книги / Моделирование систем

модели М и необходимо решить либо задачу анализа, либо задачу синтеза системы S [7, 17, 33, 46].

Очевидно, что при реализации полного факторного плана раз­ личия между машинными экспериментами для достижения той или иной цели стираются, так как оптимальный синтез сводится к выбо­ ру одного из вариантов, полученного при полном факторном ана­ лизе. Но полный факторный эксперимент эквивалентен в этом случае полному перебору вариантов, что нерационально с точки зрения затрат машинных ресурсов. Для более эффективного (с точки зрения затрат машинного времени и памяти на моделирова­ ние) нахождения оптимальной комбинации уровней факторов мож­ но воспользоваться выборочным методом определения оптимума поверхности реакции (систематическая или случайная выборка), методы систематической выборки включают в себя, факторный (метод равномерной сетки), одного фактора, предельного анализа, наиско­ рейшего спуска. Выбор того или иного метода рационально прово­ дить на основе априорной информации о моделируемой системе S.

Другая специфическая проблема стратегического планирования машинных экспериментов — наличие большого количества факто­ ров. Это одна из основных проблем реализации имитационных моделей на ЭВМ, так как известно, что в факторном анализе количество комбинаций факторов равно произведению числа значе­ ний всех факторов эксперимента. Например, если число факторов к= 10 и имеется два значения каждого фактора, т. е. ?,=2, то

полный факторный анализ потребует моделирования 2*= 210= 1024

комбинаций. Если факторы xh z= l, к, являются количественными, а реакция у связана с факторами некоторой функцией ф, то в качест­ ве метода обработки результатов эксперимента может быть выбран регрессионный анализ. Когда при моделировании требуется полный факторный анализ, то проблема большого количества факторов может не иметь решения. Достоинством полных факторных планов является то, что они дают возможность отобразить всю поверх­ ность реакции системы, если количество факторов невелико. Эффек­ тивность этого метода существенно зависит от природы поверх­ ности реакции.

Так как полные факторные планы изучения даже достаточно простых моделей приводят к большим затратам машинного времени, то приходится строить неполные факторные планы, требующие меньшего числа точек, приводя при этом к потере допустимого количества информации о характере функции реакции. В этом случае рациональный подход — построение плана эксперимента исходя из поверхности реакции (план поверхности реакции), что позволяет по сравнению с факторными планами уменьшить объем эксперимента без соответствующих потерь количества получаемой информации. Методы поверхности реакции позволяют сделать некоторые выводы из самых

221

первых экспериментов с машинной моделью ЛГМ. Бели дальнейшее проведение машинного эксперимента оказывается неэкономичным, то его можно закончить в любой момент. Наконец, эти методы используются на начальном этапе постановки эксперимента для определения оптимальных условий моделирования исследуемой системы S.

Следующей проблемой стратегического планирования машин­ ных экспериментов является многокомпонентная функция реакции. В имитационном эксперименте с вариантами модели системы S на этапе ее проектирования часто возникает задача, связанная с необ­ ходимостью изучения большого числа переменных реакции. Эту трудность в ряде случаев можно обойти, рассматривая имитацион­ ный эксперимент с моделью по определению многих реакций как несколько имитационных экспериментов, в каждом из которых исследуется (наблюдается) только одна реакция. Кроме того, при исследовании системы 5 часто требуется иметь переменные реак­ ции, связанные друг с другом, что практически приводит к усложне­ нию планирования имитационного эксперимента. В этом случае рационально использовать интегральные оценки нескольких реак­ ций, построенные с использованием весовых функций, функций полезности и т. д. [10, 18, 21, 46].

Существенное место при планировании экспериментов с имита­ ционными моделями, реализуемыми методом статистического мо­ делирования на ЭВМ, занимает проблема стохастической сходимо­

сти результатов машинного эксперимента. Эта проблема возникает вследствие того, что целью проведения конкретного машинного

эксперимента при исследовании и проектировании системы S явля­ ется получение на ЭВМ количественных характеристик процесса функционирования системы S с помощью машинной модели М м. В качестве таких характеристик наиболее часто выступают средние некоторых распределений, для оценки которых применяют выбо­ рочные средние, найденные путем многократных прогонов модели на ЭВМ, причем чем больше выборка, тем больше вероятность того, что выборочные средние приближаются к средним распреде­ лений. Сходимость выборочных средних с ростом объема выборки называется стохастической сходимостью.

Основной трудностью при определении интересующих харак­ теристик процесса функционирования системы S является медлен­ ная стохастическая сходимость. Известно, что мерой флуктуаций случайной величины служит ее нестандартное отклонение. Если о — стандартное отклонение одного наблюдения, то стандартное

отклонение среднего N наблюдений будет равно O/^ /N . Таким образом, для уменьшения случайной ошибки в К раз требуется увеличить объем выборки в К2 раз, т. е. для получения заданной точности оценки может оказаться, что объем необходимой выборки нельзя получить на ЭВМ из-за ограничения ресурса времени и па­ мяти.

222

Медленная стохастическая сходимость в машинных имитацион­ ных экспериментах с заданной моделью Мм требует разработки специальных методов решения этой проблемы. Необходимо учиты­ вать, что в машинном эксперименте после того, как модель сфор­ мулирована, включение дополнительных факторов для повышения точности невозможно, так как это потребует изменения конструк­ ции модели Мм. Основная идея ускорения сходимости в машинных экспериментах со стохастическими моделями состоит в использова­ нии априорной информации о структуре и поведении системы S , свойствах распределения входных переменных и наблюдаемых слу­ чайных воздействий внешней среды Е. К методам ускорения сходи­ мости относятся методы регрессионной выборки, дополняющей племенной, расслоенной выборки, значимой выборки [10, 18, 21,

Переходя к рассмотрению проблемы ограниченности машинных ресурсов на проведение экспериментов с моделью системы S, необ­ ходимо помнить о том, что построение плана эксперимента с ис­ пользованием различных подходов, рассмотренных в § 6.1, позволя­ ет решить проблему стратегического планирования только с те­ оретической точки зрения. Но при планировании машинных экс­ периментов на практическую реализуемость плана существенное влияние оказывают имеющиеся в распоряжении экспериментатора ресурсы. Поэтому планирование машинного эксперимента предста­ вляет собой итерационный процесс, когда выбранная модель плана эксперимента проверяется на реализуемость, а затем, если это необ­ ходимо, вносятся соответствующие коррективы в исходную модель

[46].

Этапы стратегического планирования. Применяя системный под­ ход к проблеме стратегического планирования машинных экспери­ ментов, можно выделить следующие этапы: 1) построение структу­ рной модели; 2) построение функциональной модели. При этом структурная модель выбирается исходя из того, что должно быть сделано, а функциональная — из того, что может быть сделано.

С труктурн ая м одель плана эксперимента характеризуется числом факторов и числом уровней для каждого фактора. Число элементов эксперимента

Nc= QiQ.2'“Qki

где к — число факторов эксперимента; qt — число уровней /-го фак­

тора, /= 1, к. При этом под элементом понимается структурный блок эксперимента, определяемый как простейший эксперимент в случае одного фактора и одного уровня, т. е. к= 1, q= 1, Nc= l.

Вопрос о виде и числе необходимых факторов следует рассмат­ ривать с различных точек зрения, причем основной является цель проводимого машинного эксперимента, т. е. в первую очередь решается вопрос о тех реакциях, которые надо оценить в результате эксперимента с машинной моделью AfMсистемы S. При этом надо

223

найти наиболее существенные факторы, так как из опыта известно, что для большинства систем 20% факторов определяют 80% свойств системы S, а остальные 80% факторов определяют лишь 20% ее свойств [46].

Следующий шаг в конструировании структурной модели плана состоит в определении уровней, на которых следует устанавливать и измерять каждый фактор, причем минимальное число уровней фактора, не являющегося постоянным, равно двум. Число уровней следует выбирать минимальным, но достаточным для достижения цели машинного эксперимента. При этом надо помнить, что каж­ дый дополнительный уровень увеличивает затраты ресурсов на реализацию эксперимента на ЭВМ.

Анализ результатов существенно упрощается, если уровни рав­ ноотстоят друг от друга, т. е. ортогональное разбиение упрощает определение коэффициентов аппроксимации. Можно получить зна­ чительные аналитические упрощения, если принять число уровней всех факторов одинаковым. Тогда структурная модель будет сим-

метричной и примет вид Nc=q , где #=#,; z= 1, к.

Ф ункциональная м одель плана эксперимента определяет ко­ личество элементов структурной модели N$, т. е. необходимое число различных информационных точек. При этом функциональ­ ная модель может быть полной и неполной. Функциональная мо­ дель называется полной, если в оценке реакции участвуют все элементы, т. е. N$=NC, и неполной, если число реакций меньше числа элементов, т. е. N$<NC. Основная цель построения функци­ ональной модели — нахождение компромисса между необходимы­ ми действиями при машинном эксперименте (исходя из структурной модели) и ограниченными ресурсами на решение задачи методом моделирования.

Для более быстрого нахождения компромиссного решения мож­ но при предварительном планировании машинного эксперимента использовать номограмму, построенную при варьировании числа факторов к, числа уровней факторов q, повторений эксперимента р, а также затрат времени на прогон модели т и стоимости м а ш и н н о г о времени с. Вид такой номограммы показан на рис. 6.4, причем при ее построении предполагалось, что полное число прогонов, необ­ ходимых при симметрично повторяемом эксперименте,

Рассмотрим особенности пользования такой номограммой на примере.

Пример 6.5. Пусть необходимо спланировать машинный эксперимент при нали­ чии трех факторов к — Ъ, каждый из которых имеет три уровня q = 3, причем требует­ ся р = 15 повторений с затратами т= 120 с машинного времени на один прогон при стоимости 1 ч машинного времени с=100 руб. Кроме того, предполагается, что

224

например при фиксированной величине денежных средств, отводимых на мяпшншлй эксперимент.

Для более детального анализа имеющихся у экспериментатора возможностей при планировании эксперимента рассмотрим попар­ но относительное влияние числа факторов к, числа уровней q и чис­ ла повторений р на количество необходимых машинных прогонов модели N. Предполагая эти величины непрерывными, проанализи­ руем, какая из трех величин дает наибольшее сокращение полного количества прогонов. Для этого продифференцируем уравнение (6.4):

доминирует (оказывает наибольшее влияние на число машинных прогонов N) изменение числа уровней q\ 2) если kp>q и k> q In q, то доминирует число факторов к; 3) если p< q и р In q< l, то доминирует число повторений р.

Такой анализ позволяет дать наглядную графическую интерпре­ тацию определения доминирующей для данного машинного экс­ перимента с моделью системы S переменной: к, q или р. Графически изобразим уравнения (6.5). На рис. 6.5, а приведен график отноше­ ния (q In q)/k как функции числа уровней q при изменении числа факторов Л: от 1 до 5. Если отношение {q In q)/k> 1 при данных kn q , то доминирует число факторов к. Если это отношение меньше 1, то доминирует число уровней q.

а) 5) в) f/plnq

Рис. 6.5. Графическое изображение зависимостей:

а — g\ngfk; б — gl(kp); в — l/(plng) в функции

На рис. 6.5, б приведен график зависимости отношения д/(кр) от числа уровней q для величин произведений кр в пределах от 1 до 5. Если в данном случае q/(kp)> 1, то доминирует число повторений р, а если q/(kp)< 1, то доминирует число уровней q.

На рис. 6.5, в показан 1рафик зависимости отношений l/(p \nq) от числа уровней q для числа повторений р, изменяющихся в пре­ делах от 1 до 10. Если l/(p\nq)> 1, то доминирует число повторений р, а если 1/0?1п£)<1, то доминирует число факторов к.

Пример 6.6. Пусть при составлении плана машинного эксперимента требуется оценить, какая переменная играет доминирующую роль в сокращении полного числа

машинных прогонов модели N при к —4, <7 = 3 , р —Ъ. Воспользуемся рис. 6.5, а: для q—Ъи к = 4 отношение {q\&q) к< 1, т. е. число уровней q доминирует над числом факторов к. Исходя из рис. 6.5, б, для q=3, кр= 8 имеем q/(kp)<1, т. е. число уровней

q доминирует над числом повторений р. И наконец, воспользовавшись рис. 6.5, а, видим, что для q—Ъи р —2 отношение 1/(р]п?)<1, т. е. число факторов А: доминирует над числом повторений р.

Таким образом, использование при стратегическом планирова­ нии машинных экспериментов с Ммструктурных и функциональных моделей плана позволяет решить вопрос о практической реализу­ емости модели на ЭВМ исходя из допустимых затрат ресурсов на моделирование системы S.

63.ТАКТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ МАШИННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

СМОДЕЛЯМИ СИСТЕМ

Тактическое планирование эксперимента с машинной моделью Мм системы 5 связано с вопросами эффективного использования выделенных для эксперимента машинных ресурсов и определением конкретных способов проведения испытаний модели Мм, намечен­ ных планом эксперимента, построенным при стратегическом плани­

226

ровании. Тактическое планирование машинного эксперимента свя­ зано прежде всего с решением следующих проблем: 1) определения начальных условий и их влияния на достижение установившегося результата при моделировании; 2) обеспечения точности и достове­ рности результатов моделирования; 3) уменьшения дисперсии оце­ нок характеристик процесса функционирования моделируемых си­ стем; 4) выбора правил автоматической остановки имитационного эксперимента с моделями систем [36, 37,46].

Проблема определения начальных условий н их влияния на дос­ тижение установившегося результата при моделировании. Первая проблема при проведении машинного эксперимента возникает всле­ дствие искусственного характера процесса функционирования моде­ ли Мм, которая в отличие от реальной системы S работает эпизоди­ чески, т. е. только когда экспериментатор запускает машинную модель и проводит наблюдения. Поэтому всякий раз, когда начина­ ется очередной прогон модели процесса функционирования системы S, требуется определенное время для достижения условий равнове­ сия, которые соответствуют условиям функционирования реальной системы. Таким образом, начальный период работы машинной модели М ы искажается из-за влияния начальных условий запуска модели. Для решения этой проблемы либо исключается из рассмот­ рения информация о модели М ш полученная в начальной части периода моделирования (0, 7), либо начальные условия выбираются так, чтобы сократить время достижения установившегося режима. Все эти приемы позволяют только уменьшить, но не свести к нулю время переходного процесса при проведении машинного экспериме­ нта с моделью М м.

Проблема обеспечения точности и достоверности результатов мо­ делирования. Решение второй проблемы тактического планирования машинного эксперимента связано с оценкой точности и достовер­ ности результатов моделирования (при конкретном методе реали­ зации модели, например, методе статистического моделирования на ЭВМ) при заданном числе реализаций (объеме выборки) или с необ­ ходимостью оценки необходимого числа реализаций при заданных точности и достоверности результатов моделирования системы S.

зультатов подобного имитационного эксперимента принципиально не может дать точных значений показателя эффективности Е систе­

оценку Е такого показателя. При этом экономические вопросы затрат людских и машинных ресурсов, обосновывающие целесооб­ разность статистического моделирования вообще, оказываются тесно связанными с вопросами точности и достоверности оценки показателя эффективности Е системы S на ее модели Мм [4,7, 11, 18,21,25].

Таким образом, количество реализаций N при статистическом моделировании системы S должно выбираться исходя из двух ос­ новных соображений: определения затрат ресурсов на машинный эксперимент с моделью Мм (включая построение модели и ее ма­ шинную реализацию) и оценки точности и достоверности резуль­ татов эксперимента с моделью системы S (при заданных ограниче­ ниях не ресурсы). Очевидно, что требования получения более хоро­ ших оценок и сокращения затрат ресурсов являются противоре­ чивыми и при планировании машинных экспериментов на базе статистического моделирования необходимо решить задачу нахож­ дения разумного компромисса между ними.

Из-за наличия стохастичности и ограниченности числа реализа­ ций N в общем случае Ё #Е . При этом величина Е называется

точностью (абсолютной) оценки: вероятность того, что неравенство

выполняется, называется достоверностью оценки

Величина е0=е/Е называется относительной точностью оценки,

адостоверность оценки соответственно будет иметь вид

е= Р { |(Е -Ё )/Е |< е 0}.

Для того чтобы при статистическом моделировании системы S по заданным Е (или Е0) и Q определить количество реализаций N или, наоборот, при ограниченных ресурсах (известном N) найти необходимые Е й Q, следует детально изучить соотношение (6.7). Сделать это удается не во всех случаях, так как закон распределения вероятностей величины |Е—Ё| для многих практических случаев исследования систем установить не удается либо в силу ограничен­ ности априорных сведений о системе S, либо из-за сложности вероятностных расчетов. Основным путем преодоления подобных трудностей является выдвижение предположений о характере зако­ нов распределения случайной величины Ё, т. е. оценки показателя эффективности системы S.

Рассмотрим взаимосвязь точности и достоверности результатов с количеством реализаций при машинном эксперименте, когда в ка­ честве показателей эффективности Е выступают вероятность р, математическое ожидание а и дисперсия о2.

Пусть цель машинного эксперимента с моделью М м некоторой системы S — получение оценки р вероятности появления р —Р (А) некоторого события А , определяемого состояниями процесса функ­ ционирования исследуемой системы S. В качестве оценки вероят­ ности р в данном случае выступает частость p=m/N, где т — число положительных исходов.

228

Тогда соотношение (6.7), связывающее точность и достовер­ ность оценок с количеством реализаций, будет иметь вид

ций является случайной величиной {, принимающей значения x i = l с вероятностью р и х 2=0 с дополнительной вероятностью 1—р. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины £ будут таковы:

M [Z\=xlp + x1(l-p )= lp + 0 (l-p )= p ;

-М )Ш )гР+(х2- м т г (1 -/>)=(1 -р У р +

+ Ф -Р У О ~Р) =Р О -Р)-

Тогда

M \p]=M [m lNl=(l/N)M Г £ *,J=(l/JV)JVM[£]=.p.

Это соотношение говорит о несмещенности оценки р для вероят­ ности р. С учетом независимости значений величин х,- получим

В силу центральной предельной теоремы теории вероятностей [или ее частного случая — теоремы Лапласа, см. (4.8)] частость m/N при достаточно больших N можно рассматривать как случай­ ную величину, описываемую нормальным законом распределения вероятностей с математическим ожиданием р и дисперсией р ( 1 —p)/N. Поэтому соотношение (6.8) с учетом (4.8) можно перепи­ сать так:

т

Р —8 < —< р + Е ►= Ф0

N

Учитывая, что Ф0(—z)= 1 —Ф0(z), получим

Тогда

£ ^ / N l ^ / p ( \ - p ) = tf ,

229

необходимых для получения оценки р с точностью е и достовер­ ностью Q.

Прммер 6.7. Необходимо рассчитать количество реализаций N при статистичес­ ком моделировании системы S , когда в качестве показателя эффективности исполь­ зуется вероятность р при достоверности <2=0,95 (^=1,96) и точности в=0,01; 0,02; 0,05. Так как значения р до проведения статистического моделирования системы

Sнеизвестны, то вычислим множество оценок N для диапазона возможных значений

р, т. е. от 0 до 1, с дискретом 0,1. Результаты расчетов с использованием выражения

(6.9) представлены в табл. 6.4. Из таблицы видно, что при переходе от р — 0,1 (0,9) кр — 0,5 количество реализаций N возрастает примерно в три раза, а при переходе от £=0,05 к £=0,01 количество реализаций N возрастает примерно в 25 раз [4].

При тактическом планировании машинного эксперимента, когда решается вопрос о выборе количества реализаций N, значение р не­ известно. Поэтому на практике проводят предварительное модели­ рование для произвольно выбранного значения N 0, определяют Po=m/N0, а затем по (6.9) вычисляют, используя вместо р значение р0, необходимое количество реализаций N. Такая процедура оценки N может выполняться несколько раз в ходе машинного эксперимен­ та с некоторой системой S.

При отсутствии возможности получения каких-либо априорных сведений о вероятности р использование понятия абсолютной точ­ ности теряет смысл. Действительно, можно, например, предварите­ льно задать точность результатов моделирования е = 0,01, а ис­ комая р в результате окажется хотя бы на порядок ниже, т. е.

0,001. В таких случаях целесообразно задавать относительную

230