книги / Моделирование систем

где jc/")(/# 6 ^i(n)-

Ограничение (2.18) относится к структуре сопряжения агрегатов A-схемы системы S с внешней средой Е и требует, чтобы каждый элементарный канал, передающий сигналы во внешнюю среду, начинался в одном из выходных контактов одного из агрегатов системы, каждый элементарный канал, передающий сигналы из внешней среды, заканчивался на одном из входных контактов А- схемы. Ограничение (2.19) предусматривает, что сигналы в А-схеме передаются непосредственно от одного агрегата к другому без устройств, способных отсеивать сигналы по каким-либо признакам. Ограничение (2.20) относится к согласованию функционирования агрегатов A -схемы во времени. Ограничение (2.21) предусматривает, что сигналы между агрегатами A-схемы передаются мгновенно, без искажений и перекодирования, изменяющего структуру сигнала. Для многих реальных систем ограничения (2.19) и (2.21) оказывают­ ся несправедливыми. Для того чтобы A-схема была адекватной моделью реального объекта, достаточно описать селектирующие устройства, реальные средства передачи сигналов и всевозможные вспомогательные устройства как самостоятельные агрегаты, связи между которыми удовлетворяют перечисленным ограничениям.

Пример 2.11. Рассмотрим представление некоторой системы в виде отдельного агрегата [4]. Для того чтобы упростить описание объекта моделирования и просле­ дить связи с уже рассмотренными схемами, воспользуемся в качестве объекта такого моделирования схемой массового обслуживания (Q -схемой) и представим ее в виде агрегата (А-схемы ). Для определенности полагаем, что имеется однофазная однока­ нальная система SQ>показанная на рис. 2.6. В моменты времени tj, образующие однородный поток случайных событий, в прибор (П) поступают заявки, каждая из которых характеризуется случайным параметром ej. Вели обслуживающий канал (К) занят, то заявка поступает в накопитель (Н) и может ждать там не более чем уf=g>(ep

Л), где Л — параметр, характеризующий производительность системы обслуживания. Если к моменту (tj+yj) заявка не будет принята к обслуживанию, то она теряется.

Время обслуживания заявки у= ф (е^ Л).

При этой Q-схемы в виде A -схемы опишем ее состояния вектором

Z ( t) e Z со следующими компонентами: zx(t) — время, оставшееся до окончания обслуживания заявки, которая находится в канале (К); z2(/) — количество заявок в приборе (П); zm(f)=ek, где ек — параметр к-й заявки в накопителе (Н); ze(t) — оставшееся время ожидания к-й заявки в накопителе (Н) до момента, когда она

получит отказ, т= 1 + 2к, l=2+2k, к= 1, z2(0 —1.

Входные сигналы (заявки) поступают в А-схему в моменты tj и принимают значения Xj=ej. Рассмотрим случайные операторы V, U и G, описывающие такой агрегат. Пусть в момент tj поступает новая заявка. Тогда оператор V можно записать следующим образом:

(tj +Q)=z1(ГД

z2(tj+0)=z2(tj)+ lt

^2+2Jt((,+0)=<P(e> A)>

z 1 (tJ + 0 ) = f l f ( e J, h )

Пусть t = f^, т. e. обслуживание очередной заявки окончено. Этот момент является особым, так как в этот момент z(t) достигает Z*n, т. е. zx (tgt)=0. Поэтому

Рассмотрим еще один особый момент времени /g2, не являющийся моментом поступления входного сигнала. В момент tg2>когда истекает время ожидания одной из заявок, например i-й, число заявок в системе уменьшается на 1. Состояние A-схемы z2(tg2+0) определяется оператором W" вида

z2(ts2+0)=z2(tS2) -l,

zm ^ 0) ~ zm(^62)> 1 fc<i Zi(t63+0)=zi(ts2), )

к которым относятся моменты поступления в A-схему входных сигналов и выдачи выходных сигналов, состояния A-схемы изменяются по закону, задаваемому опера­ тором U, который можно записать так:

zl (0e *i (tn+0)—(f- f„), *2(0=*2('я+0),

Zl(Q=Zi(tn + 0 ) - ( t - t „ ) .

82

Выходными сигналами Л-схемы будем считать сведения о заявках, покидающих прибор (Л). Пусть у (у1, у2), где у1 — признак (у1 = 1, если заявки обслужены; у1 =0, если заявки не обслужены); у2 — совокупность сведений о заявке, например у —(?/, A, ts), т. е. заявки поступили в систему обслуживания с параметром еу, обслуживались при значении параметра системы А, покинули систему в момент /$. Таким образом,

действия оператора G сводятся к выбору признака у1 и формированию сведений о заявке у2. Для моментов ts t и t&3 выходной сигнал у определяется параметром G и может быть записан в следующем виде:

У=(1, ej> A, tSl), у=(0, су, A, tSj),

где ts находят из (/<5^ = 0, a f(5j — из ^ (/^>=0.

На основании состояешй системы S Q можно оценить ее вероятностно-временные характеристики, например вероятность нахождения в обслуживающем приборе (Я) заданного числа заявок, среднее время ожидания заявок в накопителе (Я) и т. д.

Таким образом, дальнейшее использование обобщенной типо­ вой математической схемы моделирования, т. е. А-схемы, в принци­ пе не отличается от рассмотренных ранее D-, F-, Р-, N-, Q-схем. Для частного случая, а именно для кусочно-линейных агрегатов, резуль­ таты могут быть получены аналитическим методом. В более слож­ ных случаях, когда применение аналитических методов неэффектив­ но или невозможно, прибегают к имитационному методу, причем представление объекта моделирования в виде A-схемы может яв­ ляться тем фундаментом, на котором базируется построение ими­ тационной системы и ее внешнего и внутреннего математического обеспечения. Стандартная форма представления исследуемого объекта в виде A-схемы приводит к унификации не только алгорит­ мов имитации, но и к возможности применять стандартные методы обработки и анализа результатов моделирования системы S.

Рассмотренные примеры использования типовых математичес­ ких схем (D-f F-, Р-, Q-, N-, A -схем) позволяют формализовать достаточно широкий класс больших систем, с которыми приходится иметь дело в практике исследования и проектирования сложных систем. Особенности и возможности применения типовых схем при разработке машинных моделей систем рассмотрены в гл. 8 и 10.

Контрольные вопросы

2.1.Что называется математической схемой?

2.2.Что является экзогенными н эндогенными переменными в модели объекта?

2.3.Что называется законом функционирования системы?

2.4.Что понимается под алгоритмом функционирования?

2.5.Что называется статической и динамической моделями объекта?

2.6.Какие типовые схемы используются при моделировании сложных систем и нх элементов?

2.7.Каковы условия и особенности использования ири разработке моделей систем

различных типовых схем?

6*

ГЛАВА 3

ФОРМАЛИЗАЦИЯ И АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ

Несмотря на многообразие классов моделируемых систем и наличие широ­ кихвозможностейреализации машинных моделей на современных ЭВМ, можно выделить основные закономерности перехода от построения концептуальной модели объекта моделирования до проведения машинного эксперимента с мо­ делью системы, которые для целей эффективного решения пользователем прак­ тических задач моделирования рационально оформить в виде методики раз­ работки и машинной реализации моделей. При этом наиболее существенным фактором, который следует учитывать уже при формализации и алгоритмиза­ ции моделей, является использование в качестве инструмента исследования аппаратно-программных средств вычислительной техники. В основе выделения этапов моделирования сложной системы лежит также необходимость привлече­ ния для выполнения этой трудоемкой работы коллективов разработчиков раз­ личных специальностей (системщиков, алгоритмисгов, программистов).

3.1. МЕТОДИКА РАЗРАБОТКИ И МАШИННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ

С развитием вычислительной техники наиболее эффектив­ ным методом исследования больших систем стало машинное мо­ делирование, без которого невозможно решение многих крупных народнохозяйственных проблем. Поэтому одной из актуальных задач подготовки специалистов является освоение теории и мето­ дов математического моделирования с учетом требований систем­ ности, позволяющих не только строить модели изучаемых объект­ ов, анализировать их динамику и возможность управления машин­ ным экспериментом с моделью, но и судить в известной мере об адекватности создаваемых моделей исследуемым системам, о гра­ ницах применимости и правильно организовать моделирование систем на современных средствах вычислительной техники [35, 43, 46].

Методологические аспекты моделирования. Прежде чем рассмат­ ривать математические, алгоритмические, программные и приклад­ ные аспекты машинного моделирования, необходимо изучить об­ щие методологические аспекты для широкого класса математичес­ ких моделей объектов, реализуемых на средствах вычислительной техники. Моделирование с использованием средств вычислительной техники (ЭВМ, АВМ, ГВК) позволяет исследовать механизм явле­

84

ний, протекающих в реальном объекте с большими или малыми скоростями, когда в натурных экспериментах с объектом трудно (или невозможно) проследить за изменениями, происходящими в течение короткого времени, или когда получение достоверных результатов сопряжено с длительным экспериментом. При необ­ ходимости машинная модель дает возможность как бы «растяги­ вать» или «сжимать» реальное время, так как машинное моделиро­ вание связано с понятием системного времени, отличного от реаль­ ного. Кроме того, с помощью машинного моделирования в диало­ говой системе можно обучать персонал АСОИУ принятию решений в управлении объектом, например при организации деловой игры, что позволяет выработать необходимые практические навыки ре­ ализации процесса управления [12, 29, 46, 53].

Сущность машинного моделирования системы состоит в прове­ дении на вычислительной машине эксперимента с моделью, которая представляет собой некоторый программный комплекс, описыва­ ющий формально и (или) алгоритмически поведение элементов системы S в процессе ее функционирования, т. е. в их взаимодейст­ вии друг с другом и внешней средой Е. Машинное моделирование с успехом применяют в тех случаях, когда трудно четко сфор­ мулировать критерий оценки качества функционирования системы и цель ее не подцается полной формализации, поскольку позволяет сочетать программно-технические возможности ЭВМ со способ­ ностями человека мыслить неформальными категориями. В даль­ нейшем основное внимание будет уделено моделированию систем на универсальных ЭВМ как наиболее эффективному инструменту исследования и разработки АСОИУ различных уровней, а случаи использования АВМ и ГВК будут специально оговариваться.

Требования пользователя к модели. Сформулируем основные требования, предъявляемые к модели М процесса функционирова­ ния системы S.

1. Полнота модели должна предоставлять пользователю воз­ можность получения необходимого набора оценок характеристик системы с требуемой точностью и достоверностью.

2.Гибкость модели должна давать возможность воспроизведе­ ния различных ситуаций при варьировании структуры, алгоритмов

ипараметров системы.

3.Длительность разработки и реализации модели большой си­ стемы должна быть по возможности минимальной при учете огра­ ничений на имеющиеся ресурсы.

4.Структура модели должна быть блочной, т. е. допускать возможность замены, добавления и исключения некоторых частей без переделки всей модели.

5.Информационное обеспечение должно предоставлять возмож­ ность эффективной работы модели с базой данных систем опреде­ ленного класса.

6.Программные и технические средства должны обеспечивать

85

эффективную (по быстродействию и памяти) машинную реализа­ цию модели и удобное общение с ней пользователя.

7. Должно быть реализовано проведение целенаправленных (планируемых) машинных экспериментов с моделью системы с ис­ пользованием аналитико-имитационного подхода при наличии ограниченных вычислительных ресурсов.

С учетом этих требований рассмотрим основные положения, которые справедливы при моделировании на ЭВМ систем 5, а так­ же их подсистем и элементов. При машинном моделировании систе­ мы S характеристики процесса ее функционирования определяются на основе модели М, построенной исходя из имеющейся исходной информации об объекте моделирования. При получении новой ин­ формации об объекте его модель пересматривается и уточняется с учетом новой информации, т. е. процесс моделирования, включая разработку и машинную реализацию модели, является итерацион­ ным. Этот итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет получена модель М, которую можно считать адекватной

врамках решения поставленной задачи исследования и проектиро­ вания системы S.

Моделирование систем с помощью ЭВМ можно использовать

вследующих случаях [5, 29, 41]: а) для исследования системы S до того, как она спроектирована, с целью определения чувствитель­ ности характеристики к изменениям структуры, алгоритмов и пара­ метров объекта моделирования и внешней среды; б) на этапе проек­ тирования системы S для анализа и синтеза различных вариантов системы и выбора среди конкурирующих такого варианта, который удовлетворял бы заданному критерию оценки эффективности систе­ мы при принятых ограничениях; в) после завершения проектирова­ ния и внедрения системы, т. е. при ее эксплуатации, для получения информации, дополняющей результаты натурных испытаний (эксп­ луатации) реальной системы, и для получения прогнозов эволюции (развития) системы во времени.

Существуют общие положения, применяемые ко всем перечис­ ленным случаям машинного моделирования. Даже в тех случаях, когда конкретные способы моделирования отличаются друг от друга и имеются различные модификации моделей, например в об­ ласти машинной реализации моделирующих алгоритмов с исполь­ зованием конкретных программно-технических средств, в практике моделирования систем можно сформулировать общие принципы, которые могут быть положены в основу методологии машинного моделирования [29, 35, 46].

Этапы моделирования систем. Рассмотрим основные этапы моде­ лирования системы 5, к числу которых относятся: построение кон­ цептуальной модели системы и ее формализация; алгоритмизация модели системы и ее машинная реализация; получение и интерпре­ тация результатов моделирования системы.

Взаимосвязь перечисленных этапов моделирования систем и их составляющих (подэтапов) может быть представлена в виде сетево-

86

Первый этап Второй этап Третий этап

Рис. 3.1. Взаимосвязь этапов моделирования систем

го графика, показанного на рис. 3.1. Перечислим эти подэтапы:

предположений; 1.5 — определение параметров и переменных моде­ ли; 1.6 — установление основного содержания модели; 1.7 — обо­ снование критериев оценки эффективности системы; 1.8 — опреде­ ление процедур аппроксимации; 1.9 — описание концептуальной модели системы; 1.10 — проверка достоверности концептуальной модели; 1.11 — составление технической документации по первому этапу; 2.1 — построение логической схемы модели; 2.2 — получение математических соотношений; 2.3 — проверка достоверности моде­ ли системы; 2.4 — выбор инструментальных средств для моделиро­ вания; 2.5 — составление плана выполнения работ по программи­ рованию; 2.6 — спецификация и построение схемы программы;

2.7— верификация и проверка достоверности схемы программы;

2.8— проведение программирования модели; 2.9 — проверка до­ стоверности программы; 2.10 — составление технической докумен­ тации по второму этапу; 3.1 — планирование машинного экспери­ мента с моделью системы; 3.2 — определение требований к вычис­ лительным средствам; 3.3 — проведение рабочих расчетов; 3.4 — анализ результатов моделирования системы; 3.5 — представление результатов моделирования; 3.6 — интерпретация результатов мо­ делирования; 3.7 — подведение итогов моделирования и выдача

рекомендаций; 3.8 — составление технической документации по третьему этапу.

Таким образом, процесс моделирования системы S сводится к выполнению перечисленных подэтапов, сгруппированных в виде трех этапов. На этапе построения концептуальной модели М х и ее

87

функционирования, определяются необходимые аппроксимации и получается обобщенная схема модели системы S, которая преоб­ разуется в машинную модель М м на втором этапе моделирования путем последовательной алгоритмизации и программирования мо­ дели. Последний третий этап моделирования системы сводится к проведению согласно полученному плану рабочих расчетов* на ЭВМ с использованием выбранных программно-технических средств, получению и интерпретации результатов моделирования системы S с учетом воздействия внешней среды Е. Очевидно, что при построении модели и ее машинной реализации при получении новой информации возможен пересмотр ранее принятых решений, т. е. процесс моделирования является итерационным. Рассмотрим содержание каждого из этапов более подробно.

3 2 . ПОСТРОЕНИЕ КОНЦЕПТУАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ И ИХ ФОРМАЛИЗАЦИЯ

На первом этапе машинного моделирования — построения кон­ цептуальной модели Мх системы S и ее формализации — фор­ мулируется модель и строится ее формальная схема, т. е. основным назначением этого этапа является переход от содержательного опи­ сания объекта к его математической модели, другими словами, процесс формализации. Моделирование систем на ЭВМ в насто­ ящее время — наиболее универсальный и эффективный метод оцен­ ки характеристик больших систем. Наиболее ответственными и на­ именее формализованными моментами в этой работе являются проведение границы между системой S и внешней средой Е , упроще­ ние описания системы и построение сначала концептуальной, а за­ тем формальной модели системы. Модель должна быть адекват­ ной, иначе невозможно получить положительные результаты моде­ лирования, т. е. исследование процесса функционирования системы на неадекватной модели вообще теряет смысл. Под адекватной моделью будем понимать модель, которая с определенной степе­ нью приближения на уровне понимания моделируемой системы S разработчиком модели отражает процесс ее функционирования во внешней среде Е.

Переход от описания к блочной модели. Наиболее рационально строить модель функционирования системы по блочному принципу. При этом могут быть выделены три автономные группы блоков такой модели. Блоки первой группы представляют собой имитатор воздействий внешней среды Е на систему S; блоки второй группы являются собственно моделью процесса функционирования иссле­ дуемой системы S; блоки третьей группы — вспомогательными и служат для машинной реализации блоков двух первых групп, а также для фиксации и обработки результатов моделирования.

Рассмотрим механизм перехода от описания' процесса функци­ онирования некоторой гипотетической системы к модели этого процесса [29, 35]. Для наглядности введем представление об описа-

88

дится к исключению из рас­ смотрения некоторых второстепенных элементов описания (элемен­

ты 5 — 8,39 — 41,43 — 47). Предполагается, что они не оказывают существенного влияния на ход процессов, исследуемых с помощью модели. Часть элементов (14,15, 28, 29,42) заменяется пассивными связями hl9 отражающими внутренние свойства системы (рис. 3.2, б). Некоторая часть элементов (1 — 4, 10, 11, 24, 25) заменяется входными факторами х и воздействиями внешней среды vv Воз­ можны и комбинированные замены: элементы 9, 18, 19, 32, 33 заменены пассивной связью h2 и воздействием внешней среды Е. Элементы 22,23,36,37 отражают воздействие системы на внешнюю среду у.

Sm, отражающие процесс функционирования исследуемой системы. Каждый из этих блоков достаточно автономен, что выражается в минимальном количестве связей между ними. Поведение этих блоков должно быть хорошо изучено и для каждого из них постро­ ена математическая модель, которая в свою очередь может содер­ жать ряд подблоков. Построенная блочная модель процесса функци­ онирования исследуемой системы S предназначена для анализа характеристик этого процесса, который может быть проведен при машинной реализации полученной модели.

Математические модели процессов. После перехода от описания моделируемой системы S к ее модели М х, построенной по блочному принципу, необходимо построить математические модели процес­ сов, происходящих в различных блоках. Математическая модель представляет собой совокупность соотношений (например, уравне­ ний, логических условий, операторов), определяющих характери­ стики процесса функционирования системы S в зависимости от структуры системы, алгоритмов поведения, параметров системы, воздействий внешней среды Е, начальных условий и времени. Мате­

89

матическая модель является результатом формализации процесса функционирования исследуемой системы, т. е. построения формаль­ ного (математического) описания процесса с необходимой в рамках проводимого исследования степенью приближения к действитель­ ности [4, 35, 37].

Для иллюстрации возможностей формализации рассмотрим процесс функционирования некоторой гипотетической системы S, которую можно разбить на т подсистем с характеристиками y t (О, У2 СО» •••> yhj(0 с параметрами hl9 h2, ..., h„H при наличии входных воздействии х и х 2, ..., х„х и воздействий внешней среды vi9 v2, v „ v. Тогда математической моделью процесса может служить система

Если бы функции f lt / 2, ..., f m были известны, то соотношения (3.1) оказались бы идеальной математической моделью процесса функционирования системы S . Однако на практике получение моде­ ли достаточно простого вида для больших систем чаще всего невозможно, поэтому обычно процесс функционирования системы S разбивают на ряд элементарных подпроцессов. При этом необ­ ходимо так проводить разбиение на подпроцессы, чтобы постро­ ение моделей отдельных подпроцессов было элементарно и не вызывало трудностей при формализации. Таким образом, на этой стадии сущность формализации подпроцессов будет состоять в под­ боре типовых математических схем. Например, для стохастических процессов это могут быть схемы вероятностных автоматов (Р- схемы), схемы массового обслуживания (Q-схемы) и т. д., которые достаточно точно описывают основные особенности реальных явле­ ний, составляющих подпроцессы, с точки зрения решаемых при­ кладных задач.

Таким образом, формализации процесса функционирования лю­ бой системы S должно предшествовать изучение составляющих его явлений. В результате появляется содержательное описание процес­ са, которое представляет собой первую попытку четко изложить закономерности, характерные для исследуемого процесса, и поста­ новку прикладной задачи. Содержательное описание является ис­ ходным материалом для последующих этапов формализации: по­ строения формализованной схемы процесса функционирования си­ стемы и математической модели этого процесса. Для моделирова­ ния процесса функционирования системы на ЭВМ необходимо пре­ образовать математическую модель процесса в соответствующий моделирующий алгоритм и машинную программу.

90