книги / Надежность и диагностика технологических систем
..pdf
112 |
3. Математические основы теории надежности |
Рис. 3.18. Типовые кривые характеристик параметров потоков отказов у стареющ их элементов:
а— вероятность безотказной работы P(t); б — функция плотности распределения отказов /(f); в — плотность потока отказов X(t)
так называемых случайных функций. Вид случайной функции можно установить на основе обработки экспериментальных данных или теоретических исследований. В зависимости от времени функция исследуемого параметра, полученная в результате одной серии опытов, носит название реализации случайной функции. Для определения параметров случайной функции необходимо получить несколько реализаций (рис. 3.19).
Математическое ожидание mx(t) и дисперсия Dx(t) могут быть найдены только для конкретных сечений случайной функции во времени tt. Так, математическим ожиданием случайной функ ции FJJ:) следует считать некоторую неслучайную функцию mx(t), которая в каждом сечении ttравна математическому ожиданию тПуШйв этом сечении. На рис. 3.19 проведена плавная срединная кривая, которая представляет собой функцию математического ожидания во времени.
3.4. Характеристика отказов, вызванных износом и старением |
11 з |
Р ис. 3 .19 . Реализации случайной функции Fx(t)
Дисперсией случайной функции считается некоторая неслу чайная функция Dx(t), которая в каждом сечении tt равна дис персии Dx(ti) в данном сечении. Кривая, соответствующая Dx(i)t будет определять рассеяние параметра х относительно неслучай ной функции математического ожидания.
Очевидно, что размах и период вариаций (отклонений) для каждой реализации случайной функции относительно средин ной кривой, соответствующей математическому ожиданию, будут различны. Чем меньше период подобных вариаций и больше раз мах, тем более стохастична рассматриваемая случайная функция. Для точного описания степени стохастичности служит неслучай ная корреляционная функция Kx(t', t"), которая для каждой пары значений времени tf и t" равна корреляционному моменту соот ветствующих сечений случайной функции
Кx(t', t") = [*(#') - mx(t')][x(t") - mx(t")]. |
(3.35) |
При дискретных опытах характеристики mx(ti), Dx(ti)t kx(t) можно определять по формулам:
П
т*(г,) = 1/л X**;
*=1
Ас(Ь) = 1/( и - 1)
114 3. Математические основы теории надежности
Kx{t\0 = 1/(л-1)Х[л*(0- 0][*а(*'0- ™Х(Г%
к=1
где п — количество реализаций случайной функции.
Учитывая неслучайный характер т/1*(**) и Dx{t), можно с доста точной для практики точностью предсказать их изменение в тече ние времени. Причем на начальный период эксплуатации эти параметры задаются в конструкторской документации в виде номинальных значений (размеров) параметра х и предельных отклонений. В эксплуатационной документации следует указы вать допустимые зйачения функциональных предельных откло нений (верхнего Esи нижнего Et). При нахождении параметра х в этом диапазоне отказа не наступает.
Законы изменения mx(ti) и Dx(t*) во многих случаях известны из научно-технической литературы, и их изменение с достаточной достоверностью можно заранее просчитать. В пределах одного сечения случайной функции распределение случайных реализа ций может подчиняться любому закону, однако самый распро страненный из них — нормальный. Принято считать, что диапа зон рассеяния параметра xtравен 6 •аЛ(**) (а*(**) = *JDx(ti) — среднее квадратическое отклонение на период времени **). Законы изме нения математических ожиданий и дисперсий можно предста вить в виде:
mx(ti) = /71*0 + fiVi);
Dx(ti) —-Djto +
Вторые слагаемые в формулах — функции изменения парамет ров во времени {динамические составляющие).
Пример 3.7. Определить вероятность отказа Р х по параметру x t за 5000 ч эксплуатации, если у подшипника скольжения верхнее откло нение Е8 = 100 мкм, нижнее Е* = 20 мкм, тх0 = 42 мкм, D x0 = 4 мкм, fiih ) = 0,01**, / 2(*i) = 0,001**.
Р е ш е н и е .
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое от клонение за время ** = 5000 ч равны:
тх{Ч)~тх0+ ffii)= 42 +0,01 •5000 =92 мкм; Ae(<i)-Aco + £(*t)=:4+ 0,001 -5000= 9 мкм;
°х(^) = ) = V5=3.
3.4. Характеристика отказов, вызванных износом и старением |
115 |
Определяем параметр г функции Лапласа:
z =[ES- m x(ti)]/cxi = [100 - 92]/3=8/3=2,66.
По таблицам функции Лапласа находим Ф(2,66) = 0,4961. Определяем вероятность появления отказа подшипника:
p xi = 0,5 - Ф (2) = 0,5 - 0,4961 = 0,0039.
Важным вопросом при анализе характера изменения mx(t^ и Dx(ti) считается нахождение функций, описывающих эти изме нение вдоль оси времени, для чего на основе реализаций случай
ной функции получают статистические данные о соотношении
« #
аргумента и функции, которые сводятся в таблицу (табл. 3.1).
Таблица 3.1
Представление реализации случайного процесса и его параметры
Номер реализации |
1 |
2 |
•• |
п |
Аргумент (время) |
*1 |
Ч |
f... |
Ч |
Функция |
*1 |
х2 |
X... |
Хп |
Для дальнейшего анализа можно использовать метод наимень ших квадратов. Допустим, что величина отклонения х от некото рой функции х = ф(£) в каждом сечении из-за действия случайных факторов подчиняется распределению Гаусса, и погрешность, соответствующая таким отклонениям, во всех сечениях одина кова. Тогда для единичного сечения справедлива запись:
-[*i-y(Q]2
№ ) d t = |
е (2S2) . |
(3.36) |
(&J2K)
Вероятность того, что все отклонения xt от <p(f) будут нахо диться в пределах установленной погрешности, будет равна:
P d t = П 1 Ц а Ш )е ~ {щ- К |
' # 202) ц _ |
1=1 |
|
= |
(3.37) |
Эта вероятность максимальна, когда |
- <p(f)]2 = min, поэто |
му приближение функции <р(*) наилучшее, когда сумма квадра тов отклонений в каждом сечении наименьшая.
116 |
3. Математические основы теории надежности |
Функция <p(f) может содержать несколько числовых пара метров. Тогда она будет иметь вид:
ф(*) = E fo ~ ф(*> а>Ъ,с ,... ,m )ft
где а, by с, ...» т — числовые параметры.
Для нахождения минимума продифференцируем данную функ цию по всем числовым параметрам и приравняем к нулю получен ные частные производные:
£[* / - Ф(*, а, &,с ,...»т)]2Эф/да,'
-ф(*, а, Ь,с , . . тп)]2 Эф/ЭЬ,
Xl>i - ф(*»а>Ъ’ с> -•>л*)]2 Эф/Эс, ►
X [xt- - ф(4, а, &,с,...у m )f Эф/Эт.
*
Суммирование в каждом уравнении системы производится по количеству сечений случайной функции л. Полученная система уравнений позволяет определить все числовые параметры искомой функции ф(£, ау by с, ...» т). Тип применяемой функции следует установить исходя из характера получающейся эмпирической кривой. Из теории вероятностей известно, что если функция
x = <p(tyatbyCy...ym) = at+by |
(3.38) |
то параметры а иЬ находятся по формулам: |
|
a = Kxt/Dt; |
(3.39) |
Ъ= щ - Кх1тщ/Dt. |
(3.40) |
Составляющие этих формул — корреляционный момент Kxtt дисперсия Dt и математическое ожидание mt представляют со бой выражения:
|
|
л |
|
|
(3.41) |
|
щ = (1/л )5й ; |
|
|||
|
|
i=i |
|
|
|
А |
- |
t |
i t f |
2 |
(3.42) |
а |
-----т,2; |
||||
1=1 п
3.4. Характеристика отказов, вызванных износом и старением |
117 |
||||
К х, =(1/п) 5>А |
п |
п |
-] |
|
(3.43) |
»=1 |
i=l |
|=— ------- тхЩ- |
|||
U=1 |
J |
п |
|
||
Полученные формулы можно использовать в случае степенной и показательной зависимостей. В этих случаях используют выра жения:
х = a tb; х - a tf.
Если эти выражения прологарифмировать, то получим зави симости:
\gx = \ga+b\gt; \gx = \ga+t\gb.
Если ввести новые обозначения (X = lgje, А = lga, t*=lgf, В = lgb), то получим выражения, аналогичные приведенным в формуле (3.38), в виде уравнений: X - А + bt*; X = А + Bt.
После нахождения величин X, А, В, b можно три первые из них пропотенцировать и получить искомые результаты.
Пример 3.8. Определить стойкость Т с инструмента в зависимости от скорости резания V при обтачивании заготовок.
Р е ш е н и е .
Стойкость Тс в зависимости от скорости резания V и эмпирических коэффициентов k и m можно определить по формуле
Tc =kV~1/m. |
(3.44) |
Заменив переменную m в показателе степени на (-1 /с), получим фор мулу
Tc =kV c. |
(3.45) |
Прологарифмировав данную формулу, получим выражение
lg T -\gk+ c\ gV ,
Введя новые обозначения параметров (х = lgl*, a = с, t - 1gV, b = IgA), получим формулу
x - b + a t . |
(3.46) |
Используя данные таблицы 3.2 и формулы (3.41)-(3.43), находим:
mt = 10,702/7=1,529;
тпх =10,975/7 =1,568;
А =16,893/7-1,5292=0,075;
K xt = 15,934/7 -1,568 -1,529 = - 0 ,117.
118 |
3. Математические основы теории надежности |
Подставляя найденные значения в формулы (3.39) и (3.40), находим:
a = c = K xt/Dt = -*0,117/0,075= -1,56;
b - m t - K xtmt/Dt = 1 ,5 2 9 -(-0 ,1 1 7 ) 1,529/0,075=3,91.
По формуле (3.38) находим:
* = a f+ b = -l,5 6 * + 3 ,9 1 ; ft = l(F 9=8128.
После подстановки в формулу (3.45) значений к is. с (с = а) получим выражение
Тс =8128 -У 1*56.
Это запись формулы (3.44) при к = 8128 и т - 0,64.
Учитывая, что т = - 1 /с = -1 /(-1 ,5 6 ) = 0,64, получим выражение
Тс =kV~1/m.
Таблица 3.2
Экспериментальные данные для определения зависимости стойкости Тс от скорости резания V при обтачивании заготовок
№Vh
п/п м/мин
1 10
2 20
330
440
550
660
770
2 —
Tit мин |
■S II *3* |
160 |
1,0 |
100 |
1,301 |
70 |
1,477 |
45 |
1,602 |
25 |
1,699 |
15 |
1,778 |
51,845
—10,702
xt= lgT, |
Xit, |
|
Гс, мин |
2,204 |
2,204 |
1,0 |
223,0 |
2,000 |
2,602 |
1,693 |
76,0 |
1,845 |
2,725 |
2;182 |
40,0 |
1,653 |
2,648 |
2,566 |
26,0 |
1,398 |
2,375 |
2,887 |
18,0 |
1,176 |
2,090 |
3,161 |
14,0 |
0,699 |
1,290 |
3,404 |
11,0 |
10,975 |
15,934 |
16,893 |
— |
|
|
|
В последней колонке таблицы приведены рассчитанные численные значения Тс. График зависимости расчетной стойкости Тс инструмента от скорости резания V приведен на рис. 3.20 (кривая 2).
На практике довольно часто (например, при определении ре жимов резания) применяются многопараметрические зависи мости, когда рассматриваются несколько аргументов функции одновременно. Наиболее часто используются уравнения линей ной множественной регрессии:
хг = ах+ 02*2 + ••-+архр. |
(3.47) |
3.4. Характеристика отказов, вызванных износом и старением |
119 |
Тс, мин
240
200
\
\
160 \
120
1
80
40
10 20 30 40 50 60 v *м/ мин
Рис. 3.20. Сравнение экспериментальной кривой 1 и кривой 2, выровненной по методу наименьших квадратов
Определение коэффициентов данного уравнения также осно вано на методе наименьших квадратов. Если имеется п практиче ских реализаций данной функции, то порядок расчета коэффи циентов аъ а2, ..., ар следующий.
Сначала находят математические ожидания, дисперсии и кор реляционные моменты:
П
mXj = (1» 5> д ;
1=1
п
Kxj,xi = (1/л)5 >у**-m xjmxi.
i=l
Следует отметить, что Kxjxi = Dxj. Получаем матрицу корре ляционных моментов, которая симметрична относительно глав ной диагонали:
A K u * 1 3
Dz &23 &2p
120 |
3. Математические основы теории надежности |
При вычислении коэффициентов уравнения линейной мно жественной регрессии используется нормированная корре ляционная матрица, содержащая коэффициенты корреляции /у = Kji/JDjDi и имеющая вид:
1 П2 |
Лз |
г1р |
1 |
Чз |
••• Чр |
9 •• |
|
9 9т |
|
|
1 |
С учетом вычисленных коэффициентов корреляции состав ляется система уравнений:
ГХ1,Х2 ~0.2 ^ЯэГхз^ ■*“•'•^‘ЯргХр,Х2*
ГХ1г*3 = Я2ГХ2шХз + 9з + •••+ Я р гХр,хз>
ГХ\,Хр —Q2rX2уХр +Язгхг,хр +Яр-
Используя уравнение (3.47), находят коэффициенты а1у а2, ...» арпо формулам:
= Я2&Х11®Х2 = ?З^Х1/^13 »• ••» йр = Яр®х\j®Xp» |
(3.48) |
ai = mxi - 02^ -ОзТП^ - : . - а ртХр. |
(3.49) |
Применяя логарифмирование, можно аналогичным образом вычислить коэффициенты уравнений вида:
*i =bix^x^-Хрр. |
(3.50) |
После логарифмирования получим выражение
lgx1=lgbl +b2\gxz + ...+bplgxp.
При замене переменных Xi=lgxlt Вг= \gblfХ 2= lg*2>•••»Xp=\gxp уравнение (3.50) примет вид:
Xi = Bi +bzX2 + ...+bpXp. |
(3.51) |
Таким же способом можно преобразовать показательное урав нение
*1 |
(3.52) |