книги / Надежность и диагностика технологических систем

После логарифмирования получим выражение lg * i = lg&x + x2lgb2+...+ xplgbp.

Сделав замену переменных (X i = lg#i, Bj = \gbu B2= lgb2,...,

Пример 3.9. Экспериментальные данные износа резца на задней по­ верхности х г за период времени t в зависимости от скорости резания и подачи выровнять по методу наименьших квадратов.

Р е ш е н и е .

Величина износа резца по задней поверхности для одного сечения случайной функции при фиксированном промежутке времени выража­ ется формулой

где V — скорость резания, м/мин; S — подача, м м /об.

После логарифмирования получим уравнение

где X i = lg xii Bi = 1gbt; X 2 = lgV; X 3 = lgS.

Экспериментальные данные и результаты расчетов приведены в табл. 3.3. Вычисляем основные характеристики для решения уравне­ ния (3.54).

Математические ожидания:

тХу = -5,36/8= -0,67;

тХг =14,07/8=1,759;

тх з = -6,07/8= -0,759 .

Дисперсии:

DXx = 3 ,9 5 /8 -0 ,672 =0,045;

DXi =24,78/8-1,759й =0,05;

DXz =4,90/8-(0,759)? =0,04.

Средние квадратические отклонения:

aXi =V ^045=0,21;

<5Хг = V0,05 =0,223;

сгхз = V0,04 =0,2.

124 3. Математические основы теории надежности

после отказа может быть два новых состояния: ожидание восста­ новления (нахождение в очереди на восстановление, если ресурсы восстановления в данный момент заняты), состояние восстановле­ ния при свободных в данный момент ресурсах восстановления.

На практике термин ♦восстановление» можно понимать как ремонт, т.е. замену отказавших элементов изделий или переклю­ чение на резервное звено.

Как правило, ТС выключаются для проведения наладок тех­ нологической оснастки и регламентного обслуживания. Затраты на подготовительно-заключительные операции также можно от­ нести к процессам восстановления, на которые необходимо затра­ чивать то или иное расчетное (технически обоснованное) время.

Существует большой класс задач в теории вероятностей, кото­ рые относятся к разделу, получившему название теории массо­ вого обслуживания (ТМО). Используя математические методы или математическое имитационное моделирование, можно дос­ таточно точно заранее определить (оценить) состояние ТС.

Когда отказы и процессы восстановления носят случайный характер и подчиняются экспоненциальным законам, то исполь­ зуются конечные формулы (при некоторых допущениях). В этих случаях данные процессы носят название марковских случай­ ных процессов (МСП) по имени русского математика А .А . Мар­ кова (1856-1922).

Основным свойством МСП является отсутствие последейст­ вия, когда состояние, в котором пребывает элемент или система, не зависит от того, каким образом последняя перешла в текущее состояние. Кроме того, потоки отказов считаются достаточно редкими, когда в относительно малый промежуток времени ве­ роятность наступления двух и более отказов чрезвычайно мала. Считается также, что время, затрачиваемое на устранение отка­ зов (реализацию заявок на обслуживание ТС, т.е. восстановле­ ние), распределяется по экспоненциальному закону с плотностью

При этом математическое ожидание тгцЛ и дисперсия време­ ни обслуживания Dto6 равны: тгц^ = l/p; Dto6 = о2 = l/й 2-

Рассмотрим пример, когда система имеет два элемента. Она может находиться в следующих состояниях с вероятностями:

•Рц — система находится в работоспособном состоянии;

•Р22 — неисправным является первый элемент (система на­ ходится в неработоспособном состоянии);

•Р 33— неисправным является второй элемент (система нахо­ дится в неработоспособном состоянии).

Схема переходов системы из состояния в состояние содержит

итакие переходы, когда за достаточно малый промежуток вре­ мени состояние системы не изменилось (рис. 3.21). Например, при обработке деталей на ГПМ возможны следующие ситуации:

•х0— ГПМ свободен;

•хх— ГПМ занят и деталь становится в очередь на обслужи­ вание в пристеночном накопителе с емкостью в одно место;

•х2 — место пристаночного накопителя заполнено и деталь получает отказ в приеме на ГПМ, при этом предыдущий по техно­ логической схеме ГПМ может быть остановлен. Подобная схема может быть применена и для системы с п элементами.

Рис. 3.21. Возможные состояния при обработке детали на ГПМ с одним местом в пристаночном накопителе

Наиболее простым случаем следует считать схему элемента

стг-канальным резервированием из восстанавливаемых элементов

спараметрами потока отказов Xи восстановления р (рис. 3 .2 2 ).

При этом имеется п + 1 состояний системы:

•0 — все элементы работоспособны;

•1 — неработоспособным является один элемент, который

вданный момент времени восстанавливается (система работо­ способна);

л-1

Рис. 3.22. Состояния системы с п однотипными параллельно зарезервированными элементами

•k — отказало k элементов, которые в данный момент време­ ни восстанавливаются (система работоспособна);

•п — отказали все п элементов, которые восстанавливаются, но система в данный момент времени неработоспособна.

Втеории МСП данная задача сводится к обслуживанию сис­ темы с п каналами при ограничении по плотности потока вос­ становления, т.е. в нашем случае неработоспособное состояние системы эквивалентно такому состоянию системы массового обслуживания (СМО), когда ресурсы потока восстановления ис­ черпаны к данному моменту времени, т.е. все элементы системы отказали и находятся в стадии восстановления

Имеются вероятности нахождения системы в каждом из со­

стояний: Р0(£), Pl(t),P2(t)i •••> —» Pn{ty Вероятность P0(t) отно­ сится к состоянию системы при отсутствии отказов, а вероятность Pn(t) — к состоянию, когда она будет неработоспособной. В со­ стоянии 0, соответствующем вероятности P0(t), за время от t до t + At возможны два случая:

•0 1 — когда все элементы системы были работоспособными,

иза время At не произошло ни одного отказа;

•0 2 — когда за время t в системе был один отказ, но за про­

межуток At этот отказ был устранен.

На основании теоремы о сложении вероятностей двух несо­

Событие 01, учитывая, чтое- ** ~1—Xt, есть произведение ве­ роятностей независимых событий:

Вероятность второго события, когда 1 - е “й* « 1 - 1 + pi = |ji, равна:

■Рог(0 ~ P\{t)\iAt.

Тогда с учетом формул (3.55) и (3.56) получим

P0(t+At) = P0(f) (1 - XAt)+P&) \iAt.

После преобразования получим выражение

которое при At —>0 будет равно:

dP0(t)/dt = -XPQ(t) +Pi(t)|х.

Для произвольного состояния k (т.е. при отказе k элементов) вероятность нахождения в этом состоянии Pft(£) равна сумме ве­ роятностей трех событий:

•kx— когда система, находящаяся в состоянии fe, не измени­ ла своего положения, т.е. ни один новый отказ не поступил и ни один отказ не был устранен (обслужен);

•k2 — когда система, находящаяся в состоянии k - 1, полу­ чила еще один отказ и перешла в состояние k;

•k3 — когда в системе, находящейся в состоянии k + 1, был устранен ровно один отказ и она перешла в состояние k.

По аналогии с предыдущим случаем и формулой (3.55) мож­ но записать:

Для состояния kx вероятность события, заключающегося в отсутствии новых отказов и отсутствии устранения какого-ни­

Если не учитывать бесконечно малые величины более перво­

где Pnj = Pa^i(t)\At — вероятность того, что система, находящая­ ся в состоянии л - 1 , получила отказ и перешла в состояние п;

РП2= Рп(£)(1-прЛ£) — вероятность того, что в системе, находящей­ ся в состоянии л, не было устранено ни одного из п имеющихся отказов.

Переходя к дифференциальному уравнению, получим

dPn(t)/dt —Рп_х(0X—7i\iPn(£).

Витоге получена система дифференциальных уравнений:

'dP0(t)/dt = -XtP0{t)+ Р&)\1,

dPn(t)/dt = P„_i(t)X-n|xPn(t).

Полученная система носит название системы из уравнений Эрланга при начальных условиях P0(t) = 1, P\(t) = 0 ,..., Pn(t) = О.

Вероятность нахождения системы в неработоспособном состоя­ нии равна Pn(t), а вероятность безотказной работы P(t) = 1 - Pn(t).

Очевидно, что при достаточно большой величине t вероятности состояний системы приблизятся к своим математическим ожида­ ниям и изменяться практически не будут. В целом ряде случаев такое условие как раз и является целью расчета, когда необхо­ димо получить статистически устойчивые данные. При этом ле­ вые части системы (3.66) примут значения, равные нулю. Тогда будет получена система обыкновенных линейных уравнений из п членов с п + 1 неизвестными, к которым необходимо добавить равенство

P Q +J\ + . . . + Pjt + . . . + Р п =1 .

Витоге получим систему уравнений:

-XtPQ(t)+ li(£)ji = О,

Pft-i(t)X—Fk(t)(X+ \ik)+ Д+i(k+1)ц = О,

(3.67)

Pn-i(t)X- n\LPn(t) = О,

k.Po +-Pi + ... +i^ + ... +Pn = 1*

Решениями данной системы уравнений, если ввести соотно­ шение а = Х/\х,, являются формулы Эрланга:

ak/kl

1 + а + а2/2! + а?/3! + ..-.+апfn!

При k = 1 вероятность Рг= а/(1 + а). В общем случае вероят­ ность отказа системы при n = k равна Pki а вероятность безотказ­ ной работы P(t) = 1 - Рп.

Пример 3.10. Определить вероятности состояний ТС, состоящей из трех (п = 3) технологических модулей, при плотности потока отказов на каждый модуль X = 0,01 [1/сут] и плотности потока восстановлений ц = 0,05 [1/сут].

Р е ш е н и е .

Находим коэффициент а, используя выражение

a = X/\i = 0,01/0,05 = 0,2.

Сучетом формулы Эрланга (3.65) найдем значения вероятностей:

Р0= 1 /(1 /1 + 0,2 /1 + 0,22/2 ! + 0,23/3!) = 1 / 1,22133 = 0,8188 (вероят­ ность нахождения всех модулей в работоспособном состоянии);

P i = 0 ,2 / 1,22133 = 0,1638;

Р 2 = (0,22/2 ) /1 ,22133 = 0,0165; Рз = (0,23/6 ) /1 ,22133 = 0,0011.

Вероятность того, что хотя бы один из модулей будет работоспособ­ ным, равна:

рБ= р3= 1 - 0,0011 = 0,9989.

Для реального производства это очень высокая вероятность безотказ­ ной работы.

Проверка: Р=Ро +Р\ +Р2 +Р3 =0,8188+0,1638+0,0165+0,0011 = 1.

Отметим, что в рассмотренном предельном случае вероятно­ сти состояний не зависят от времени эксплуатации системы. Ес­ ли бы .не было процесса восстановления, то вероятности отказа каждого элемента возрастали бы пропорционально времени экс­ плуатации модулей.

Пример 3.11. Определить, как изменяется во времени вероятность без­ отказной работы РБ технологической системы от времени без процессов восстановления для ТС, приведенной в примере 3.10, при X=0,1 [1/сут].