

часть

уравнения

(2.10.140) с учетом того, что

= 1/cos# и

d'djds = \/R \, представляет собой производную от функции U/ cos#:

 

 

 

 

 

£ ( = * ) = * < * > •

 

<2 ' ю ' 141>

Интегрируя это уравнение, находим U\, а из второго уравнения в

(2.10.139)

-

W:

 

 

 

 

 

 

 

 

cos'd

 

 

 

Д* R

^2 г>

R2 ГТ1

 

R2 о

I ^ F e3)ds + A2y

U1=

 

m

1

(Sis

 

>---Щ1

 

Sо

 

 

Ж 12

Ж

22‘ Г

 

ж 22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1C =

—

 

Th + ^ ( ( в 12 -

^ В

22)Тп - B22R2 Fe3),

(2.10.142)

 

 

cos#

a

 

R 1

 

 

 

 

где Л.2 — постоянная интегрирования.

Отметим, что поскольку моменты в данном случае отсутствуют, то из (2.10.131) и (2.10.1296) следует, что в оболочке 71 = 0. Не удается удовле­ творить только уравнению (2.10.129в), так как Q\ = 0, но, вообще говоря, dW/ds ф 0. Поэтому соотношением (2.10.129в) в безмоментной задаче прене­ брегаем, хотя в некоторых частных случаях, когда W = 0 (см. далее), в этом

нет необходимости.

 

 

С учетом того, что к аа = 0, из (2.10.42а)

и (2.10.130)

находим напряже­

ния оас*:

 

 

Octet Taa/h, а =

1,2.

(2.10.143)

§2.10. Оболочки и пластины

199

Поскольку перемещения и деформации оболочки представлены в виде (2.10.21) и (2.10.25), то вариации перемещений и деформаций имеют вид

5иа = SUa + хЧ'уа, 5щ = SW,

(2.10.160а)

S£ij = Seij + X 3SKij,

(2.10.1606)

причем езз = К33 = каз = 0.

Подставляя выражения (2.10.1606) в функционал (2.10.158), преобразуем интеграл в левой части этого уравнения:

Г*

9

Л

 

2

Л

 

 

 

^

 

^

 

 

ai2 Se{2 dV+

а • • <5e(u) dV = Е

Оаа $еаа dV +

 

 

сгааХ 3 5каа dV + 2

У

а=1 У

 

а=\ V

 

 

V

 

 

 

+ 2

а 12Х 3 SK12dV + 2 j 2

 

ааЗ $еаЗ dV.

(2.10.161)

 

 

 

v

 

 

а=\ У

 

 

 

 

 

 

 

h/2

 

 

 

Поскольку

для

оболочки J / dV

=

 

J dq%J J f A \A 2 dq\dq2, то и з

(2.10.161) получаем

 

У

 

—h/2

E0

 

 

>

h/2

 

 

9

 

h/2

 

 

 

 

 

 

 

a • • Se(u) dV =

a=\

 

 

 

a= 1

aaax 3dx3+

у

 

-/I/2

 

 

-h/2

 

h/2

 

h/2

 

 

 

 

 

 

 

+ 2 S e 12 CTJ2 cLE3+ 2<5KI2

C 12<?3 d X 3+ 2

 

Se,0:3

оаЪХ ъ dX^jA i A 2 d X ld X 2,

-h/2

 

-h/2

a=l

V

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.10.162)

где HQ — срединная поверхность оболочки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя формулы (2.10.28) для усилий Tajg, моментов Мар и перерезы­ вающих сил Qa, выражение (2.10.162) можно представить в виде

 

 

2

 

2

 

 

ст• • 6s(u) dV =

 

(ET~fcаа + ^

^ Маа Shiаа + 2Т\ 2 Se12+

 

 

у

 

a=i

а=\

 

 

 

 

 

2

 

 

 

+ 2М12 5к12 + 2 ^

5еа^ А {А2 d X xd X 2.

(2.10.163)

 

 

 

tt=l

 

 

Преобразуем второй интеграл в (2.10.158):

 

 

t ne • SudYi =

t^e • 5udH +

t ne • SudYi + t ne • SudYi.

(2.10.164)

 

Xx1

X+

 

s -

 

 

Здесь вся поверхность

разбита

на

три части: торцевую

где

задан

вектор напряжений \1пе

(граничное условие (2.10.196)), внешнюю И+:

{X3 =

200

 

Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями

 

= h j2}

и внутреннюю

£

:

{X3 = —h j2},

на

которых, согласно

(2.10.17),

задано давление t ne = —р±п

(х Е £ +, £ _). Тогда

 

 

t пр •

=

—

• 5ud£ = =F

р± dWdYt.

(2.10.165)

 

£±

 

 

£±

 

S0

 

Здесь учтено, что п • ди = =Ь5г^з = ±5И7 для £ ± .

 

Интеграл в (2.10.164)

по торцевой поверхности £^ запишем следующим

образом:

 

h / 2

 

 

9

h / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

г,

 

 

 

С

' <5ucE =

 

Ц е • Sud sd X 3 = У /

 

tneaSua d X 3 ds+

 

S71

 

L —Л./2

 

 

a=l' L - h

/ 2

 

 

 

h / 2

 

 

2

ft/2

 

 

 

 

 

 

 

t' „ dX 3SUa ds+

 

 

+

4 e 3 <^3

ds = Y_l

 

 

 

L - h / 2

 

 

a=1L - h / 2

 

 

 

 

h / 2

 

 

 

h / 2

 

 

+

 

t'ne3X 3 dX 3 d ja ds +

 

t'ne3 d X 3 SW ds,

(2.10.166)

 

 

L - h / 2

 

 

 

L - h

/ 2

 

где L — контур (2.10.18a), ограничивающий срединную поверхность оболочки EQ; ds — элемент дуги этого контура; t'nea и tne3' — проекции вектора напряжений t'ne на оси О Х а (а = 1,2) и О Х 3 соответственно.

Воспользуемся граничным условием (2.10.196) для преобразования инте­ гралов во второй строке формулы (2.10.166):

h / 2

 

3 h / 2

2

 

d X 3 SUa =

 

OajUj d X 3 SUa = ^

T a p n 'p 8 Ua = T n a SUa,

- h / 2

i ~ X - h / 2

/3=1

 

 

 

h / 2

2

H2

 

 

 

 

 

t'neZ 8u3 Sja ds = £

<7a p X 3 dX 3 n'p S-/a = ^

Ma/3np S^a = Mna S-/a,

- h / 2

/3=1 - h / 2

/3=1

h / 2

2

h / 2

2

 

t'ne3 d X 3 SW =

 

aa3 d X 3 na SW = ^ 2 Q ana SW = Qn SW на ET.

- h / 2

a = l - h / 2

a = l

(2.10.167)

 

 

 

 

Здесь учтено, что на торцевой поверхности £^ вектор нормали п имеет нуле­ вую компоненту: nfs = 0, а также заданы усилия, моменты и перерезывающая сила на торце оболочки:

2

2

2

 

^ 2 т а/3 п/з = Тпа,

У Марпр = Мпа,

y Q ana = Qn на

(2.10.168)

/3=1

/3=1

а=1
Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности