книги / Моделирование систем

Возможности оценки характеристик с использованием аналити­ ческих моделей теории массового обслуживания являются весьма ограниченными по сравнению с требованиями практики исследова­ ния и проектирования систем, формализуемых в виде Q-схем. Не­ сравненно большими возможностями обладают имитационные мо­ дели, позволяющие исследовать Q-схему, задаваемую Q = (JV ,U ,H , Z, Y, R, А >, без ограничений. На работу с Q-схемами при машинной реализации моделей ориентированы многие языки имитационного моделирования, например SIMULA, SIMSCRIPT, GPSS и др. Дета­ льно вопросы, связанные с имитационным моделированием Q-схем, будут рассмотрены далее.

2.6.СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ (TV-СХЕМЫ)

Впрактике моделирования объектов часто приходится решать задачи, связанные с формализованным описанием и анализом при­ чинно-следственных связей в сложных системах, где одновременно параллельно протекает несколько процессов. Самым распростра­ ненным в настоящее время формализмом, описывающим структуру

ивзаимодействие параллельных систем и процессов, являются сети Петри (англ. Petri Nets), предложенные К. Петри [28, 30].

Основные соотношения. Теория сетей Петри развивается в нес­

кольких направлениях: разработка математических основ, структур­ ная теория сетей, различные приложения (параллельное програм­ мирование, дискретные динамические системы и т. д.).

Формально сеть Петри (N-схема) задается четверкой вида

ЛГ=<В, Д /, 0 \

где В — конечное множество символов, называемых позициями, В Ф 0 ; D — конечное множество символов, называемых перехода­ ми, D # 0 , В П В Ф 0 ; I — входная функция (прямая функция ин­ цидентности), I : B xD -* {0, 1}; О — выходная функция (обратная функция инцидентности), О : D x Л—>{0,1}. Таким образом, входная функция I отображает переход dj в множество входных позиций btel(dj), а выходная функция О отображает переход dj в множество выходных позиций biGD(dj). Для каждого перехода djcD можно определить множество входных позиций перехода I(dj) и выходных позиций перехода О (dj) как

Щ )={Ь,еВ\1ф „ dj)=l],

/=Т7й;У=1, т, n=|B|, m=\D\.

0(dj)= {b,eB\0(dj, *,)=!},

Аналогично, для каждого перехода Ь ^ В вводятся определения множества входных переходов позиции I(bi) и множества выходных переходов позиции О (£/):

71

позиции и переходы, изображаемые 0 и 1 соответственно. Ориен­ тировочные дуги соединяют позиции и переходы, причем каждая дуга направлена от элемента одного множества (позиции или пере­ хода) к элементу другого множества (переходу или позиции). Граф N-схемы является мультиграфом, так как он допускает существова­ ние кратных дуг от одной вершины к другой.

Првмер 2.7. Представим формально N-схему, показанную в виде графа

Возможные приложения. Приведенное представление N -схемы может использоваться только для отражения статики моделиру­ емой системы (взаимосвязи событий и условий), но не позволяет отразить в модели динамику функционирования моделируемой си­ стемы. Для представления динамических свойств объекта вводится функция маркировки (разметки) М : В-*{0, 1, 2, ...}. Маркировка М есть присвоение неких абстрактных объектов, называемых мет­ ками (фишками), позициям N-схемы, причем количество меток, соответствующее каждой позиции, может меняться. При графичес­ ком задании N-схемы разметка отображается помещением внутри вершин-позиций соответствующего числа точек (когда количество точек велико, ставят цифры).

Маркированная (размеченная) N -схема может быть описана в виде пятерки NM= (B, D, /, О, М } и является совокупностью сети Петри и маркировки М [28, 30].

Функционирование N-схемы отражается путем перехода от раз­ метки к разметке. Начальная разметка обозначается как М 0 : £->{0, 1, 2, ...}. Смена разметок происходит в результате срабатывания

72

Рис. 2.9. Пример функционирования размеченной N-схемы

одного из переходов djeD сети. Необходимым условием срабатыва­ ния перехода dj является biel(dj) где М{Ь(} — разметка позиции bj. Переход djt для которого выполняется указанное усло­ вие, определяется как находящийся в состоянии готовности к сраба­ тыванию или как возбужденный переход.

Срабатывание перехода dj изменяет разметку сети М(Ь)=

т. е. переход dj изымает по одной метке из каждой своей входной

позиции и добавляет по одной метке в каждую из выходных пози­ ций. Для изображения смены разметки М на М ' применяют обозна­

чение М \-М '.

73

Пример 2.8. Рассмотрим размеченную N-схему с начальной разметкой Af0= { l, О, 0, 0, 1, 0, 1}, которая приведена на рис. 2.9, а. При такой начальной разметке

N-схемы единственным готовым к срабатыванию является переход d2, срабатывание

j

которого ведет к смене разметки М 0 р- М х, где М хв {0,1,1, 0, 1, 0, 1} (рис. 2.9, б). При разметке М х возможно срабатывание переходов dlt d3 н d5. В зависимости от того, какой переход сработал первым, получается одна из трех возможных новых маркировок (рис. 2.9, в, г, д). Функционирование N-схемы продолжается до тех пор, пока существует хотя бы один возможный переход.

Таким образом, N-схема выполняется путем запусков перехо­ дов под управлением количества меток и их распределения в сети. Переход запускается удалением меток из его входных по­

он разрешен. Переход называется разрешенным, если каждая из его входных позиций имеет число меток, по крайней мере равное числу дуг из позиции в переход.

Пример 29. Для некоторой заданной размеченной N-схемы (рис. 2.8) с начальной маркировкой М 0—{1, 2, 0, 0, 1} (рис. 2.10, а) разрешенным является только переход dlt а остальные переходы d2, d3B.dA— запрещен­ ные. В результате выполнения этого перехода получим новую размеченную N -схему (рис. 2.10, б). Теперь разрешены переходы d2 н d3; в результате их запуска получим новую раз­ меченную N-схему. Переходы d2 н d3 нахо­ дятся в конфликте, так как запущен может быть только один из них. Например, при запуске d3 получим сеть, показанную на рис. 2.10, в. Теперь разрешен только переход dA и получим новую размеченную сеть (рис. 2.10, г). Теперь разрешено два перехода: d2 и d3 (в конфликте). Запустим переход d2 (рис. 2.10, д). Теперь ни один переход не может быть запу­ щен и выполнение сети прекращается.

74

для моделирования параллельных и конкурирующих процессов в различных системах.

Типовые N-схемы на основе обычных размеченных сетей Петри пригодны для описания в моделируемой системе S событий произ­ вольной длительности. В этом случае модель, построенная с ис­ пользованием таких N-схем, отражает только порядок наступления событий в исследуемой системе 5. Для отражения временных пара­ метров процесса функционирования моделируемой системы S на базе N-схем используется расширение аппарата сетей Петри: вре­ менные сети, Е-сети, сети Мерлина и т. д. [19]. Детально вопросы, связанные с имитационным моделированием с использованием N- схем, будут рассмотрены далее.

2.7. КОМБИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ (Л-СХЕМЫ)

Наиболее известным общим подходом к формальному описа­ нию процессов функционирования систем является подход, пред­ ложенный Н. П. Бусленко. Этот подход позволяет описывать пове­ дение непрерывных и дискретных, детерминированных и стохасти­ ческих систем, т. е. по сравнению с рассмотренными является обобщенным (универсальным) и базируется на понятии агрегатив­ ной системы (от англ, aggregate system), представляющей собой формальную схему общего вида, которую будем называть А-схемой [4, 35].

Основные соотношения. Анализ существующих средств модели­ рования систем и задач, решаемых с помощью метода моделирова­ ния на ЭВМ, неизбежно приводит к выводу, что комплексное реше­ ние проблем, возникающих в процессе создания и машинной ре­ ализации модели, возможно лишь в случае, если моделирующие системы имеют в своей основе единую формальную математичес­ кую схему, т. е. A-схему. Такая схема должна одновременно выпол­ нять несколько функций: являться адекватным математическим описанием объекта моделирования, т. е. системы S, служить осно­ вой для построения алгоритмов и программ при машинной ре­ ализации модели М, позволять в упрощенном варианте (для част­ ных случаев) проводить аналитические исследования.

Приведенные требования в определенной степени противоречи­ вы. Тем не менее в рамках обобщенного подхода на основе А-схем удается найти между ними некоторый компромисс.

По традиции, установившейся в математике вообще и в при­ кладной математике в частности, при агрегативном подходе снача­ ла дается формальное определение объекта моделирования — аг­ регативной системы, которая является математической схемой, отоб­ ражающей системный характер изучаемых объектов. При агрега­ тивном описании сложный объект (система) разбивается на конеч­ ное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечива­ ющие их взаимодействие. Если некоторые из полученных подсистем оказываются в свою очередь еще достаточно сложными, то процесс

75

их разбиения продолжается до тех пор, пока не образуются подси­ стемы, которые в условиях рассматриваемой задачи моделирования могут считаться удобными для математического описания. В ре­ зультате такой декомпозиции сложная система представляется в ви­ де многоуровневой конструкции из взаимосвязанных элементов, объединенных в подсистемы различных уровней [35].

В качестве элемента A-схемы выступает агрегат, а связь между агрегатами (внутри системы S и с внешней средой Е) осуществляет­ ся с помощью оператора сопряжения R. Очевидно, что агрегат сам может рассматрвиаться как A-схема, т. е. может разбиваться на элементы (агрегаты) следующего уровня.

Любой агрегат характеризуется следующими множествами: мо­ ментов времени Т, входных X и выходных Y сигналов, состояний Z в каждый момент времени /. Состояние агрегата в момент времени t e T обозначается как z (/)е Z, а входные и выходные сигналы — как x (t)e X и y(t)e Y соответственно [4].

Будем полагать, что переход агрегата из состояния z (/А) в состо­ яние z(t2) ^ z ( t1) происходит за малый интервал времени, т. е. имеет место скачок Sz. Переходы агрегата из состояния z ^ ) в z (t2) определяются собственными (внутренними) параметрами самого агрегата h (t)e H и входными сигналами x(f)eX .

В начальный момент времени /0 состояния z имеют значения, равные z°, т. е. z°= z(/0), задаваемые законом распределения про­ цесса z(t) в момент времени /0, а именно L [z(/0)]. Предположим, что процесс функционирования агрегата в случае воздействия вход­ ного сигнала х» описывается случайным оператором V. Тогда в мо­ мент поступления в агрегат t„eT входного сигнала х„ можно опре­ делить состояние

z(/„+0)= V [/„, z(t„), x j.

Обозначим полуинтервал времени t1< t ^ t 2 как (tl9 f j, а полуин­ тервал ti ^ t < t 2 — как [flf /2)* Если интервал времени (<Л. <»+i) не содержит ни одного момента поступления сигналов, то для t е (/„, /„+i) состояние агрегата определяется случайным оператором U в соответствии с соотношением

z(f)= U [t, tn, z(f„+0)].

Совокупность случайных операторов V и U рассматривается как оператор переходов агрегата в новые состояния. При этом процесс функционирования агрегата состоит из скачков состояний 5z в мо­ менты поступления входных сигналов х (оператор V) и изменений состояний между этими моментами tn и fn+1 (оператор U). На оператор U не накладывается никаких ограничений, поэтому до­ пустимы скачки состояний Sz в моменты времени, не являющиеся моментами поступления входных сигналов х. В дальнейшем момен­ ты скачков Sz будем называть особыми моментами времени tSi

76

а состояния z(t5) — особыми состояниями A-схемы. Для описания скачков состояний Sz в особые моменты времени t&будем использо­ вать случайный оператор W, представляющий собой частный слу­ чай оператора (7, т. е.

z((s+ 0)= W [ts, z m

В множестве состояний Z выделяется такое подмножество Z*1^, что если z(ts) достигает то это состояние является моментом выдачи выходного сигнала, определяемого оператором выходов

y= G [t6i z(ts)].

Таким образом, под агрегатом будем понимать любой объект, определяемый упорядоченной совокупностью рассмотренных мно­ жеств Г, X, Y, Z, Z(y), Н и случайных операторов V, U, W, G.

Последовательность входных сигналов, расположенных в по­ рядке их поступления в A-схему, будем называть входным сообще­ нием или х-сообщением. Последовательность выходных сигналов, упорядоченную относительно времени выдачи, назовем выходным сообщением или у-сообщением.

Возможные приложения. Существует класс больших систем, ко­ торые ввиду их сложности не могут быть формализованы в виде математических схем одиночных агрегатов, поэтому их формализу­

ют некоторой конструкцией из отдельных агрегатов А„, п=1, NA, которую назовем агрегативной системой или A-схемой. Для описа­ ния некоторой реальной системы S в виде A-схемы необходимо иметь описание как отдельных агрегатов А„, так и связей между ними.

Промер 2.10. Рассмотрим А-схему, структура которой приведена на рис. 2.11. функционирование A -схемы связано с переработкой информации, передача послед­ ней на схеме показана стрелками. Вся информация, циркулирующая в А-схеме, делится на внешнюю и внутреннюю. Внешняя информация поступает от внешних объектов, не являющихся элементами рассматриваемой схемы, а внутренняя инфор­ мация вырабатывается агрегатами самой A -схемы. Обмен информацией между

A -схемой и внешней средой Е происходит через агрегаты, которые называются полюсами A -схемы. При этом различают входные полюсы Л-схемы, представляющие собой агрегаты, на которые поступают х-сообщения (агрегаты А 1г А 2, А 6), и выход­ ные полюсы A -схемы, выходная информация которых является у-сообщениями (агрегаты А х, А 3, А к, A s, Л6). Агрегаты, не являющиеся полюсами, называются

внутренними.

Каждый и-й агрегат А-схемы А„ имеет входные контакты, на которые поступает совокупность элементарных сигналов *,(/),

/= 1 7 4 одновременно возникающих на входе элемента, и выходные контакты, с которых снимается совокупность элементарных сиг­

для построения формального понятия A -схемы остается выбрать

77

тарные сигналы мгновенно передаются в A-схеме независимо друг от друга по элементарным каналам; 4) к входному контакту любого элемента A-схемы подключается не более чем один элементарный канал, к выходному контакту — любое конечное число элементар­ ных каналов при условии, что ко входу одного и того же элемента Л-схемы направляется не более чем один из упомянутых элементар­ ных каналов.

Взаимодействие A-схемы с внешней средой Е рассматривается как обмен сигналами между внешней средой Е и элементами А- схемы. В соответствии с этим внешнюю среду Е можно представить в виде фиктивного элемента системы А 0, вход которого содержит / 0

входных контактов X f°\ /=1, / 0, а выход — / 0 выходных контактов

Г/0), 1= 1, / 0. Сигнал, выдаваемый A -схемой во внешнюю среду Е> принимается элементом А 0 как входной сигнал, состоящий из эле­

ющий в A-схему из внепшей среды Е, является выходным сигналом элемента А 0 и состоит из элементарных сигналов ^ А(0)(/), у 2(0* U —

Л(О-

Таким образом, каждый А„ (в том числе и А 0) как элемент A-схемы в рамках принятых предположений о механизме обмена сигналами достаточно охарактеризовать множеством входных кон­

78

где л= 0, Na. Полученная пара множеств {2Г/П)}, {Y}n)} является математической моделью элемента А„, используемого для фор­ мального описания сопряжения его с прочими элементами А-схемы

ивнешней средой Е.

Всилу предположения о независимости передачи сигналов каж­ дому входному контакту

л "»6 ( 5 д а

п-0

соответствует не более чем один выходной контакт

ль

y f e U {У?’}.

11=0

ЛЬ

где (J {ЛГ}И)} — множество входных контактов всех элементов А-

п~° NA

схемы и внешней среды Е; (J {Y У0} — множество выходных кон-

и=0

тактов всех элементов A -схемы и внешней среды Е, с которыми

она связана элементарным каналом; к, п= О, NA.

Поэтому можно ввести однозначный оператор Y k= R(Xiin)) с об-

ль

ластью определения в множестве (J {ЛГ|П)} и областью значений

NA я=0

в множестве (J {Y У0}, сопоставляющий входному контакту Х ^

выходной контакт связанный с ним элементарным каналом. Если в A-схеме к контакту ЛГ/Л) не подключен никакой элементарный канал, то оператор R не определен на этом контакте ЛТ(п). Оператор R называется оператором сопряжения элементов (агрегатов) в А-

схему. Совокупность множеств {ЛГ/Л)}, { Yt(k)} и оператор R образуют схему сопряжения элементов в систему S.

Рассмотрим оператор сопряжения для A-схемы, структура кото­ рой показана на рис. 2.11. Оператор сопряжения R можно задать в виде> таблицы, в которой на пересечении строк с номерами элементов (агрегатов) п и столбцов с номерами контактов i рас­ полагаются пары чисел к, /, указывающие номер элемента к и номер контакта /, с которым соединен контакт Х^п) (табл. 2.7).

Если столбцы и строки такой таблицы пронумеровать двой­ ными индексами п, i n k , ! соответственно и на пересечении поме­ щать 1 для контактов п, i и к, I, соединенных элементарным каналом и 0 в противном случае, то получим матрицу смежности ориен­ тированного графа, вершинами которого являются контакты аг­ регатов, а дугами — элементарные каналы А-схемы.

79

Рассмотренная схема сопряжения агрегатов в А-схему, заданная совокупностью множеств {Лг/ п)}, {У/п)} и оператором R, является одноуровневой схемой сопряжения. В более сложных случаях могут быть использованы многоуровневые иерархические схемы сопряже­ ния. Схема сопряжения агрегата, определяемая оператором R, мо­ жет быть использована для описания весьма широкого класса объектов. Однако взаимодействие элементов реальных систем даже в рамках механизма обмена сигналами не сводится к одному лишь сопряжению. Помимо сопряжения контактов серьезную роль игра­ ют также согласование совокупности элементарных сигналов, по­ ступающих в элементарный канал от выходных контактов и воспри­ нимаемых входными, а также влияние реальных средств передачи сигналов на их содержание. Кроме того, оказываются полезными некоторые дополнительные ограничения на структуру сопряжения агрегатов системы S с внешней средой Е. Поэтому с практической точки зрения представляет интерес понятие A-схемы как типовой ма­ тематической, отражающей наши представления о взаимодействии реальных объектов в рамках механизмов обмена сигналами.

Упорядоченную совокупность конечного числа агрегатов А„, п=1, NA системы 5, агрегата А 0, характеризующего внешнюю среду

для любого момента t' выдачи непустого элементарного сигнала (2.19)

80