книги / Надежность и диагностика технологических систем

становления, то одним из важнейших показателей восстанавли­ ваемых изделий считается вероятность нахождения изделия в работоспособном состоянии, которая определяется коэффици­ ентом оперативной готовности R(t0) к исполнению установлен­ ных функций в произвольный момент времени:

Д(*0) = 1/СГ+т+т ов)J[l-P„(f)]df,

о

где тов — время ожидания восстановления; F„(t) — функция распределения наработки между отказами. Дополнительными параметрами могут быть, например, среднее время ожидания восстановления, средняя длина очереди на восстановление.

Как правило, используются две функции распределения: F(t) — наработка до отказа; G(t) — функция распределения периода вос­ становления. Обе эти функции могут иметь экспоненциальный или произвольный закон распределения. Если принят экспонен­ циальный закон распределения, то можно пользоваться форму­ лами, вытекающими из МСП и уравнений Эрланга. При этом формулы для расчета ряда показателей надежности могут совпа­ дать с формулами, применяемыми для расчета надежности невосстанавливаемых элементов. Например, при экспоненциальном распределении F(t) и G(t) вероятность безотказной работы опре­ деляется при условии, что в начальный момент времени элемент находился в работоспособном состоянии: P(fo) = е~^. Вероятность отказа определяется по формуле F(t0) = 1 - e~Xt. Наработка до от­ каза Т = 1 /Х. Среднее время восстановления равно: Тв = 1/р.

Стационарный коэффициент готовности Кгизделия к выпол­ нению заданных функций можно определить по формуле

к т= Ц/Р.+Ц) = Т/СГ+Т') = 1/(1+а),

где параметр а применяется в формулах для расчета восстанав­ ливаемых изделий (а = X/\i). Параметр К определяет вероятность выполнения изделием своих функций вне зависимости от того, находится данное изделие в работоспособном состоянии или нет.

В свою очередь стационарный коэффициент простоя Кпрравен:

Кпр ~ 1 - K r = 1 - [х/(Х+|!) = Х/(Х + ii) = TJ(T+Тв) = а/(1+а).

Коэффициент простоя характеризует вероятность, т.е. долю времени в относительных единицах, в течение которого при t —» «>

142 4. Методы расчета показателей надежности ТС

изделие находится в ремонте. Здесь не учитывается время нахо­ ждения в очереди на обслуживание. Если законы распределе­ ния F(t) и G(t) отличаются от экспоненциальных или в случае, когда параметры потоков отказов и восстановлений являются функциями времени, применяются нестационарные коэффици­ енты готовности и простоя. Однако их использование необходи­ мо только в особых случаях.

Ресурсом считается суммарная наработка изделия, отсчитан­ ная от начала его эксплуатации или ремонта до перехода в пре­ дельное состояние. Ресурс может выражаться в единицах времени, километрах пробега, количестве циклов обработки и др.

Средний ресурс Tpc представляет собой математическое ожи­ дание ресурса для выборки из N изделий:

Грс = lT pi/N. i=i

Гамма-процентный ресурс представляет собой показатель, вы­ раженный в единицах ресурса, соответствующий проценту из­ делий у % , оказавшихся работоспособными на рассматриваемый момент. Гамма-процентный ресурс широко используется для из­ делий массового производства и транспортных средств. Так, для подшипников качения и скольжения наиболее часто применяется 90% -й ресурс. Для ответственных изделий применяют 95...99% -й ресурс.

Срок службы рассчитывается в единицах календарного вре­ мени (чаще всего в годах) от начала эксплуатации изделия или ремонта до его перехода в предельное состояние вне зависимо­ сти от того, функционировало изделие или простаивало.

Средний срок службы рассчитывается как математическое ожидание сроков службы. Гамма-процентный срок службы оп­ ределяет расчетный срок службы для установленного процента работоспособных к данному моменту изделий. Для ремонтируе­ мых (восстанавливемых) изделий используют доремонтный, меж­ ремонтный, послеремонтный и полный до вывода из эксплуатации сроки службы. Сроки сохраняемости определяются в единицах календарного времени как сумма времени транспортирования

ихранения изделия, после которого показатели надежности

ифункциональные технические показатели остаются в установ­ ленных пределах.

Кроме того, имеем вектор вероятностей нахождения в том или ином состоянии: |Рг|= |^ P2i P2i|.

Расчет проведем методом последовательных приближений (итераций, т.е. шагов). Пусть в начальный момент расчета при шаге процесса, равном 0, элемент находится в состоянии 1, т.е. Pi = 1. Имеем первоначальный вектор:

|Р0|= |1 0 0|.

Пошаговый процесс перехода элемента из состояния в состоя­ ние можно описать в виде графа по шагам п = 0, 1, 2 (рис. 4.2). Очевидно, что после совершения первого шага при п = 1 вероят­ ности нахождения элемента в состоянии 1, 2, 3 будут соответст­ венно равны Рг = 0,5, Р2 = 0,4, Р3 = 0,1. Эту операцию можно представить в матричной форме.

Рис. 4.2. Граф пошагового перехода элемента из состояния в состояние

На втором шаге следует учитывать полученный вектор состоя­ ний |Д| и использовать ту же матрицу переходов.

Из расчетов видно, что данный дискретный процесс быстро сходится. Например, для шага 4 (п = 4) матрица состояния будет следующей:

|Д| = |0,3932 0,4444 0,1624|.

Сходимость дискретного процесса при осуществлении итера­ ций показана на рис. 4.3. Для установления предельных состояний элемента достаточно совершить 3 -4 шага. При расчетах реко­ мендуется для вектора |Pt|делать проверочный расчет:

т

1 Р ,= ь

i=1

Например, для шага 3 получим

т

]?Д =0,4+0,444+0,156 = 1. i=i

Следует иметь в виду, что в матрице переходов |/}у |сумма всех строк, так же как и сумма всех столбцов, равна 1. Таким образом, вероятности пребывания элемента на каждом шаге рассмотрен­ ного дискретного процесса зависят от матрицы переходов и веро-

*1

1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

Рис. 4.3. Вероятности пребывания элемента в состоянии 1, 2, 3 на различных шагах итерационного процесса

ятностей его пребывания в аналогичном состоянии на предыду­ щем шаге, вплоть до начала процесса, т.е. на нулевом шаге при п = 0.

Если рассмотреть процесс в общем виде, то для вычислений может быть использована следующая система уравнений:

Щп+1)=^Ц(п)г119

t=i

Р2(л +1)=£Р*(л)г|2,

т

Pn(n + l)= ^ P i(n)rin.

V . 1=1

В рассмотренном примере вероятность отказа F(tQ) = г3= 0,16, а вероятность безотказной работы P{t0) = гг + г2 = 1 - г3 = 0,84. Коэффициент готовности элемента к выполнению работы равен:

к _ А _ 0,39

0,46.

Г!+Г2 0,84

Если в системе имеется п подсистем, в каждой из которых по ktэле­ ментов, то можно воспользоваться методом пропорциональногораспре­ деления и провести расчеты по формуле

(4.3)

нальности).

Пример 4.2. Пусть вероятность безотказной работы всей системы Рс= 0,99. Система состоит из трех подсистем. В первой подсистеме со­ держатся 3 элемента, во второй — 2, в третьей — 5. Определить методом пропорционального распределения вероятности безотказной работы от­ дельных элементов подсистемы.

Решение.

Вначале находим величины весовых коэффициентов alta2y а3 каждой подсистемы, используя выражение:

Подставляя полученные значения в формулу (4.3), найдем величи­ ны вероятностей безотказной работы каждой подсистемы:

•первой: Pi(t) - (0,99)°*3 = 0,997;

•второй: P2(t) = (0,99)0’2 = 0,998;

•третьей: P3(f) = (0,99)0,5 = 0,995.

Перемножив для проверки значения трех вероятностей, получим Рс = 0,99, что соответствует исходным данным.

Если известны величины плотностей потоков отказов отдель­ ных подсистем и вероятность безотказной работы системы в це­ лом, то расчет вероятностей безотказной работы отдельных под­ систем проводится с учетом весовых коэффициентов по методу распределения требований надежности (с учетом относительной уязвимости элементов).

Пример 4.3. Система состоит из трех подсистем. Для каждой из них получены значения плотностей потока отказов: А* = 0,005; Х2 = 0,003; Х3 = 0,001. Вероятность безотказной работы самой системы Рсза период наработки Г = 200 ч должна быть не менее 0,95. Определить Plt P2tР3.

Реш ение .

Весовые коэффициенты потока отказов каждой подсистемы найдем по формуле

отдельные функции и незарезервированы, то при расчете пока­ зателей надежности такие системы с параллельными функцио­ нальными участками рассматриваются как соединенные после­ довательно. Отказы элементов последовательных систем, если они не ранжированы по значимости, рассматриваются в подав­ ляющем большинстве случаев как независимые.

Системы с ПС могут иметь как восстанавливаемые, так и невосстанавливаемые элементы. Они могут быть неконтролируе­ мыми по работоспособности, контролируемыми периодически или постоянно. Их состояние может оцениваться с помощью средств технической диагностики. В последнем случае состояние систем прогнозируется на некоторый последующий промежуток времени с определением места и вида возможного отказа. Это позволяет вывести систему из эксплуатации заблаговременно, исключая тем самым отказы с более тяжелыми последствиями, в том числе и аварийные.

Поскольку ТС в целом относятся к категории восстанавли­ ваемых, то контроль и диагностика при правильном распределе­ нии ресурсов позволяют повысить их надежность и эффектив­ ность. Следует учитывать, что системы контроля и диагностики сами по себе влияют на показатели надежности, так как количе­ ство элементов ТС увеличивается, что при независимых отказах приводит к снижению надежности. Кроме того, измерительные средства систем диагностики имеют собственные погрешности. Достоверность контроля связана с тем, что из-за погрешностей. измерения часть элементов, которые являются годными, могут быть признаны как имеющие отказы по функциональным пара­ метрам.

Практика показывает, что основным методом повышения на­ дежности систем, который нужно максимально применять, сле­ дует считать повышение надежности отдельных элементов, бло­ ков и модулей. Как правило, требуется повышение надежности элементов в сотни, тысячи раз. Кроме того, необходимо строго соблюдать эксплуатационные регламенты, ТУ и правила техни­ ческого обслуживания.

Для расчета показателей надежности, и в первую очередь веро­ ятности безотказной работы, используют свойство независимых событий и формулу (4.1), основанную на произведении вероятно­ стей независимых событий^ Если известна функция распределения