книги / Моделирование систем

Теорема Лапласа. Если в каждом из N независимых испытаний событие А появ­ ляется с вероятностью р, то

где т — число появлений события А в N испытаниях. Теорема Лапласа является частным случаем центральной предельной теоремы.

Примеры статистического моделирования. Статистическое моде­ лирование систем на ЭВМ требует формирования значений случай­ ных величин, что реализуется с помощью датчиков (генераторов) случайных чисел. Не останавливаясь пока на способах их реализа­ ции для целей моделирования на ЭВМ, поясним сущность метода статистического моделирования следующими примерами.

выступать среднее арифметическое, вычисленное по формуле

- 1 V

L Уь

N ,-i

где у; — случайное значение величины у; N — число реализаций, необходимое для статистической устойчивости результатов.

Структурная схема системы SR показана на рис. 4.1. Здесь элементы выполняют следующие функции: вычисление Вй:

х ,= 1 —е“ д' и В2: t;,=1 —е 9i;

возведение в квадрат К г*

*;=(l- e " 1')2; К,: *,"=(!-е"*')2;

суммирование С:

А ,=(1-е Д,)2Н-(1—e_9>i)2;

извлечение квадратного корня И:

(1 - е “ А,)Ч (1 - е ‘ А')2.

Схема алгоритма, реализующего метод статистического моделирования для оценки М [у] системы SRi приведена на рис. 4.2. Здесь LA и FI — функции распределе-

111

Таким образом, данная задача является чисто детерминированной и ее аналити­ ческое решение сводится к вычислению определенного интеграла, т. е. искомая площадь фигуры

S ^ l m d a .

Для решения этой детерминированной задачи методом статистического модели­ рования необходимо предварительно построить адекватную по выходным харак­ теристикам стохастическую систему SD, оценки характеристик которой будут со­ впадать с искомыми в данной детерминированной задаче. Вариант структурной схемы такой системы SD показан на рис. 4.4, где элементы выполняют следующие функции:

--------А

Рис. 4.3. Геометрическая интерРис. 4.4. Структурная схема системы SD претация оценки площади фигу­

ры

112

вычисление В х: А'=/(х*);

1, если x i+l^f(xD ,

анализ А:

О в противном случаем,

N

суммирование С: А'= £ А,-;

1-1

вычисление В2: —h'/N.

Система *SD функционирует следующим образом: получается пара независимых случайных чисел интервала (0,1), определяется координата точки (х,-, xi+\), показан­ ной на рис. 4.3, вычисляется ордината у,=/(х,) и проводится сравнение величин уi и Xj+i; причем если точка (х,-, xl+i) попала в площадь фигуры (в том числе и на кривую /(х)), то исход испытания считается положительным А,=1 и в итоге можно получить статистическую оценку площади фигуры S& по заданному числу реализа­ ций N.

Логическая схема моделирующего алгоритма вероятностной системы SD пред­

1, если hj — четное;

анализ А3: yj=

0 в противном случае.

Выходным воздействием в данной системе Sr является событие четного числа попаданий в мишень в серии из десяти выстрелов. В качестве оценки выходной характеристики необходимо при числе испытаний (серий выстрелов), равном N, найти вероятность четного числа попа-

даний:

падание в мишень», а в противном случае — «промах». Далее моделируются серии из десяти испытаний каждая, подсчитывается четное число «попаданий» в каждой серии и находится статистическая оценка искомой характеристики Р(у).

Таким образом, подход при использовании статистического мо­ делирования независимо от природы объекта исследования (будет ли он детерминированным или стохастическим) является общим, причем при статистическом моделировании детерминированных си­ стем (система SD в примере 4.2) необходимо предварительно по­ строить стохастическую систему, выходные характеристики кото­ рой позволяют оценить искомые.

Отметим, что во всех рассмотренных примерах не требуется запоминания всего множества генерируемых случайных чисел, ис­ пользуемых при статистическом моделировании системы S . Запо­ минается только накопленная сумма исходов и общее число ре­

114

ализаций. Это немаловажное обстоятельство вообще является хара­ ктерным при реализации имитационных моделей методом стати­ стического моделирования на ЭВМ.

4.2. ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОЦЕДУРЫ ИХ МАШИННОЙ ГЕНЕРАЦИИ

При статистическом моделировании систем одним из основных вопросов является учет стохастических воздействий. Количество случайных чисел, используемых для получения статистически устой­ чивой оценки характеристики процесса функционирования системы S при реализации моделирующего алгоритма на ЭВМ, колеблется в достаточно широких пределах в зависимости от класса объекта моделирования, вида оцениваемых характеристик, необходимой то­ чности и достоверности результатов моделирования. Для метода статистического моделирования на ЭВМ характерно, что большое число операций, а соответственно и большая доля машинного времени расходуются на действия со случайными числами. Кроме того, результаты статистического моделирования существенно за­ висят от качества исходных (базовых) последовательностей случай­ ных чисел. Поэтому наличие простых и экономичных способов формирования, последовательностей случайных чисел требуемого качества во многом определяет возможность практического исполь­ зования машинного моделирования систем [31, 37, 46].

Рассмотрим возможности и особенности получения последова­ тельностей случайных чисел при статистическом моделировании систем на ЭВМ. На практике используются три основных способа генерации случайных чисел: аппаратный (физический), табличный (файловый) и алгоритмический (программный).

Аппаратный способ. При этом способе генерации случайные чис­ ла вырабатываются специальной электронной приставкой — гене­ ратором (датчиком) случайных чисел,— служащей в качестве одно­ го из внешних устройств ЭВМ. Таким образом, реализация этого способа генерации не требует дополнительных вычислительных опе­ раций ЭВМ по выработке случайных чисел, а необходима только операция обращения к внешнему устройству (датчику). В качестве физического эффекта, лежащего в основе таких генераторов чисел, чаще всего используются шумы в электронных и полупроводнико­ вых приборах, явления распада радиоактивных элементов и т. д. Рассмотрим принцип получения случайных чисел от приставки, основанный, например, на эффекте шума в полупроводниковых приборах.

Структурная схема аппаратного генератора случайных чисел приведена на рис. 4.8, а. Здесь ИШ — источник шума; КС — клю­ чевая схема; Ф И — формирователь импульсов; ПС — пересчетная схема. При усилении шумов на выходе ИШ получается напряжение

ных чисел Xi (/). Например, если провести масштабирование и принять длину интервала (О, Т) за единицу, то значения интервалов времени А ^= //+1 —/,• между соседними импульсами щ (t) будут случайными числами jc,e(0, 1). Возможны и другие схемные решения аппаратных генераторов слу­ чайных чисел [29, 37]. Однако аппаратный способ получения случай­ ных чисел не позволяет гарантировать качество последовательности непосредственно во время моделирования системы S на ЭВМ, а также повторно получать при моделировании одинаковые после­ довательности чисел.

Табличный способ. Если случайные числа, оформленные в виде таблицы, помещать во внешнюю или оперативную память ЭВМ, предварительно сформировав из них соответствующий файл (мас­ сив чисел), то такой способ будет называться табличным. Однако этот способ получения случайных чисел при моделировании систем на ЭВМ обычно рационально использовать при сравнительно небо­ льшом объеме таблицы и соответственно файла чисел, когда для хранения можно применять оперативную память. Хранение файла во внешней памяти при частном обращении в процессе статистичес­ кого моделирования не рационально, так как вызывает увеличение затрат машинного времени при моделировании системы S из-за необходимости обращения к внешнему накопителю. Возможны промежуточные способы организации файла, когда он переписыва­ ется в оперативную память периодически по частям. Это уменьшает время на обращение к внешней памяти, но сокращает объем опера­ тивной памяти, который можно использовать для моделирования процесса функционирования системы S.

Алгоритмический способ. Способ получения последовательностей случайных чисел основан на формировании случайных чисел в ЭВМ с помощью специальных алгоритмов и реализующих их программ.

116

Каждое случайное число вычисляется с помощью соответствующей программы по мере возникновения потребностей при моделирова­ нии системы на ЭВМ.

Достоинства и недостатки трех перечисленных способов получе­ ния случайных чисел для сравнения представлены в табл. 4.1. Из этой таблицы видно, что алгоритмический способ получения слу­ чайных чисел наиболее рационален на практике при моделировании систем на универсальных ЭВМ.

Генерация базовой последовательности. При моделировании си­ стем-на ЭВМ программная имитация случайных воздействий лю­ бой сложности сводится к генерированию некоторых стандартных (базовых) процессов и к их последующему функциональному преоб­ разованию. Вообще говоря, в качестве базового может быть принят любой удобный в случае моделирования конкретной системы £ про­ цесс (например, пуассоновский поток при моделировании Q-схемы). Однако при дискретном моделировании базовым процессом явля­ ется последовательность чисел {X,}=JC0, х и ..., %, представляющих собой реализации независимых, равномерно распределенных на ин­ тервале (0, 1) случайных величин {&}= {0, £i> •••> или — в стати­ стических терминах — повторную выборку из равномерно распре­ деленной на (0, 1) генеральной совокупности значений величины {[29, 37, 46].

Непрерывная случайная величина { имеет равномерное рас­ пределение в интервале (а, Ь\ если ее функции плотности

117

(рис. 4.9, а) и распределения (рис. 4.9, б) соответственно примут вид

№11(Ь—а), а ^ х ^ Ь ,

х< а , х>Ь;

Определим числовые характеристики случайной величины £, принимающей значения х ,— математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение соответственно:

ь ь

M|£|=J xf(x) dx= j xdxl(b-d)=(a+b)/2;

а а

•0|£1=! { х - М т г№ < 1х= {Ь -а)г1П-,

а

a(= + j D \S\=(b - a)l(2j 2).

При моделировании систем на ЭВМ приходится иметь дело со случайными числами интервала (0, 1), когда границы интервала д=0 и b = 1. Поэтому рассмотрим частный случай равномерного распределения, когда функция плотности и функция распределения соответственно имеют вид

Такое распределение имеет математическое ожидание М[£\ = 112

Это распределение требуется получить на ЭВМ. Но получить его на цифровой ЭВМ невозможно, так как машина оперирует с п-

118

Случайная величина £, имеющая квазиравномерное распределе­ ние в интервале (0, 1), принимает значения *,=//(2"—1) с вероят­

ностями Р/=1/2П»i= 0, 2п—1.

Математическое ожидание и дисперсия квазиравномерной слу­ чайной величины соответственно имеют вид

i=0 2"-12" (2я—1)2" -to (2"-l)2"2 2

- Г - — - T = - Y ( — — - + - ) =

Таким образом, математическое ожидание квазиравномерной случайной величины совпадает с математическим ожиданием рав­ номерной случайной последовательности интервала (0,1), а диспер­ сия отличается только множителем (2П+ l)/(2n—1), который при достаточно больших п близок к единице.

На ЭВМ невозможно получить идеальную последовательность случайных чисел хотя бы потому, что на ней можно оперировать только с конечным множеством чисел. Кроме того, для получения значений х случайной в е л и ч и н ы £ используются формулы (алгорит­ мы). Поэтому такие последовательности, являющиеся по своей сути детерминированными, называются псевдослучайными [4, 29].

Требования к генератору случайных чисел. Прежде чем перейти к описанию конкретных алгоритмов получения на ЭВМ последова­ тельностей псевдослучайных чисел, сформулируем набор требова­ ний, которым должен удовлетворять идеальный генератор. Полу­ ченные с помощью идеального генератора псевдослучайные после­ довательности чисел должны состоять из квазиравномерно рас­ пределенных чисел, содержать статистически независимые числа, быть воспроизводимыми, иметь неповторяющиеся числа, получать­ ся с минимальными затратами машинного времени, занимать ми­ нимальный объем машинной памяти.

Наибольшее применение в практике моделирования на ЭВМ для генерации последовательностей псевдослучайных чисел находят ал­

представляющие собой рекуррентные соотношения первого поряд­ ка, для которых начальное число х0 и постоянные параметры заданы [36, 37].

119

Определим качественно требования к виду функции Ф. Напри­ мер, легко показать, что функция вида (4.9), изображенная на рис. 4.10, а, не может породить хорошую последовательность псевдо­ случайных чисел х 19 х2, ... Действительно, если построить точки с координатами (х19 х 2), (х3, х*) по случайным числам, полученным, например, из таблицы случайных чисел (табл. 4.2), то они будут равномерно распределены в единичном квадрате 0<Х |<1, 0< х|+1<1. Соответствующие же точки, построенные по числам (х1# Ф (х2)), (х3, Ф (x j), ..., располагаются в площади, ограниченной КрИВОЙ Х|+1= Ф (х,).

Хорошую последовательность случайных чисел может породить только такая функция xi+1=Ф (х,), график которой достаточно плот­ но заполняет единичный квадрат. Примером такой функции может служить х|+1=Д(Лх,) при больших целых положительных А, где Д (и)= и—Ц(и) — дробная часть числа и; Ц(и) — целая часть числа и, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее и. Пусть для примера =10, тогда функция х|+1=Ф (х,) будет иметь вид, пока­ занный на рис. 4.10, б. Приведенные условия являются только необходимыми, но не достаточными для того, чтобы соотношение (4.9) порождало хорошие последовательности псевдослучайных чи­ сел.

Рассмотрим некоторые процедуры получения последовательно­ стей псевдослучайных квазиравномерно распределенных чисел, ко­ торые нашли применение в практике статистического моделирова­ ния систем на ЭВМ.

Одной из исторически первых процедур получения псевдослучай­ ных чисел была процедура, получившая название метода середин­ ных квадратов. Пусть имеется 2л-разрядное число, меньшее 1: х ,= 0, а1 а2 ...02». Возведем его в квадрат: х 2=0, bt b2 ... Ь4п, а затем отберем средние 2п разрядов xt+l=0, b„+l bn+2... b3n, которые и будут являться очередным числом псевдослучайной последовательности. Например, если начальное число хо=0,2152, то (х0)2= 0,04631104,

т. е. х х=0,6311, затем (х1)2= 0,39828721, т. е. х2=0,8287, и т. д. Недостаток этого метода — наличие корреляции между числа­

ми последовательности, а в ряде случаев случайность вообще

120