книги / Моделирование систем

назначения или языка моделирования (например, SIMULA, SIMSCRIPT, GPSS).

2.7. Верификация и проверка достоверности схемы программы. Верификация программы — доказательство того, что поведение программы соответствует спецификации на программу. Эта провер­ ка является второй на этапе машинной реализации модели системы. Очевидно, что нет смысла продолжать работу по реализации моде­ ли, если нет уверенности в том, что в схеме программы, по которой будет вестись дальнейшее программирование, допущены ошибки, которые делают ее неадекватной логической схеме модели, а следо­ вательно, и неадекватной самому объекту моделирования. При этом проводится проверка соответствия каждой операции, пред­ ставленной в схеме программы, аналогичной ей операции в логичес­ кой схеме модели.

2.8.Проведение программирования модели. При достаточно под­ робной схеме программы, которая отражает все операции логичес­ кой схемы модели, можно приступить к программированию моде­ ли. Если имеется адекватная схема программы, то программирова­ ние представляет собой работу только для программиста без уча­ стия и помощи со стороны разработчика модели. При использова­ нии пакетов прикладных программ моделирования проводится не­ посредственная генерация рабочих программ для моделирования конкретного объекта, т. е. программирование модели реализуется

вавтоматизированном режиме.

2.9.Проверка достоверности программы. Эта последняя проверка на этапе машинной реализации модели, которую необходимо про­ водить: а) обратным переводом программы в исходную схему; б) проверкой отдельных частей программы при решении различных тестовых задач; в) объединением всех частей программы и провер­ кой ее в целом на контрольном примере моделирования варианта

системы S.

На этом подэтапе необходимо также проверить оценки затрат машинного времени на моделирование. Полезно также получить достаточно простую аналитическую аппроксимацию зависимости затрат машинного времени от количества реализаций, что позволит разработчику модели (заказчику) правильно сформулировать тре­ бования к точности и достоверности результатов моделирования.

2.10. Составление технической документации по второму этапу. Для завершения этапа машинной реализации модели М м необходи­ мо составить техническую документацию, содержащую: а) логичес­ кую схему модели и ее описание; б) адекватную схему программы и принятые обозначения; в) полный текст программы; г) перечень входных и выходных величин с пояснениями; д) инструкцию по работе с программой; е) оценку затрат машинного времени на моделирование с указанием требуемых ресурсов ЭВМ.

Таким образом, на этом этапе разрабатывается схема модели системы 5, проводится ее алгоритмизация и программирование

101

с использованием конкретных программно-технических средств, т. е. строится машинная модель Мм, с которой предстоит работать для получения необходимых результатов моделирования по оценке характеристик процесса функционирования системы S (задача ана­ лиза) или для поиска оптимальных структур, алгоритмов и параме­ тров системы S (задача синтеза).

3.4. ПОЛУЧЕНИЕ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

На третьем этапе моделирования — этапе получения и интер­ претации результатов моделирования — ЭВМ используется для проведения рабочих расчетов по составленной и отлаженной про­ грамме. Результаты этих расчетов позволяют проанализировать и сформулировать выводы о характеристиках процесса функци­ онирования моделируемой системы S.

Особенности получения результатов моделирования. При реализа­ ции моделирующих алгоритмов на ЭВМ вырабатывается инфор­ мация о состояниях процесса функционирования исследуемых си­ стем z (/) е Z. Эта информация является исходным материалом для определения приближенных оценок искомых характеристик, получа­ емых в результате машинного эксперимента, т. е. критериев оценки. Критерием оценки будем называть любой количественный показа­ тель, по которому можно судить о результатах моделирования системы. Критериями оценки могут служить показатели, получа­ емые на основе процессов, действительно протекающих в системе, или получаемых на основе специально сформированных функций этих процессов [4, 29, 35].

В ходе машинного эксперимента изучается поведение исследу­ емой модели М процесса функционирования системы S на заданном интервале времени [0, 7]. Поэтому критерий оценки является в об­ щем случае векторной случайной функцией, заданной на этом же интервале:

9 (0 = 0?1 (0» 0.2СОа •••» ОпШ

Часто используют более простые критерии оценки, например вероятность определенного состояния системы в заданный момент времени t* е [0, 7], отсутствие отказов и сбоев в системе на ин­ тервале [0, 7] и т. д. При интерпретации результатов моделирования вычисляются различные статистические характеристики закона рас­ пределения критерия оценки.

Рассмотрим общую схему фиксации и обработки результатов моделирования системы, которая приведена на рис. 3.4. Будем рассматривать гипотетическую модель М, предназначенную для исследования поведения системы S на интервале времени [О, Т]. В общем случае критерием интерпретации результатов моделирова­

102

вида

? = (? (0 ), q (ДО,.... q № - 1 )Д4 q (Г)), т = п (к + 1), Т = Ш .

Процесс функционирования системы S на интервале [0, 7] моделируется TV-кратно с полу­

чением независимых реализаций qis i= 1, N, ве­

ктора q. Работа модели на интервале [0, 7] называется прогоном модели.

На схеме, изображенной на рис. 3.4, обозна­ чено: I=i; J=j; K=k; N=N; T=t; DT=At; Q=q.

Вобщем случае алгоритмы фиксации и ста­ тистической обработки данных моделирования содержат три цикла. Полагаем, что имеется машинная модель М м системы S.

Внутренний цикл (блоки 5 — 8) позволя-

времени [0, 7].

П ром еж уточны й цикл (блоки 3 — 10), в котором организует­ ся ^-кратное повторение прогона модели, позволяющее после соот­ ветствующей статистической обработки результатов судить об оценках характеристик моделируемого варианта системы. Оконча­ ние моделирования варианта системы S может определяться не только заданным числом реализаций (блок 10), как это показано на схеме, но и заданной точностью результатов моделирования. В этом цикле содержится блок 9, реализующий процедуру фиксации

103

результатов моделирования по z-му прогону модели qt(t): ФРМ

Ш Т )1

Внешний цикл (блоки 1 — 12) охватывает оба предшеству­ ющих цикла и дополнительно включает блоки 1, 2,11,12, управля­ ющие последовательностью моделирования вариантов системы S. Здесь организуется поиск оптимальных структур, алгоритмов и па­ раметров системы S, т. е. блок 11 обрабатывает результаты моде­ лирования исследуемого k-то варианта системы ОРМ [QK\, блок 12 проверяет удовлетворительность полученных оценок характеристик

процесса функционирования системы ?/*}(0 требуемым (ведет по­

иск оптимального варианта системы ПОВ [5 (К)]), блок 1 изменяет структуру, алгоритмы и параметры системы S на уровне ввода исходных данных для очередного к-то варианта системы ВИД [5(A)]. Блок 13 реализует функцию выдачи результатов модели­ рования по каждому к-му варианту модели системы Sk, т. е. ВРМ

о м .

Рассмотренная схема позволяет вести статистическую обработку результатов моделирования в наиболее общем случае при нестаци­

онарном критерии q(t). В частных случаях можно ограничиться более простыми схемами [22, 29, 37].

Если свойства моделируемой системы S определяются значени­ ем критерия q (/) в некоторый заданный момент времени, например в конце периода функционирования модели t= kA t= T , то обработ­ ка сводится к оценке распределения н-мерного вектора q (t) по

независимым реализациям £,-(/), /= 1, N, полученным в результате N прогонов модели.

Если в моделируемой системе S по истечению некоторого време­ ни с начала работы t0= k0At установится стационарный режим, то о нем можно судить по одной, достаточно длинной реализации

qx(t) критерия q (/), стационарного и эргодического на интервале [/0, Т\. Для рассмотренной схемы это означает, что исключается средний цикл (л=1) и добавляется оператор, позволяющий начать обработку значений qx (jAt) при У>£0.

Другая особенность применяемых на практике методов стати­ стической обработки результатов моделирования связана с исследо­ ванием процесса функционирования систем с помощью моделей блочной конструкции. В этом случае часто приходится применять раздельное моделирование отдельных блоков модели, когда имита­ ция входных воздействий для одного блока проводится на основе оценок критериев, полученных предварительно на другом блоке модели. При раздельном моделировании может иметь место либо непосредственная запись в накопителе реализаций критериев, либо их аппроксимация, полученная на основе статистической обработки

104

результатов моделирования с последующим использованием гене­ раторов случайных чисел для имитации этих воздействий.

Подэтапы третьего этапа моделирования. Прежде чем приступить к последнему, третьему, этапу моделирования системы, необходимо для его успешного проведения иметь четкий план действий, сводя­ щийся к выполнению следующих основных подэтапов.

3.1. Планирование машинного эксперимента с моделью системы. Перед выполнением рабочих расчетов на ЭВМ должен быть состав­ лен план проведения эксперимента с указанием комбинаций пе­ ременных и параметров, для которых должно проводиться модели­ рование системы S. Планирование машинного эксперимента при­ звано дать в итоге максимальный объем необходимой информации об объекте моделирования при минимальных затратах машинных ресурсов. При этом различают стратегическое и тактическое плани­ рование машинного эксперимента. При стратегическом планирова­ нии эксперимента ставится задача построения оптимального плана эксперимента для достижения цели, поставленной перед моделиро­ ванием (например, оптимизация структуры, алгоритмов и парамет­ ров системы 5, исследуемой методом моделирования на ЭВМ). Тактическое планирование машинного эксперимента преследует частные цели оптимальной реализации каждого конкретного экс­ перимента из множества необходимых, заданных при стратегичес­ ком планировании (например, решение задачи выбора оптимальных правил остановки при статистическом моделировании системы S на ЭВМ). Для получения наиболее эффективного плана машинного эксперимента необходимо использовать статистические методы [10, 18, 21].

3.2. Определение требований к вычислительным средствам. Необ­ ходимо сформулировать требования по времени использования вы­ числительных средств, т. е. составить график работы на одной или нескольких ЭВМ, а также указать те внешние устройства ЭВМ, которые потребуются при моделировании. При этом также рацио­ нально оценить, исходя из требуемых ресурсов, возможность ис­ пользования для реализации конкретной модели персональной ЭВМ или локальной вычислительной сети.

3.3. Проведение рабочих расчетов. После составления программы модели и плана проведения машинного эксперимента с моделью системы S можно приступить к рабочим расчетам на ЭВМ, которые обычно включают в себя: а) подготовку наборов исходных данных для ввода в ЭВМ; б) проверку исходных данных, подготовленных для ввода; в) проведение расчетов на ЭВМ; г) получение выходных данных, т. е. результатов моделирования.

Проведение машинного моделирования рационально выполнять в два этапа: контрольные, а затем рабочие расчеты. Причем конт­ рольные расчеты выполняются для проверки машинной модели М м и определения чувствительности результатов к изменению ис­ ходных данных.

105

3.4. Анализ результатов моделирования системы. Чтобы эффек­ тивно проанализировать выходные данные, полученные в резуль­ тате расчетов на ЭВМ, необходимо знать, что делать с резуль­ татами рабочих расчетов и как их интерпретировать. Эти задачи могут быть решены на основании предварительного анализа на двух первых этапах моделирования системы S. Планирование ма­ шинного эксперимента с моделью М м позволяет вывести необходи­ мое количество выходных данных и определить метод их анализа. При этом необходимо, чтобы на печать выдавались только те результаты, которые нужны для дальнейшего анализа. Также необ­ ходимо полнее использовать возможности ЭВМ с точки зрения обработки результатов моделирования и представления этих ре­ зультатов в наиболее наглядном виде. Вычисление статистических характеристик перед выводом результатов из ЭВМ повышает эф­ фективность применения машины и сводит к минимуму обработку выходной информации после ее вывода из ЭВМ.

3.5. Представление результатов моделирования. Как уже отмеча­ лось, необходимо на третьем этапе моделирования уделить внима­ ние форме представления окончательных результатов моделирова­ ния в виде таблиц, графиков, диаграмм, схем и т. п. Целесообразно в каждом конкретном случае выбрать наиболее подходящую форму, так как это существенно влияет на эффективность их даль­ нейшего употребления заказчиком. В большинстве случаев наиболее простой формой считаются таблицы, хотя графики более наглядно иллюстрируют результаты моделирования системы S. При диало­ говых режимах моделирования наиболее рациональными средст­ вами оперативного отображения результатов моделирования явля­ ются средства мультимедиа технологии.

3.6. Интерпретация результатов моделирования. Получив и про­ анализировав результаты моделирования, их нужно интерпретиро­ вать по отношению к моделируемому объекту, т. е. системе S. Основное содержание этого подэтапа — переход от информации, полученной в результате машинного эксперимента с моделью Мм, к информации применительно к объекту моделирования, на основа­ нии которой и оудут делаться выводы относительно характеристик процесса функционирования исследуемой системы 5.

3.7. Подведение итогов моделирования и выдача рекомендаций. Проведение этого подэтапа тесно связано с предыдущим вторым этапом (см. п. 3.3). При подведении итогов моделирования должны быть отмечены главные особенности, полученные в соответствии с планом эксперимента над моделью ЛГМрезультатов, проведена проверка гипотез и предположений и сделаны выводы на основании этих результатов. Все это позволяет сформулировать рекомендации по практическому использованию результатов моделирования, на­ пример на этапе проектирования системы 5.

3.8. Составление технической документации по третьему этапу. Эта документация должна включать в себя: а) план проведения

106

ГЛАВА 4

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ НА ЭВМ

В практике моделирования систем информатики наиболее часто приходится иметь дело с объектами, которые в процессе своего функционирования содержат элементы стохастичности или подвергаются стохастическим воздействиям вне­ шней среды. Поэтому основным методом получения результатов с помощью имитационных моделей таких стохастических систем является метод стати­ стического моделирования на ЭВМ, использующий в качестве теоретической базы предельные теоремы теории вероятностей. Возможность получения пользователем модели результатов статистического моделирования сложных систем в условиях ограниченности м ашинных ресурсов существенно зависит от эффективности процедур генерации псевдослучайных последовательностей на ЭВМ, положенных в основу имитации воздействий на элементы моде­ лируемой системы.

4.1.ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА М ЕТОДА СТА ТИ СТИ ЧЕСКО ГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ

На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей (аналитических и имитационных) широко используется метод статистических испытаний (Монте-Кар­ ло), который базируется на использовании случайных чисел, т. е. возможных значений некоторой случайной величины с заданным распределением вероятностей. Статистическое моделирование пред­ ставляет собой метод получения с помощью ЭВМ статистических данных о процессах, происходящих в моделируемой системе. Для получения представляющих интерес оценок характеристик моделируемой системы S с учетом воздействий внешней сре­ ды Е статистические данные обрабатываются и классифицируют­

зом, сущность метода статистического моделирования сводится к построению для процесса функционирования исследуемой систе­ мы S некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего пове­ дение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды Е, и реализации этого алгоритма с использованием программно-технических средств ЭВМ.

108

Различают две области применения метода статистического мо­ делирования: 1) для изучения стохастических систем; 2) для решения детерминированных задач. Основной идеей, которая используется для решения детерминированных задач методом статистического моделирования, является замена детерминированной задачи эквива­ лентной схемой некоторой стохастической системы, выходные хара­ ктеристики последней совпадают с результатом решения детерми­ нированной задачи. Естественно, что при такой замене вместо точного решения задачи получается приближенное решение и погре­ шность уменьшается с увеличением числа испытаний (реализаций моделирующего алгоритма) N.

В результате статистического моделирования системы S получа­ ется серия частных значений искомых величин или функций, стати­ стическая обработка которых позволяет получить сведения о пове­ дении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени. Если количество реализаций N достаточно велико, то полученные результаты моделирования системы приобретают ста­ тистическую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приняты в качестве оценок искомых характеристик процесса функ­ ционирования системы S.

Теоретической основой метода статистического моделирования систем на ЭВМ являются предельные теоремы теории вероятностей [2, 13]. Множества случайных явлений (событий, величин) подчиняются определенным закономерностям, позволя­ ющим не только прогнозировать их поведение, но и количественно оценить некото­ рые средние их характеристики, проявляющие определенную устойчивость. Харак­ терные закономерности наблюдаются также в распределениях случайных величин, которые образуются при сложении множества воздействий. Выражением этих зако­ номерностей и устойчивости средних показателей являются так называемые предель­ ные теоремы теории вероятностей, часть из которых приводится ниже в пригодной для практического использования при статистическом моделировании формулиров­ ке. Принципиальное значение предельных теорем состоит в том, что они гарантиру­ ют высокое качество статистических оценок при весьма большом числе испытаний (реализаций) N. Практически приемлемые при статистическом моделировании коли­ чественные оценки характеристик систем часто могут быть получены уже при сравнительно небольших (при использовании ЭВМ) N.

Неравенство Чебышева. Для неотрицательной функции g(f) случайной величины £ и любого Х >0 выполняется неравенство

(4.1)

В частности, если g (£) = (£—х)2 и К —к2а2 (где х — среднее арифметическое;

Теорема Бернулли. Если проводится N независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А осуществляется с вероятностью р, то относительная частота появления события m/N при N-*oо сходится по вероятности к р, т. е. при любом е>0

109

где m — число положительных исходов испытания.

Теорема Пуассона. Если проводится N независимых испытаний и вероятность осуществления события А в /-м испытании равна рь то относительная частота появления события m fN при N -* со сходится по вероятности к среднему из вероят­

Теорема Чебышева. Если в N независимых испытаниях наблюдаются значения хи хя случайной величины £, то при N-* со среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию а, т. е. при любом £>0

ными сверху одним и тем же числом, то при N-*co среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

Теорема Маркова. Выражение (4.6) справедливо и для зависимых случайных величин £l t ..., %N, если только

Совокупность теорем, устанавливающих устойчивость средних показателей, при­

Здесь интеграл вероятностей

у

110