книги / Моделирование систем

Фактор называется фиксированным, если в эксперименте иссле­ дуются все интересующие экспериментатора значения фактора, а ес­ ли экспериментатор исследует только некоторую случайную выбор­ ку из совокупности интересующих значений факторов, то фактор называется случайным. На основании случайных факторов могут быть сделаны вероятностные выводы и о тех значениях факторов, которые в эксперименте не исследовались.

В машинных экспериментах с моделями М и не бывает неуправ­ ляемых или ненаблюдаемых факторов применительно к исследу­ емой системе S. В качестве воздействий внешней среды Е, т. е. неуправляемых и ненаблюдаемых факторов, в машинной имитаци­ онной модели выступают стохастические экзогенные переменные. Если имитационная модель сформулирована, то все факторы опре­ делены и нельзя во время проведения данного эксперимента (ис­ пытания) с моделью М и вводить дополнительные факторы.

Как уже отмечалось, каждый фактор может принимать в ис­ пытании одно или несколько значений, называемых уровнями, при­ чем фактор будет управляемым, если его уровни целенаправленно выбираются экспериментатором. Для полного определения фак­ тора необходимо указать последовательность операций, с помо­ щью которых устанавливаются его конкретные уровни. Такое опре­ деление фактора называется операциональным и обеспечивает одно­ значность понимания фактора.

Основными требованиями, предъявляемыми к факторам, явля­ ются требование управляемости фактора и требование непосредст­ венного воздействия на объект. Под управляемостью фактора пони­ мается возможность установки и поддержания выбранного нужного уровня фактора постоянным в течение всего испытания или изменя­ ющимся в соответствии с заданной программой. Требование непо­ средственного воздействия на объект имеет большое значение в свя­ зи с тем, что трудно управлять фактором, если он является функци­ ей других факторов.

При планировании эксперимента обычно одновременно изменя­ ются несколько факторов. Определим требования, которые предъ­ являются к совокупности факторов. Основные из них — совмести­ мость и независимость. Совместимость факторов означает, что все их комбинации осуществимы, а независимость соответствует воз­ можности установления фактора на любом уровне независимо от уровней других.

При проведении машинного эксперимента с моделью Мм для оценки некоторых характеристик процесса функционирования ис­ следуемой системы S экспериментатор стремится создать такие условия, которые способствуют выявлению влияния факторов, на­ ходящихся в функциональной связи с искомой характеристикой.

Для этого необходимо: отобрать факторы х„ /=1, к, влияющие на искомую характеристику, и описать функциональную зависимость;

ность, содержательность, простота н т. д. Под содержательностью модели планирования понимается ее способность объяснять множе­ ство уже известных фактов, выявлять новые и предсказывать их дальнейшее развитие. Простота — одно из главных достоинств мо­ дели планирования, выражающееся в реализуемости эксперимента на ЭВМ, но при этом имеет место противоречие с требованиями адекватности и содержательности.

Для экстремального планирования экспериментов наибольшее применение нашли модели в виде алгебраических полиномов. Пред­ полагаем, что изучается влияние к количественных факторов

2= 1, к, на некоторую реакцию rj в отведенной для эксперимен­ тирования локальной области факторного пространства G, ограни­

ченной Xjjjfa-г-X/iotx, i= l, к (рис. 6.1 для случая к = 2). Допустим, что функцию реакции ф(хи х 2, ...» **) можно с некоторой степенью точности представить в виде полинома степени d от к переменных

(6.1)

который содержит коэффициентов. Соотношение (6.1) может быть представлено как

(6.2)

212

где/ (х) — вектор с элементами f a(x)9а= 0, к \ входящими в исход-

ный полином; В — вектор коэффициентов, которые соответственно имеют такой вид:

^1J2> •••»

cc-1

Введем фиктивную переменную x0= l, а также переменные

**+!=■*!. -«*+2=4......*2*+l=*i>

*2*+2= *1*2» —»Я*^**-^-!)*"**-»**’

Тогда (6.1) запишется как однородное линейное уравнение вида

Для оценки коэффициентов в (6.3) можно применить методы линейной регрессии [10, 18, 21, 22].

Пример 6.1. Аппроксимация полиномов второго порядка функции реакции в од­ нофакторной модели планирования может быть представлена в виде

TJ*А0+^1*1+**г

Более сложные объекты требуют применения полиномиальных моделей плани­ рования большего порядка. Так, модель второго порядка в it-факторном эксперимен­ те будет иметь вид

На практике часто стремятся к использованию линейной модели планирования, преобразуя исходные полиномиальные модели. Например, модель второго порядка

к т к к

П= £ Ь м + 2 ) £ Ь ц Х ^

213

может быть преобразована к линейному виду путем введения фиктивных переменных

xy=XiXj. Тогда в результате получается модель множественной линейной регрессии

вщщ

Функция реакции может иметь и более сложную зависимость от факторов. В этом случае некоторые из них удается привести к ли­ нейному виду. Такими моделями являются мультипликативная, регрессионная, экспоненциальная и др. [18, 21, 46].

Если выбрана модель планирования, т. е. выбран вид функции Tj=q>('xl9 х 2, ...» Xk) и записано ее уравнение, то остается в отведенной для исследования области факторного пространства G спланиро­ вать и провести эксперимент для оценки числовых значений кон­ стант (коэффициентов) этого уравнения.

Так как полином (6.2) или (6.3) содержит (т*+</ коэффициентов, подлежащих определению, то план эксперимента D должен содер­

жать по крайней мере JV> Cdk+d различных экспериментальных то­ чек:

где х ш— значения, которые принимает z-я переменная в и-м испыта­

нии, /=1, к, и= 1, N.

Реализовав испытания в N точках области факторного простран­ ства, отведенной для экспериментирования, получим вектор наблю­ дений, имеющий следующий вид:

Ух

Ун

где уи— реакция, соответствующая и-й точке плана x u= \\xlUi x 2u, ...,

*&и1Ь

При незначительном влиянии неуправляемых входных перемен­ ных и параметров по сравнению с вводимыми возмущениями упра-. вляемых переменных в планировании эксперимента предполагается верной следующая модель:

214

Уи—tyu"b£|i—Фи(*)“Ь£и*—^о*0и"Ь^1*1||"Ь •••+ 6рС£„+

+ ^*+i**+iu+ —+bk’Xk'U+eUi k '~ C i+d_i, M=1, IV,

где e„ — ошибка (шум, флуктуация) испытания, которая предпола­ гается независимой нормально распределенной случайной величи­ ной с математическим ожиданием М[еJ= 0 и постоянной диспер­ сией D [еи]= а2е= const.

размерностью N x (k '+ 1).

Рассмотрим особенности планирования эксперимента для линей­ ного приближения поверхности реакции, причем построению п л а н а предшествует проведение ряда неформализованных действий (при­ нятие решений), направленных на выбор локальной области фак­ торного пространства G (рис. 6.1).

Вначале следует выбрать границы ximin и ximtx области определе­ ния факторов, задаваемые исходя из свойств исследуемого объекта, т. е. на основе анализа априорной информации о системе S и вне­ шней среде Е. Например, такая переменная, как температура, при термобарических экспериментах принципиально не может быть ни­ же абсолютного нуля и выше температуры плавления материала, из которого изготовлена термобарокамера.

После определения области G необходимо найти локальную подобласть для планирования эксперимента путем выбора основ­ ного (нулевого) уровня xi0 и интервалов варьирования Axh i= l, к.

В качестве исходной точки xiQ выбирают такую, которая соот­ ветствует наилучшим условиям, определенным на основе анализа априорной информации о системе S, причем эта точка не должна лежать близко к границам области определения факторов Xinia я х1тях. На выбор интервала варьирования Ах,- накладываются естественные ограничения снизу (интервал не может быть меньше ошибки фиксирования уровня фактора, так как в противном случае верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми) и сверху (верхний и нижний уровни не должны выходить за область опре­ деления G).

215

В рамках выбранной модели планирования в виде алгебраичес­ ких полиномов строится план эксперимента путем варьирования

каждого из факторов х и /=1, к, на нескольких уровнях q относи­ тельно исходной точки xiQ, представляющей центр экспери­ мента.

Виды планов экспериментов. Эксперимент, в котором реализуют­ ся все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Бели выбранная модель плани­ рования включает в себя только линейные члены полинома и их произведения, то для оценки коэффициентов модели используется план эксперимента с варьированием всех к факторов на двух уров-

нях, т. е. q—2. Такие планы называются планами типа 2 , где

N=2 — число всех возможных испытаний.

Начальный этап планирования эксперимента для получения ко­ эффициентов линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях: нижнем xit и верхнем xity— симметрично рас­

положенных относительно основного уровня JC|Q, /= 1, к. Геомет­ рическая интерпретация показана на рис. 6.2, а. Так как каждый фактор принимает лишь два значения xin= xi0—Ах( и X/B=jcl0+Axf, то для стандартизации и упрощения записи условий каждого ис­ пытания и обработки выборочных данных эксперимента масштабы по осям факторов выбираются так, чтобы нижний уровень соответ­ ствовал —1, верхний-----1-1, а основной — нулю. Это легко до­ стигается с помощью преобразования вида

* (= (* ,-х,о)/Д х(> 1= 1, к,

где х {— кодированное значение z-го фактора; х{— натуральное зна­ чение фактора; xi0 — нулевой уровень; Axi=(xit—x iB)/2 — интервал варьирования фактора.

Пример 6.2. Пусть в качестве /-го фактора выступает такая переменная, как температура Г, °С, т. е. х,= Т, причем выбраны основной уровень х,*о—100вС и интервал варьирования Лх/=20 °С. Тогда кодированные значения х,- по уровням соответственно будут (80—100)/20= —1 для нижнего, (120—100)/20= +1 для верх­ него, (100—100)/20=0 для основного.

Расположение точек для ПФЭ типа 22 показано на рис. 6.1, а также на рис. 6.2, б. Выписывая комбинации уровней факторов для каждой экспериментальной точки квадрата, получим план D полно­ го факторного эксперимента типа 22:

216

При этом планы можно записывать сокращенно с помощью условных буквенных обозначений строк. Для этого порядковый номер фактора ставится в соответствие строчной букве латинского алфавита: х 1-*а, х 2-+Ь и т. д.

Затем для каждой строки плана выписываются латинские буквы только для факторов, находящихся на верхних уровнях; испытание со всеми факторами на нижних уровнях обозначается как (1). Запись плана в буквенных обозначениях показана в последней строчке.

Пример 63. Геометрическая интерпретация ПФЭ 23 приведена на рис. 6.3, а его

Полный факторный эксперимент дает возможность определить не только коэф­ фициенты регрессии, соответствующие линейным эффектам, но и коэффициенты регрессии, соответствующие всем эффектам взаимодействия. Эффект взаимодейст­ вия двух (или более) факторов появляется при одновременном варьировании этих факторов, когда действие каждого из них на выход зависит от уровня, на которых находятся другие факторы.

Для оценки свободного члена Ь0 и определения эффектов вза­ имодействия b12t Ь13, ..., 6123, ... план эксперимента D расширяют до матрицы планирования X путем добавления соответствующей «фик­ тивной переменной»: единичного столбца х0 и столбцов произведе­ ний x tx 2i x tx 3, ..., х±х2х 3, ...»как показано, например, для ПФЭ типа

23 в табл. 6.1.

217

Т а б л и ц а 6.1

Как видно из рассмотренных планов экспериментов типов 22 и 23, количество испытаний в ПФЭ значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели плана эксперимен­ та, т. е. ПФЭ обладает большой избыточностью и поэтому возника­ ет проблема сокращения их количества.

Рассмотрим построение планов так называемого дробного фак­ торного эксперимента. Пусть имеется простейший полный фактор-4 ный эксперимент типа 22. Используя матрицу планирования, приве­ денную в табл. 6.2, можно вычислить коэффициенты и представить результаты в виде уравнения

y= b0+b1x 1 +Ь2х2+ b12x i* 2.

Если в выбранных интервалах варьирования уровня процесс можно описать линейной моделью, то достаточно определить три коэффициента: Ь0, Ь± и Ь2. Таким образом, остается одна степень свободы, которую можно использовать для минимизации числа испытаний. При линейном приближении Ь12->0 и вектор-столбец xtx2 (табл. 6.2) можно использовать для нового фактора х ъ. Поста­ вим в табл. 6.2 этот фактор в скобках над взаимодействием х хх 2. В этом случае раздельных оценок, которые имели место в ПФЭ

типа 2 , уже не будет и оценки смещаются следующим образом:

М М М

b i - * P i + p 2 3 t b 2- * P 2 + f i i 2 , b 3 -+ P 2 + f i i 2 .

При постулировании линейной модели все парные взаимодейст­ вия не учитывают. Таким образом, вместо восьми испытаний в пол­ ном факторном эксперименте типа 23 необходимо провести только

218

четыре. Правило проведения дробного факторного эксперимента формулируется так: для сокращения числа испытаний новому фак­ тору присваивается значение вектор-столбца матрицы, принадлежа­ щего взаимодействию, которым можно пренебречь.

При проведении эксперимента из четырех испытаний для оценки влияния трех факторов пользуются половиной ПФЭ типа 23, так называемой «полурепликой». Если приравнять х 3 и —х 1х 2, то мож­ но получить вторую «полуреплику». Для обозначения дробных реплик, в которых d линейных эффектов приравнены к эффектам

взаимодействия, пользуются условным обозначением 2k~d. Напри­ мер, «полуреплика» от 2б записывается в виде 26-1, а «четвертьреплика» — 26“ 2.

Пример 6.4. При построении «полурешшки» 23-1 х ъ можно приравнять к х хх2 или —х 2х 2. Две «полурешшки» 23-1 показаны в табл. 6.3. Для произведения трех столбцов левой матрицы выполняется соотношение +1 = xtx 2x3i а правой матрицы —1= ххХ2х г, т. е. все знаки столбцов произведений одинаковы и в первом случае равны +1, а во втором —1.

Кроме симметричных двухуровневых планов типа 2к при плани­ ровании экспериментов применяют также многоуровневые планы, в которых факторы варьируются на 3, 4, ..., m-м уровнях и обозна-

несимметричные планы, в которых факторы варьируются на раз­ личных уровнях, строятся различными способами: комбинировани­

ем полных и дробных факторных планов типа 2к, методом преоб­ разования симметричных планов в несимметричные и т. д. Рассмот­ ренные планы носят название планов регрессионного анализа для многофакторного эксперимента [10, 22].

Таблица б.З

Когда модель планирования анализируется методами дисперси­ онного анализа, применяют планы дисперсионного анализа. Если при постановке эксперимента реализуются все возможные совокуп­ ности условий, то говорят о полных классификациях дисперсион­ ного анализа. Если проводится сокращение перебора вариантов — это неполная классификация дисперсионного анализа. Сокращение перебора может проводиться случайным образом (без ограничения на рандомизацию) или в соответствии с некоторыми правилами (с ограничениями на рандомизацию). Чаще всего в качестве таких

219

планов используют блочные планы и планы типа латинского квад­ рата [10, 18,21].

Перейдем далее к рассмотрению вопросов, связанных непосред­ ственно с планированием экспериментов с машинной моделью Мм конкретной системы S.

62. СТРАТЕГИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ МАШИННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ С МОДЕЛЯМИ СИСТЕМ

Применяя системный подход к проблеме планирования машин­ ных экспериментов с моделями систем, можно выделить две состав­ ляющие планирования: стратегическое и тактическое планирование

№

Стратегическое планирование ставит своей целью решение зада­ чи получения необходимой информации о системе S с помощью модели MUi реализованной на ЭВМ, с учетом ограничений на ресурсы, имеющиеся в распоряжении экспериментатора. По своей сути стратегическое планирование аналогично внешнему проекти­ рованию при создании системы 5, только здесь в качестве объекта выступает процесс моделирования системы.

Тактическое планирование представляет собой определение спо­ соба проведения каждой серии испытаний машинной модели Мм, предусмотренных планом эксперимента. Для тактического планиро­ вания также имеется аналогия с внутренним проектированием си­ стемы S, но опять в качестве объекта рассматривается процесс работы с моделью М и.

Проблемы стратегического планирования. При стратегическом планировании машинных экспериментов с моделями систем воз­ никает целый ряд проблем, взаимно связанных как с особенностями функционирования моделируемого объекта (системы S ), так и с осо­ бенностями машинной реализации модели М и и обработки резуль­ татов эксперимента. В первую очередь к таким относятся пробле­ мы построения плана машинного эксперимента; наличия большого количества факторов; многокомпонентной функции реакции; стоха­ стической сходимости результатов машинного эксперимента; огра­ ниченности машинных ресурсов на проведение эксперимента.

Рассмотрим существо этих проблем, возникающих при стратеги­ ческом планировании машинных экспериментов, и возможные ме­ тоды их решения. При построении плана эксперимента необходимо помнить, что целями проведения машинных экспериментов с моде­ лью Мм системы S являются либо получение зависимости реакции от факторов для выявления особенностей изучаемого процесса фун­ кционирования системы S, либо нахождение такой комбинации значений факторов, которая обеспечивает экстремальное значение реакции. Другими словами, экспериментатору на базе машинной

220