книги / Надежность и диагностика технологических систем
..pdf4.4. Система с последовательной структурой |
151 |
наработки до отказа у систем с ПС, то среднюю наработку до от каза можно вычислить по формуле
оо |
|
Т = JF(t)dt, |
(4.4) |
О |
|
где F(t) — функция распределения наработки до отказа для систе мы в целом. Данная функция представляет собой композицию законов распределения наработки до отказа элементов системы. В качестве предельных чаще всего используют следующие зако ны: экспоненциальный, Вейбулла, нормального распределения.
При экспоненциальном законе распределения потоки (плот ность) отказов суммируются:
Апс = £ * ,. |
(4.5) |
i=1 |
|
Вероятность безотказной работы системы с ПС равна: |
|
пг .. |
(4.6) |
P(t0) = Пе 0 =е~л<0. |
1=1
Средняя наработка до отказа систем с ПС находится по фор муле
r = l/A = l/2 A .i. |
(4.7) |
/ i=l |
|
Если система с ПС состоит из элементов, подверженных старе нию, то ее наработка до отказа берется по минимальному времени наработки до отказа из множества составляющих ее элементов:
Т = min{7;}. |
(4.8) |
Вероятность безотказной работы в этом случае можно опре делить по формуле
Д(*о) = * 1=1 • |
(4.9) |
Для восстанавливаемых элементов, если система при восста новлении отключается, используются формулы:
• вероятность безотказной работы
P(t0) =e-M°; |
(4.10) |
152 4. Методы расчета показателей надежности ТС
• |
наработка на отказ |
|
|
|
|
|
Т = 1/Л; |
(4.11) |
|||
• |
среднее время восстановления |
|
|||
|
/л £тХ (/И 1 = |
/ |
1 |
т / |
а, = 1 .,/й - |
|
i=l |
/ |
|
£=1 |
|
Широко распространенным показателем является стационар ный коэффициент оперативной готовности, характеризующий вероятность нахождения ТС в работоспособном состоянии при t оо и определяемый по формуле
J T „ « l / f l + i a A |
(4.12) |
Стационарный коэффициент простоя системы равен:
К „ = 1 - К 0.г. |
(4.13) |
Пример 4.4. Система с ПС состоит из трех элементов, имеющих веро ятности безотказной работы для времени t соответственно Pj(£) = 0,999, P2(t) = 0,995, Р3(0 = 0,98. Определить вероятность безотказной работы системы.
Решение .
По формуле (4.1) находим:
P(t)= Пр£(0=0,999 •0,995 •0,98=0,974. i=l
Вероятность безотказной работы системы, состоящей из последова тельно соединенных элементов, резко снижается.
Пример 4.5. ТС состоит из четырех последовательно соединенных модулей. Наработка на отказ каждого модуля составляет Т\ = 500, Т2 = 1000, Т3 = 1200 иТ 4 = 1500 ч. Определить наработку на отказ всей ТС в целом.
Р еш ение .
Находим плотности потока отказов: А* = 1/500=0,002;
Хг =1/1000=0,001;
Хз= 1/1200=0,00083; Х4 = 1/1500=0,00067.
154 |
4. Методы расчета показателей надежности ТС |
При промежуточном режиме элементы включены, но не задей ствованы в процессы функционирования ТС.
В схемах с параллельным резервированием вероятность на ступления отказов Fi следует рассматривать как независимые события (см. рис. 3.11, б). Тогда вероятность одновременных от казов основного и резервных элементов равна:
^ = |
= |
(4.14) |
|
i=i |
i=i |
Вероятность безотказной работы системы
Р = 1 - Р = 1 - П а - ^ ) « |
(4.15) |
Ы1
Пример 4.7. Пусть введено 4-кратное резервирование элемента с ве роятностями отказа Рг= Р2 = Ра= Р4 = 0,9. Определить вероятность без отказной работы зарезервированного элемента.
Решение.
На основании формулы (4.14) вероятность наступления отказов всего комплекса элементов равна:
F =f [ ( l - Р/)=(1-0,9)4 =0Д4 =0,0001.
Сучетом формулы (4.15) вероятность безотказной работы элемента
срезервированием равна:
Р=(1 -Р )= 1 -0,0001 =0,9999.
Итак, за счет резервирования надежность повысилась в 1000 раз.
Следует учитывать, что отказы могут быть двух видов:
1)Ai — отказ функционирования (с вероятностью FAl);
2)Bi — отказ типа *ложное срабатывание» (с вероятностью
**)■ Для парирования обоих типов отказов применяется так назы
ваемая мажоритарная схема, приведенная на рис. 3.12. Пусть каждый элемент представляет собой контактное устройство с од ним электромагнитом и двумя парами токопроводящих контак тов Щ и Д 2. В свою очередь каждый контакт имеет следующие параметры:
•Pt — вероятность безотказной работы;
•Ft — вероятность отказа в виде несрабатывания контакта при подаче сигнала управления;
4.5. Система со структурной избыточностью |
155 |
• qt — вероятность отказа функционирования в виде ложного срабатывания контакта при отсутствии управляющего сигнала.
Таким образом, для одного контакта имеем полную группу событий:
Pi+Fi+qi = 1.
Рассмотрим одну из трех параллельных ветвей зарезервиро ванного элемента (например, верхнюю, состоящую из пары кон тактов реле Ri и R2). Полная группа событий для двух контактов представляет произведение:
(Pi+Fi +q1)(P2 +FZ +q2) = l2 = 1.
После перемножения сомножителей левой части равенства получим
Р\Р2+P\F2+Pxq2 +FXP2 +FXF2 +Fxq2 +qxP2 +qxF2 +qxq2= 1.
Можно сгруппировать следующие локальные произведения:
• Р* = РХР2— вероятность безотказной работы; |
(4.16) |
• F* = FXPZ+ P\F2+ FXF2+ qxF2+ Ftq2— вероятность |
|
отказа функционирования; |
(4.17) |
• q* = qxP2+ Pxq2+ qxq2(вероятность ложного |
|
срабатывания). |
(4.18) |
Если элементы однотипны (т.е. Рх = Р2 = Р, Fx - F 2- F, qx =
= q2 = q), то формулы (4.16)-(4.18) примут вид: |
|
Р * = Р 2; |
(4.19) |
F* = 2PF+F2+2Fq; |
(4.20) |
q* = 2qP+q2. |
(4.21) |
Тогда вероятность безотказной работы для трех каналов, ра ботающих по схеме «два из трех» одновременно, равна:
# 3 = 1 “ П(1-3*)- |
(4.22) |
4=1
Допустим, что показатели Ptу всех элементов одинаковы, то гда (опуская индекс 0» получим
(4.23)
156 |
4. Методы расчета показателей надежности ТС |
Очевидно, что 1 - Р* = F* + д*. Тогда для трех параллельных каналов получим совокупность:
(F* + д У = F*3 + 3 F * V +3F*q*2 +q*3.
При этом вероятность отказа функционирования
F l з = F*2 +3F*2q* +3F*q*2. |
(4.24) |
Вероятность ложного срабатывания
Пример 4.8. Пусть для некоторого времени t0вероятность безотказной работы элемента трехканальной мажоритарной системы, соединенной по схеме «два из трех*, составляет Р = 0,95, вероятность отказа функ ционирования F = 0,03, а вероятность ложного срабатывания g = 0,02. Определить величины Р*, Р*, q для мажоритарной системы в целом.
Решение.
По формулам (4.19)-(4.21) для одного канала из двух элементов по лучим:
Р*=Р2=0,952 =0,9025;
F* =2РР=+Р2 +2Рд=2 0,95 0,03+0,032 +2 0,03 0,02=0,0591;
q* =2 0,095 0,02+0,022 =0,0384.
Делаем проверку: 0,9025 + 0,0591 + 0,0384 = 1. Расчет правильный. Для трехканальной системы по формулам (4.22)-(4.24) получим:
=1 --(1-0,9025)? =0,999073;
=0,05913 +3 0,05912-0,384+3*0,0591-0,03842 =0,00087;
<&tz=0,03843 =0,000057.
Проверка: 0,999073 + 0,00087 + 0,000057 = 1.
Таким образом, применение мажоритарной системы позволяет при относительно ненадежных элементах получать достаточно высокую ве роятность безотказной работы системы:
Р*3 =0,999073; Р2% =0,00087; д2*3=0,000057.
При общем резервировании системы вероятность появления отказа у одноканальной системы при наличии в ней т элементов:.
т
F u = i - п а - 1=1
4.5. Система со структурной избыточностью |
157 |
Тогда вероятность появления отказа у многоканальной систе мы с п каналами при общем резервировании
N
|
) |
|
Вероятность безотказной работы |
|
|
Л |
т |
л |
^ = 1 - 4 8= 1 - П 1 - П ^ |
) |
|
;=IV |
i=i |
|
При параллельном резервировании по теореме умножения вероятностей вероятность появления отказов для п запаралле ленных участков
3> = П Я - i=l
Тогда вероятность безотказной работы запараллеленного уча стка
Pp = l - F p = l - f [ F i. i=l
Вероятность безотказной работы системы в целом при т за параллеленных участков (элементов)
Вероятность появления отказов и вероятность безотказной работы системы с комбинированным резервирование определя ются по принципам расчета сложных электрических цепей, ко гда отдельные участки цепи, имеющие разветвленную структу ру, заменяются эквивалентными элементами. В каждом экви валентном элементе должно содержаться несколько однотипно соединенных по схеме обеспечения надежности элементов более низкого порядка. Тогда их расчет не представляет сложности.
160 |
4. Методы расчета показателей надежности ТС |
точностью процессы функционирования ТС. В процессе модели рования осуществляются многократные случайные реализации состояния составляющих модулей и элементов ТС во времени с некоторой дискретностью в течение заданных периодов функ ционирования, например в течение многих смен. При этом не прерывно накапливаются данные о состоянии элементов ТС и лимитирующих параметрах (точности, надежности, произво дительности). После окончания заданного числа циклов моде лирования накопленные данные подвергаются статистической обработке. Показателем окончания моделирования может слу жить достигнутая точность моделирования, когда увеличение числа реализаций с п до п + Ап не приводит к существенному по вышению точности расчетов. При этом после каждого цикла имитационного моделирования осуществляется проверка нера венства
— |^in ^dn+An j/^i л+Дл |
(4.25) |
где — заданная точность моделирования параметра xt\п = 1,2,
...,/п — целые числа-реализации исследуемого процесса; Ап — некоторый фиксированный целочисленный промежуток реали заций.
Статистическое моделирование основано на использовании специальных подпрограмм — генераторов случайных или регу лярных чисел, которые после некоторого преобразования исполь зуются при расчетах для имитации параметров потоков отказов, восстановления, совершения системой определенных логических функций.
Основой подпрограмм — генераторов случайных чисел явля ется подпрограмма, вырабатывающая случайные числа, равно мерно распределенные на отрезке [0 ,1]. Обычно для этих целей используются последовательности сол в виде цифрового кода:
(0Л= 2 £Л1 + 2 6Л2 + ... + £л/л,
где £л1, £л2, блт — двоичные разряды случайного числа. Вели чины разрядов £л1, ел2, ..., £птявляются практически независи мыми и могут принимать значения только 0 или 1 с вероятностя ми 0,5. Подпрограммы генерации случайных чисел в диапазоне [0, 1] имеются в каждом машинном языке высокого уровня.