книги / Моделирование систем

точность результатов моделирования е0. Тогда соотношение (6.9) примет вид

приводит к большим затратам машинного времени.

Другим распространенным случаем в практике машинных экс­ периментов с моделью Мм является необходимость оценки показа­ телей эффективности Б системы S по результатам определения среднего значения некоторой случайной величины. Пусть случайная

оценки математического ожидания а используется среднее ариф-

N

метическое x= (l/N ) £ JC,. 1= 1

В силу центральной предельной теоремы теории вероятностей

при больших значениях N среднее арифметическое х будет иметь распределение, близкое к нормальному с математическим ожидани­ ем а и дисперсией G 2IN. Для математического ожидания а точность

Аналогично, если в качестве,показателя эффективности Е систе­ мы S выступает дисперсия а2, а в качестве ее оценки используется величина S2, то математическое ожидание и дисперсия соответст­ венно будут

M[S2]= (N -1)G2IN; D[S2]=(pt-a*)/N,

где — центральный момент четвертого порядка случайной вели­ чины.

Для частного случая, когда случайная величина имеет нормаль­ ное распределение //4= Зо>4, получим iV=/22ff4/e2=2/J/ej>.

Таким образом, на основании соотношений (6.9) — (6.12) можно

231

сделать вывод, что количество реализаций при статистическом мо­ делировании существенно зависит от дисперсии оцениваемой слу­ чайной величины. Поэтому выгодно выбирать такие оцениваемые показатели эффективности Е системы S, которые имеют малые дисперсии.

Проблема уменьшения дисперсии оценок характеристик процесса функционирования моделируемых систем. Таким образом, с пробле­ мой выбора количества реализаций при обеспечении необходимой точности и достоверности результатов машинного эксперимента тесно связана и третья проблема, а именно проблема уменьшения дисперсии. В настоящее время существуют методы, позволяющие при заданном числе реализаций увеличить точность оценок, полу­ ченных на машинной модели Мм, и, наоборот, при заданной точ­ ности оценок сократить необходимое число реализаций при стати­ стическом моделировании. Эти методы используют априорную ин­ формацию о структуре и поведении моделируемой системы S и на­ зываются методами уменьшения дисперсии.

Рассмотрим в качестве иллюстрации метод коррелированных реализаций (выборок), используемый в задачах сравнения двух или более альтернатив. При исследовании и проектировании системы

S всегда происходит сравнение вариантов Ss, i= 1, к, отличающихся друг от друга структурой, алгоритмами поведения и параметрами.

Независимо от того, как организуется выбор наилучшего вари­ анта системы S (простым перебором результатов моделирования системы Si или с помощью автоматизированной процедуры поис­ ка), элементарной операцией при этом является равнение статисти­ чески усредненных критериев интерпретации [18, 21, 29, 33, 53].

Сравниваемые статистические показатели Е, вариантов модели­

руемой системы 5;, z= l, к, полученные на машинной модели М м,

можно записать в виде средних значений Еi=M[qJ, i= 1, к, критери­ ев rjh характеризующих систему Sh или в виде средних значений

функции этих критериев fj(qi), i= \ —, k9j= l, L. Например, если

1 система 5,- удовлетворяет требованиям;

О в противном случае,

то показатели Е/ являются вероятностями нормальной работы си­ стемы St. Если

г'=1, k ,j= 1, L,

то показатель Е,- является дисперсией значения контролируемой величины и т. д. Здесь #ш| — отклонение значения конт­ ролируемой для системы S{величины q{от истинной qni.

232

В дальнейшем, поскольку при сравнении характеристик, полу­ ченных на машинной модели Мм, всегда рассматриваются два конкурирующих варианта моделируемой системы, будем сопостав­ лять только две системы: и S 2. Существенной особенностью операции сравнения вариантов систем S t и S 2 является повышение требований к точности статистических оценок Ё1} Ё2 показателей Е1# Е2 при уменьшении разности АЕ=|Е1- Е 2|. Это обстоятельство требует разработки специальных приемов получения статистически зависимых оценок для уменьшения дисперсии.

Рассмотрим наиболее характерные случаи, имеющие место при имитационных экспериментах, когда в качестве оценок выступают средние значения, вероятности и дисперсии [29, 53].

значений критериев ql9 q29 e1= A fb 1], а2=М [gj имеют дисперсии D[at]9D [fl2] и коэффициент корреляции оценок dl9 d2 равен Л[а1} а2], то дисперсию погрешности оценки 3=dt —d2 разности d=a1—a2 можно найти из соотношения

где G1= \]D [JJ], <72= x/5 [ 5 j — средние квадратические отклонения оценок.

При независимом моделировании вариантов системы с исполь­ зованием различных реализаций псевдослучайных последователь­ ностей коэффициент корреляции оценок 2?=[<5^, 5J= 0 и 2)н И = X)[flj+D [а2].

При моделировании удается получить положительный коэффи­ циент корреляции R[dl9 flj> 0 , т. е. D[3\<DM[d\9когда при имитаци­ онных экспериментах с вариантами системы S 2 и S2 используются, например, одни и те же псевдослучайные последовательности. Рассмотренные соотношения для дисперсии D[31 не связаны

со специальными предположениями о способе получения оценок

от т*

&2‘

1

Пример 6.8. Рассмотрим полученные при машинном моделировании реализации Ух (гA t), у 2 (гДг), г= =0, N , критериев q x, q 2 как выборку из двухмерного векторного

стационарного процесса q (0 = ll?i (0» Чг (011 с° средним значением ||а1э а2|| и матрич­ ной корреляционной функцией

IIВхх (О *1а(т)

* ( 0= I*2100 *22(0>

где Вц(т) — автокорреляционная функция /= 1,2; */у(0—^ ( 0 — взаимная корреля­ ционная функция компонентов q (г), /,j = 1, 2, i ^ j .

233

Тогда можно показать, что

D И = [ 1 /( ^ + D] (fin (0 )+ В г1 (0 )- Л В и (0 )+

N+1

+ I [1 - r / ( N + 1 ) ] № ,(г Д « )+ Й и (г & 1 )-Ц В ,2(г М )+ В 21 (гД()]}).

Г-1

Эту формулу применяют для расчета точности оценки d при заданной матрич­ ной корреляционной функции В ( х ) .

Вероятностир19 р2 событий А «, А2, характеризующих сравнива­ емые варианты модели систем и S2, можно представить как средние значения двоичных случайных величин ql9 q2 с распределе­ нием вероятностей - Р = 1}=/>i; -Р{^i=0}=1 —р х\ P \q 2 — ^}=p 2 t

-Р{^2= 0}= 1-“/?2* Поэтому для оценки разности вероятностей Ар—р 1—р 2=

=Af f e j—-SrfeJ можно использовать все выражения, полученные ранее при сравнении средних значений, видоизменив в них обозна­ чения с учетом того, что двухмерное распределение вектора (ql9 q2), описывающее зависимость между событиями А 19 А 29_имеет вид

причемРл+Рс—Ри Рл+Рт>=Р?.- В частности, для повторной выбор­ ки объемом N получим, что оценка

4Р=& - A = m J N -m 2IN9

где т19 т2 — количество наступлений событий А 19 А 29 полученных при независимых прогонах модели. Учитывая, что между ql9 q2 ковариация Bi2=pA~PiP2, найдем дисперсию оценки

D [ Д Й = \Рс+PD - (Pc ~PDY W ,

что следует из (6.13).

Бели в процессе проведения имитационных экспериментов с мо­ делью фиксируются эмпирические частоты рС9 pD событий С, D, то для дисперсии D [Ар] при достаточно большом N можно восполь­ зоваться несмещенной оценкой

D № = [рс+pD- (рс —pD)2\/(N —1).

И наконец, рассмотрим случай, когда в качестве оценки вариан­ тов систем и S2 выступает дисперсия. В этом случае оценка AD разности AD=Di —D2 дисперсией критериев ql9 q2 вычисляется по независимым реализациям вектора (ql9 q2) с помощью формулы AD=Dl - D 2i где Dl9 б 2 — эмпирические дисперсии критериев ql9 q2, рассчитываемые по формуле

б ,= £ (91-Д /[?])2/(ЛГ-1).

1=1

234

Для оценки AD дисперсия

D [A D ]=D [D J+D [D J-2D [J51, D J,

где дисперсии эмпирических дисперсий D [DJ, D[D2] вычисляются по формуле

где /z4= М 4 И = М [(^—М И )4] — центральный момент распределе­ ния четвертого порядка.

Ковариация

B[DU D ^ M [ ( q , - М Ы )2 (q2-M [q])2]IN.

тогда

D { ДЛ]= 2 { D \ +JD2 - 2 B \ 2) / ( N - 1),

где В 12 — ковариация. Использование зависимых испытаний дает выигрыш в точ­ ности сравнения дисперсий ( В 12 # 0 ) независимо от знака корреляции. Воспользовав­ шись оценкой

D [ A D ] = 2 0 l + D 2 - 2 M 12) / ( N - 1),

можно организовать последовательную процедуру сравнения дисперсий для вариан­ тов системы S 2 и S 2.

Таким образом, при таком подходе к уменьшению дисперсии задача состоит в специальном построении моделирующего алгорит­ ма системы S, позволяющего получить положительную корреля­ цию, например, за счет управления генерацией случайных величин. Вопрос об эффективности использования метода уменьшения дис­ персии может быть решен только с учетом необходимости допол­ нительных затрат машинных ресурсов (времени и памяти) на ре­ ализацию подхода, т. е. теоретическое уменьшение затрат машин­ ного времени на моделирование вариантов системы (при той же точности результатов) должно быть проверено на сложность ма­ шинной реализации модели.

Проблема выбора правил автоматической остановки имитацион­ ного эксперимента с моделями системы. И наконец, последней из проблем, возникающих при тактическом планировании имитаци­ онных экспериментов, рассмотрим проблему выбора правил ав­ томатической остановки имитационного эксперимента. Простей­ ший способ решения проблемы — задание требуемого количества реализаций N (или длины интервала моделирования Т). Однако такой детерминированный подход неэффективен, так как в его основе лежат достаточно грубые предположения о распределении

235

выходных переменных, которые на этапе тактического планиро­ вания являются неизвестными. Другой способ — задание довери­ тельных интервалов для выходных переменных и остановка про­ гона машинной модели М и при достижении заданного доверительного интервала, что позволяет теоретически приблизить время прогона к оптимальному. При практической реализации вве­ дение в модель М н правил остановки и операций вычисления доверительных интервалов увеличивает машинное время, необходи­ мое для получения одной выборочной точки при статистическом моделировании.

Правила автоматической остановки могут быть включены в ма­ шинную модель такими способами: 1) путем двухэтапного проведе­ ния прогона, когда сначала делается пробный прогон из N* ре­ ализаций, позволяющий оценить необходимое количество реализа­ ций N (причем если N * ^N , то прогон можно закончить, в против­ ном случае необходимо набрать еще N —N* реализаций); 2) путем использования последовательного анализа для определения мини­ мально необходимого количества реализаций N, которое рассмат­ ривается при этом как случайная величина, зависящая от резуль­ татов N —1 предыдущих реализаций (наблюдений, испытаний) ма­ шинного эксперимента.

Рассмотрим особенности последовательного планирования ма­ шинных экспериментов, построенных на последовательном анализе. В последовательном анализе объем выборки не фиксирован, а после z-го наблюдения принимается одно из следующих решений: принять данную гипотезу, отвергнуть гипотезу, продолжить испытания, т. е. повторить наблюдения еще раз. Благодаря такому подходу можно объем выборки существенно уменьшить по сравнению со способами остановки, использующими фиксированный объем выборки. Таким образом, последовательное планирование машинного эксперимента позволяет минимизировать объем выборки в эксперименте, необ­ ходимой для получения требуемой при исследовании системы S ин­ формации. Построив критерий, можно на каждом шаге решать вопрос либо о принятии нулевой гипотезы Н 0, либо о принятии альтернативной гипотезы # А, либо о продолжении машинного экс­ перимента. Последовательное планирование машинного экспериме­ нта использует принцип максимального правдоподобия и последо­ вательные проверки статистических гипотез [18, 21, 33].

Пусть распределение генеральной совокупности характеризуется функцией плотности вероятностей с неизвестным параметром Y= f(y, 0). Определяются нулевая и альтернативная гипотезы Н 0: 0=0О и Н{. e= 9v Гипотезы проверяют на основании выборки нарастающего объема т. Можно записать: вероятность получения данной выборки Pom= f{yu 0Q)f(y 2, 90)...f(ymi 0О) при условии, что верна гипотеза Н0 (правдоподобная выборка); вероятность получе­ ния выборки P\m= fiyl9 d1)f(y 2, 0i)--/(Ут, #i) при условии верности

236

Можно упростить процедуру, если использовать логарифмическую функцию правдоподобия. В этом случае

Тогда на каждом шаге т проверяется выполнение неравенств: если

£ Л> 1 - во)+0,5т(0Л+0„), 1-1

то принимается # 0; если

М

£ Л < Ьа2^ - 0О)+ 0,5/И(0 !+ 0О),

1-1

то принимается Н х\

то машинный эксперимент продолжается.

Для математического ожидания числа наблюдений при условии верности Н 1 и Я 2 соответственно можно записать

M[NfH0]=[b (1-a)+ aa)/M [z/H ^

M [ N /H J -W + a { 1

где N — число наблюдений; z= \n\f(y, 0М (у, 0О)]= - [(у - 0 ,)2+ (у - 0o)2]/(2tr2). Можно записать Af[z/H ^ = (0j - в0уЦ 2аг), M [z/#j]= (0j—0o)2/(2o^), Taiтак как

■^[у]=0о Для гипотезы Я0 и М [у]=01 для гипотезы Я х. Тогда

Л/[Я/Яо] = -[г>(1-а)+па]2(т2/(01- 0 о)2,

*[tf/*iM W +«(l- № * 2№I -0 O)2-

Применение данного метода по сравнению с фиксированным объемом выборки N дает уменьшение числа реализаций при стати­ стическом моделировании более чем в два раза.

Для проверки гипотезы о среднем для случайных величин с нор­ мальным законом распределения, неизвестным средним д и неиз­ вестной дисперсией а можно использовать следующую процедуру. Проверяют гипотезы # 0: д < д 0 и Н{. д>/х0. Необходимо, чтобы вероятность отвергнуть # 0 при /*</х0 была Р ^ а и вероятность принять # 0 при /х>д+Д была Р ^ р .

На первом шаге берут выборку размером т и вычисляют выбо­ рочную дисперсию

238

ГЛАВА 7 ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

Концепция статистического моделирования систем в реализационном алане неразрывно связана с ограниченностью ресурсов инструментальных ЭВМ. По­ этому при рассмотрении теоретических проблем машинной имитации, относя­ щихся в основном к разделу математической статистики, необходимо учиты­ вать особенности и возможности текущей обработки экспериментальной инфор­ мации на ЭВМ. Успех имитационного эксперимента с моделью системы сущест­ венным образом зависит от правильного решения вопросов обработки и после­ дующего анализа и интерпретации результатов моделирования. Особенно важ­ но решить проблему текущей обработки экспериментальной информации при использовании модели для целей автоматизации проектирования систем.

7.1. ОСОБЕННОСТИ ФИКСАЦИИ И СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ НА ЭВМ

После того как машинный эксперимент спланирован, необходи­ мо предусмотреть меры по организации эффективной обработки и представления его результатов. Вообще, проблема статистической обработки результатов эксперимента с моделью тесно связана с рассмотренными в гл. 6 проблемами стратегического и тактичес­ кого планирования. Но важность этой проблемы и наличие специ­ фики в машинной обработке результатов моделирования выделяют ее в самостоятельную проблему. При этом надо иметь в виду, что применяемые на практике методы обработки результатов модели­ рования составляют только небольшую часть арсенала математи­ ческой статистики [7, 11, 18, 21 25, 33].

Особенности машинных экспериментов. При выборе методов об­ работки существенную роль играют три особенности м а ш и н н о г о эксперимента с моделью системы S.

1. Возможность получать при моделировании системы S на ЭВМ большие выборки позволяет количественно оценить харак­ теристики процесса функционирования системы, но превращает в серьезную проблему хранение промежуточных результатов моде­ лирования. Эту проблему можно решить, используя рекуррентные алгоритмы обработки, когда оценки вычисляют по ходу моделиро­ вания, причем большой объем выборки дает возможность пользо­ ваться при этом достаточно простыми для расчетов на ЭВМ асимп­ тотическими формулами.

240