книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред
.pdf§ 2.2. Постановки основных задач линейной теории упругости |
51 |
условие первого рода. Если же задан вектор усилий t ne или тепловой поток qne, то говорят, что это граничное условие второго рода.
Если тело В\ является идеальной жидкостью, то, как было отмечено в (т. 2, §4.5.3) на некогерентной границе £ контакта с твердым телом имеют место соотношения (т. 2, (4.4.19)-(4.4.24)). Для случая малых деформаций твердого тела при дополнительном допущении о гомотермичности поверхно сти £ из этих соотношений снова следуют граничные условия (2.1.80) или (2.1.81), если обозначить T n2 = сгп2, Тт/2 = <J TI 2, а также t n\ = —рщ.
Замечание 2.1.4. Возможен случай, когда те или иные граничные условия (2.1.78), (2.1.79)—(2.1.82) формулируют только на определенной части поверх ности £* области V2 (см. § 2.2). □
Замечание 2.1.5. Указанные выше типы граничных условий соответствуют ограниченной области V. Однако в механике деформируемого твердого тела рассматривают и такие задачи, когда V имеет бесконечно-удаленные точки (например, полупространство). В этом случае на бесконечности ставят допол нительные граничные условия, обычно сводящиеся к условию ограниченности решения. □
§ 2.2. Постановки основных задач линейной теории упругости
2.2.1. Динамическая связанная задача термомеханики
Рассмотрим основные задачи механики деформируемого твердого тела (МДТТ) для тел с малыми деформациями.
А. Пусть имеется область V с поверхностью £, которая состоит из частей
Еа, Еи, Eg, Ев и E'(t), причем
Е = Еа U Еи U E'{t) = S ? U S e U E'(t), |
(2.2.1) |
тогда постановка динамической связанной задачи термомеханики дефор мируемого твердого тела имеет следующий вид:
|
|
(2.2.2а) |
|
|
(2.2.26) |
|
|
(2.2.2в) |
|
|
(2.2.2г) |
|
<7 = |
<х(е, в), |
О |
Г] = у{е,в), |
|
х <Е V U Е, t > 0: |
|
(2.2.2д) |
|
w* = w*(e, в), |
|
q = -Л • V0;
52 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями
х <Е So-, |
t > 0: |
п ст= tne; |
(2.2.2e) |
|||
х € |
t > 0: |
u = ue; |
(2.2.2ж) |
|||
x <E Eg, |
t > 0: |
n • q = qe\ |
(2.2.2з) |
|||
x e S j , |
t > |
0: |
в = ве; |
(2.2.2и) |
||
pD(v - |
Ve) + |
П • СГ - tne + С2E = 0, |
|
|||
|
|
2 |
2 |
+ n • cr • v — |
(2.2.2K) |
|
x 6 Е7(£), t > 0: < pD(Ae + Г— ^ |
||||||
|
- tne • ve - |
(n • q - |
О |
|
||
|
qe) + CZT, = 0; |
|
||||
X € £'(*), t > 0: |
|
|
о |
(2.2.2л) |
||
(df/dt) + D \ v f \ = 0; |
||||||
x € V, t = 0: |
в = 6*o(x), |
u = u0(x), |
v = v0(x); |
(2.2.2м) |
||
x |
e S'(0), t = 0: |
/ = |
/o (x ) |
(2.2.2H) |
||
относительно пяти скалярных функций (после подстановки соотношений (2.2.2в)-(2.2.2д) в остальные соотношения (2.2.2)):
0(х, £), и(х,£) |
х G V U £, |
£ ^ |
0; |
/(х, £) |
x G S ' , £ ^ |
0. |
(2.2.3) |
В систему уравнений (2.2.2) включено уравнение движения (2.2.2л) по движной части поверхности £(£), являющееся частным случаем общего урав нения (т. 2, (4.7.86)) при малых деформациях. Условия (2.2.2м), (2.2.2н) называют начальными условиями.
Если какая-либо из частей поверхности £ отсутствует, то отсутствуют и
соответствующие ей граничные условия в (2.2.2). Функции |
|
|
О |
О О О |
(2.2.4) |
0.1711 t ne, Ue, 9e. 0e> Ve, ee, |
C*2E > С'зе и D, 0O, u0, v0, f0 |
|
в системе (2.2.2) являются заданными и называются входными данными задачи.
Термин связанная задача отражает тот факт, что уравнение изменения энтропии (2.2.26) не может быть в постановке (2.2.2) решено отдельно от остальных — «механических» уравнений (2.2.2а), (2.2.2в) и (2.2.2г), и наобо рот. Действительно, в силу (2.2.2д), энтропия у зависит не только от «своей» переменной — температуры в, но и от «чужого» тензора деформации е, и на оборот, тензор напряжений стзависит не только от е, но и от температуры в.
2.2.2. Динамическая задача МДТТ
Если рассматривают только изотермические процессы, когда во всей обла сти V при всех £ ^ 0 температура остается постоянной: в = во, то уравнение
§ 2.2. Постановки основных задач линейной теории упругости |
53 |
(2.2.26) изменения энтропии и соответствующие ей граничные и начальные условия, определяющие соотношения и уравнение (2.2.2л) исключают из системы (2.2.2). В результате получим постановку динамической задачи МДТТ (несвязанной):
|
XG У, t > 0: р (dv/dt) |
= V |
• а + pf; |
|
' du/dt = v, |
|
|
х G V U Н, |
t > 0: < в = (1/2)(V ® u + V ® u T), |
||
|
^ = * (£); |
i > |
0: u = ue; |
х G На, t |
> 0: п • cr = t ne; |
||
х G V, t = 0: ( U = U0’ v = v 0.
Здесь <x(e) = <x(e,0o) — оператор, не зависящий от в.
(2.2.5a)
(2.2.56)
(2 .2 .5 B )
(2.2.5r)
(2.2.5д)
(2.2.5e)
(2.2.5ж)
2.2.3. Задача теплопроводности в твердом теле
Наоборот, если во всей области V при t ^ 0 напряженно-деформированное состояние отсутствует, т. е. е = 0, сг = 0, то из системы (2.2.2) получаем
постановку задачи теплопроводности в твердом теле:
pcv (дв/ЭЬ) = V- ( A- V0) + pgm, |
X G H, £ > |
0; |
(2.2.6а) |
|||
—n • Л • V0 = qe, |
x G Hg, £ > 0; |
|
(2.2.66) |
|||
в = ве, |
x G H#, |
£ > 0; |
|
(2.2.6B) |
||
—n • Л • V 0 = qe + pDAeo + Сз^, |
x G ? , £ > |
0; |
(2.2.6r) |
|||
(d//d£) + Ь |
I V /| |
= 0 , |
|
X G S', £ > 0; |
|
(2.2.6д) |
в = во, / |
= /о, |
i = |
0, XGV. |
|
(2.2.6e) |
|
Здесь Aeo = e(0, 0) —e e и r/(0) = r/(0, 0), а также учтено, что зависимость у от температуры в для большинства реальных тел представляет собой обычную функцию, и поэтому можно ввести теплоемкость твердого тела cv при нулевых деформациях:
cv(9) = 9 |
^ . |
(2.2.7) |
Уравнение (2.2.6а) называют уравнением теплопроводности. |
|
|
В случае, если подвижная часть X/ |
поверхности тела Н |
отсутствует, |
то уравнения (2.2.6г), (2.2.6д) исключаем из системы (2.2.6) и получаем классическую задачу теплопроводности:
°pcv (дв/dt) = V • (А • V0) + pqm, х G V, £ > 0; |
(2.2.8а) |
54 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
|
||
|
—п • Л • V0 = qe, х G Eg, t > 0; |
( 2.2.86) |
||
|
в = ве, |
х G Е#, |
£ > 0; |
(2.2.8в) |
|
в = 9Q, |
х G ТД |
£ = 0. |
(2.2.8г) |
2.2.4. Модель недиссипативных процессов
Определение 2.2.1. £с./ш в уравнении изменения энтропии (2.2.26) ире-
небрегают вкладом функции рассеивания w*, то говорят, что принята модель н е д и с с и п а т и в н ы х п ро це ссо в .
Обычно модель недиссипативных процессов принимают, когда напряжен
но-деформированное |
состояние твердого тела, т. е. сг(£,х) |
и е(£, х), изме |
|
няется относительно |
медленно. Для идеальных сред |
= 0, и |
процессы |
деформирования всегда являются недиссипативными. |
|
|
|
Диссипативными |
являются, например, процессы интенсивного |
цикличе |
|
ского нагружения, ударные волны.
Если процессы в твердом теле являются недиссипативными, неизотерми ческими и можно пренебречь зависимостью энтропии у от е, то система (2.2.2) становится несвязанной и распадается на задачу теплопроводности (2.2.6) и задачу МДТТ (2.2.5), в которой определяющие соотношения следует выбирать для общего неизотермического случая а = в). Обычно при этом сначала решают задачу теплопроводности (2.2.6) — находят температурное поле 0(х, t) B V Vt, а затем решают задачу МДТТ (2.2.5).
2.2.5. Квазистатическая задача МДТТ
Часто в механике твердого тела рассматривают модель квазистатических (т. е. относительно медленных) процессов.
Определение 2.2.2. Если в системе уравнений (2.2.5) пренебрегают инер ционным членом p(dv/dt) по сравнению с V • сг, то говорят, что принята модель к в а з и с т а т и ч е с к и х п р о ц е с с о в в деформируемом твердом теле.
Условия, при которых можно принять модель квазистатических процессов, определяются входными данными задачи (2.2.5) — функциями t ne{t), ue(t) и u0, v0.
Для квазистатических процессов постановка квазистатической задачи
МДТТ в перемещениях имеет вид |
|
V • о- + pi = 0, |
(2.2.9а) |
сг = <х(е), |
(2.2.96) |
е = (l/2)(Vcx) u + V(g>uT), |
(2.2.9в) |
§ 2.2. Постановки основных задач линейной теории упругости |
55 |
||
п - 0- |
= |
t n e, |
(2.2.9г) |
u |Eu = |
ue |
(2.2.9д) |
|
ипосле подстановки (2.2.9в) и (2.2.96) в (2.2.9а) и (2.2.9г) состоит из трех скалярных уравнений относительно трех скалярных функций — компонент вектора перемещений и(х).
Для неизотермических квазистатических, но недиссипативных процессов задача (2.2.9) решается вместе с задачей теплопроводности (2.2.8), но являет ся несвязанной. Определяющее соотношение (2.2.96) в этом случае заменяют на неизотермическое.
Отметим, что процесс изменения температуры в данной задаче может быть
инестационарным, т. е. двjd t ф 0.
2.2.6. Стационарная задача теплопроводности
Постановка стационарной задачи теплопроводности
имеет вид
rV - (A- Ve) + °pqm = 0,
(2.2. 10)
- п \ - ve \ =q e,
Эту постановку можно использовать, когда все входные данные задачи — qe, ве, qm — не зависят от t.
2.2.7. Постановки задач для несжимаемых твердых сред
Если твердая среда является несжимаемой, например, описывается ^-моделью несжимаемой среды (см. т. 2, п. 3.9.3), тогда постановка динамической задачи имеет вид
р (d2v/dt2) = |
—Vp + V • |
+ р f , |
(2.2.11a) |
||
V • u = 0, |
|
|
(2.2.116) |
||
e = (l/2)(V<g>u + V ® u T), |
|
(2.2.11B) |
|||
< П • ^ ( e ) | E<T = |
tn e + P |E<Tn , |
|
(2.2.1lr) |
||
u|1 |
= |
Ue, |
uo, |
|
(2.2.11д) |
t = |
0: |
u = |
|
(2.2.1 le) |
|
|
|
du/dt = vo |
|
(2.2.11ж) |
|
и заключается в решении четырех скалярных уравнений (2.2.11а) (после подстановки в них (2.2.11 в)) и (2.2.116) относительно четырех функций: компонент вектора и и р. Здесь определяющие соотношения (2.1.56) пред ставлены в виде
а = -р Е + jF(e), |
J={e) = дЧ>/де. |
(2.2.12) |
56 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
Квазистатическая задача для несжимаемой среды имеет следующий вид:
V p + V • ;F(e) + p f = 0,
V • u = 0,
e = ( l/ 2 )( V ® u + V(g>uT),
n- |
У(е) Ест - p \^ n = t ne, |
|
u L |
|
= ue. |
1^и |
|
|
(2.2.13a)
(2.2.136)
(2.2.13B)
(2.2.13r)
(2.2.13д)
§2.3. Постановки задач в напряжениях
2.3.1.Статические уравнения совместности малых деформаций
Втеории малых деформаций часто применяют статические уравнения совместности деформаций (см. т. 2, § 2.6). Запишем эти уравнения для малых деформаций, линеаризуя уравнение (т. 2, (2.6.31)).
Прежде всего линеаризуем входящую в уравнение (т. 2, (2.6.31)) обрат ную метрическую матрицу дгэ, используя при этом формулу (т. 2, (1.2.64)). Оставляя в этой формуле только члены, содержащие spi в степенях не выше первой, получаем
уз У ( \ - 21и ) + 2{р°ды - У Р У ы = Г |
- |
°u°jn |
2Г Р пеы |
||
или |
|
(2.3.1) |
у - у = 2gilgjnenl. |
|
Подставляя формулу (2.3.1) в соотношение (т. 2, (2.6.31)) и полагая в третьем слагаемом а также пренебрегая четвертым слагаемым, находим
м |
_ d 2e kj______d 2£jj |
d 2ein |
d 2ekn |
о |
p m |
_pi p m \ I |
|
|
njlk ~ dXldXn 8XkdXn ^ |
dXkdXj |
dXldXj |
|
in1 kj |
1 |
ijL kn)' |
|
|
|
|
|
|||
|
+ |
|
^knm^ij |
|
|
= 0 |
(2.3.2) |
— статические уравнения совместности в случае малых деформаций. |
|
||||||
|
Отметим (см. т. 1, и. 4.6.9), |
что число |
независимых |
компонент тензоров |
|||
о
Rnjiki Rnjik невелико — всего шесть. Такое же количество независимых компонент у т. е. число различных уравнений совместности (2.3.2).
С помощью символов Леви-Чивиты (см. т. 1, и. 1.2.1) можно образовать более компактный — симметричный объект М 1т, число независимых компо нент которого совпадает с общим числом его компонент:
l
§ 2.3. Постановки задач в напряжениях |
|
|
57 |
|||||
Эти соотношения имеют следующий явный вид: |
|
|
|
|
||||
М П = ^ М 2323, |
М 12 = |
^ М 233ь |
М 13 = |
^ м 2312, |
|
|
||
М 22 = ^ М 313Ь |
м 23 = ^ |
м 3112, |
м 33 = ^ |
м 1212. |
|
(2.3.4) |
||
Подставляя выражение для Mnijp в (2.3.3), |
получаем с учетом обозначе- |
|||||||
ний (т. 2, (2.6.32)) и £fci|in = |
d2£kj . |
|
|
|
|
|
||
дХгдХп' |
|
|
|
|
|
|||
1 |
_ |
£ . ,|Jfcn + e .n|Jfc. - |
£jfcn|ij. - 2 б т г ( Й п Щ - Й |
/ ы |
) + |
|||
М Ы = 1 eln jer m k f £k ,|in |
||||||||
4g |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ £&.?'тЦп —£утГ&п + EinmX'kj —SlcnmX'ifj ~ |
0- |
(2.3.5) |
||||||
Поскольку по индексам k, j, i и n в этой формуле выполняется сум мирование, то для первой и третьей групп слагаемых в скобках можно переобозначить индексы следующим образом: у вторых слагаемых (у г^\рп и
о
£цт^™п) заменить k ^ i, у третьих — к ^ i, п ^ j, а у четвертых — п ^ j. В результате, у вторых и четвертых слагаемых поменяется знак с «—» на «+» в силу свойств символов Леви-Чивиты; таким образом, получим еще
одну, более компактную форму уравнений совместности: |
|
||
м1т= (1/°дУп^ тгкЫгп - |
+ екзтТ?п) = 0. |
(2.3.6) |
|
У слагаемого |
Tj^ в (2.3.6) также проведена замена индекса: к ^ |
г. |
|
Теорема 2.3.1. Статические уравнения совместности в случае малых деформаций (2.3.6) можно записать в эквивалентной тензорной форме:
Ink в = 0, |
(2.3.7) |
|
где Ink — оператор несовместимости (т. 1, (2.5.33)): |
|
|
Ink в = (l/g)el^ e mikV nVi£kjrt <g>rm. |
(2.3.8) |
|
▼Доказательство этой теоремы оставим в качестве упр. 4 к § 2.3. |
А |
|
Из теоремы 2.3.1 следует, что М 1т (2.3.6) представляют |
собой |
ком |
поненты симметричного тензора второго ранга, совпадающего с тензором несовместимости:
м = Ink в = M lmri <g>rm = М 1тщ (X) ёт, |
(2.3.9) |
а поскольку М является тензором, то, записывая его компоненты в декарто
вом базисе, получаем |
|
М 1т = €lnj€mik£kjiin = 0 |
(2.3.10) |
— уравнение совместности деформаций в декартовой системе координат (на-
о
помним, что в этой системе координат Г* • = 0). Здесь обозначены следующие частные производные по хг:
58 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
|
||
|
dskj |
|
d2ekj |
(2.3.11) |
|
&kj,i — дхг |
&kj,m |
дх1дхп |
|
|
|
|||
Используя свойства символов Леви-Чивиты (при фиксированных индексах I и т в операторе (2.3.8) имеется лишь четыре слагаемых, отличающихся только заменой индексов и знаком: у первого — индексы k,j,i,n, у второго —
замена индексов г ^ |
к |
и знака, у третьего — г ^ к, п |
^ j, |
у четвертого — |
||
j и знака), уравнение (2.3.7) можно представить в виде |
|
|||||
^ |
кj |
^ |
k^ij ^ |
k^ij ^ j^i^kn |
— 0* |
(2.3.12) |
Напомним, что в т. 2, п. 2.6.8 была доказана теорема о том, что решением общего уравнения совместности (т. 2, (2.6.31)) являются нелинейные соотно шения (т. 2, (2.6.33)) между деформациями и перемещениями. Для случая малых деформаций это утверждение звучит следующим образом.
Теорема 2.3.2. Решение уравнения совместности малых деформаций (2.3.7) всегда можно представить в виде
|
е = def и, |
(2.3.13) |
где |
|
(2.3.14) |
def u = |
^(Vcx)u + Vcx)uT) |
|
— дифференциальный оператор. |
|
|
В компонентах |
^ |
(2.3.15) |
£kj = |
ъ У kuj + ViUk)• |
|
Иначе говоря, решение уравнения (2.3.7) имеет потенциал (2.3.13). ▼Покажем, что тензор в, выраженный через вектор перемещений и по
(2.3.13), действительно удовлетворяет уравнению (2.3.7). Подставляя (2.3.13) в (2.3.7), получаем
Ink е = L l^ emikViVn(VkUj+ VjUk) = {- elnX mik( V kV пщ + V ^ V ^ ) = 0.
(2.3.16) Подчеркнутые группы ковариантных производных образуют симметричные комбинации (ViVp = V^V^), которые при суммировании с символами ЛевиЧивиты обращаются в нуль. А
В силу теоремы 2.3.2, если рассматриваются постановки задач (2.2.5) или (2.2.9) относительно вектора перемещений и, то уравнения совместности де формаций (2.3.7) удовлетворяются тождественно, поскольку в эти постановки входят соотношения Коши (2.3.13). Поэтому для этих постановок (2.2.5), (2.2.9) нет необходимости рассматривать уравнение совместности (2.3.7), и их называют постановками задач в перемещениях.
|
§ 2.3. Постановки задач в напряжениях |
59 |
|
2.3.2. Постановки задач в напряжениях |
|
Рассмотрим случай, когда: |
|
|
а) |
область V является односвязной; |
|
б) |
на границе £ области V заданы только напряжения, |
т. е. имеет место |
только условие (2.2.9г) на всей £.
Тогда квазистатическую задачу МДТТ (2.2.9) можно сформулировать не в перемещениях, а в напряжениях.
Постановка квазистатической задачи в напряжениях имеет вид
V- ь +
Ink 8 = 0,
<
еП(«т),
11 • ( = t печ
= 0, |
х е к , |
хе к ,
х€ V U Е,
х6 Е.
(2.3.17а)
(2.3.176)
(2.3.17B)
(2.3.17г)
Таким образом, для нахождения шести функций напряжений а имеем девять уравнений (три уравнения равновесия (2.3.17а) и шесть уравнений совместности (2.3.176), в которые подставлены определяющие соотношения (2.3.17в)). Однако такая система не является переопределенной, если массо вые силы потенциальны:
Р f = V X. |
(2.3.18) |
Если массовые силы имеют потенциал х> то можно ввести новый симмет ричный тензор второго ранга — Ф, называемый тензором функций напря жений и удовлетворяющий соотношению
а = Ink Ф —хЕ. |
(2.3.19) |
Это соотношение представляет фактически шесть уравнений относительно шести компонент тензора Ф.
Подставляя выражение (2.3.19) для сг в уравнение равновесия (2.3.17а), находим, что они удовлетворяются тождественно. Действительно,
V • Ink Ф = (l/^ V e e ^ e ^ V iV ^ jy rp = гр^ У 4( е ^ У вУ„Ф^) = 0. (2.3.20)
Здесь учтено, что выражение в скобках, в силу свойства символов ЛевиЧивиты, обращается в нуль.
Для массовых сил |
|
V - ( x E —V X) = V x —V x = 0. |
(2.3.21) |
Тогда в постановке (2.3.17) остаются только шесть уравнений совместности (2.3.176) для нахождения шести компонент тензора Ф. После подстановки
60 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями
(2.3.17в) и (2.3.19) в (2.3.176) и (2.3.17г) получим окончательный вид поста новки задачи в напряжениях:
ГInk П (Ink Ф - |
ХЕ) = 0, |
х е У, |
(2.3.22а) |
• Ink Ф = t ne |
+ хп, |
х G £. |
(2.3.226) |
Эта задача уже не является переопределенной, но имеет более высокий порядок, так как содержит ковариантные производные четвертого порядка от искомых функций Ф.
Динамическая задача механики деформируемого твердого тела (2.2.5) также может быть сформулирована в напряжениях. Для этого к уравнениям движения (2.2.5а) и начальным условиям (2.2.5е) применим дифференциаль
ный оператор def (2.3.13): |
|
|
|
р |
= def V |
• <т + р def f ; |
(2.3.23а) |
|
dt2 |
|
|
t = 0: |
s = def UQ, |
d e /d t = def v0, |
(2.3.236) |
а вместо определяющих соотношений (2.2.5г) в ^-форме используем соот ношения (2.1.45в) в ("-форме и подставим их в (2.2.31а). Тогда получим следующую постановку динамической задачи в напряжениях:
I |
p ^ tl( c r ) = def V • а + °р def f, |
||
dt2 |
|
|
|
|
n c r = |
t ne, x G E, |
(2.3.24) |
|
t = 0: |
П(<т) = def UQ, |
^ П ( сг) = def VQ, |
состоящую из шести скалярных уравнений относительно шести компонент
2.3.3. Формулы Чезаро
тензора а.
Если задача в напряжениях (2.3.17) или (2.3.22) решена, то тем самым определены поля тензоров Ф(х,£), напряжений сг(х,t) и деформации е(х,£). Для того чтобы найти поле перемещений и(х,£), необходимо воспользоваться соотношениями Коши (2.3.13), которые не привлекались к постановке задач в напряжениях.
Если тензор деформации е известен, то соотношения (2.3.13) представля ют собой систему шести скалярных уравнений относительно трех компонент вектора перемещений и, т. е. система переопределена. Однако, поскольку поле тензора в(х,£) не является произвольным, а удовлетворяет условиям совместности деформаций (2.3.176), то эта система имеет решение.
Прежде чем доказывать это важное утверждение, сформулируем некото рые предварительные теоремы, которые потребуются при доказательстве.