книги / Надежность и диагностика технологических систем

Широкое применение при имитационном моделировании на­ шел закон нормального распределения Гаусса. Подпрограмма генерации случайных чисел, распределенных по данному зако­ ну, основана на предельной теореме Муавра — Лапласа теории вероятностей. Согласно этой теореме, при имитации нескольких независимых испытаний случайной величины для любых про­ извольных законов ее распределения нормированные уклонения от среднего значения подчиняются закону Гаусса. Это практиче­ ски означает, что если статистически обработать последователь­ ность из шести случайных чисел, равномерно распределенных на отрезке, то в силу упомянутой предельной теоремы полученная последовательность будет подчиняться закону Гаусса с доста­ точно высокой точностью. Подпрограмма генерации нормально распределенных случайных чисел, подчиняющихся закону Га­ усса, имеется в целом ряде алгоритмических языков, где число обращений к первичному генератору равномерно распределен­ ных случайных чисел равно 12.

После получения,случайных чисел ^ того или иного вида рас­ пределения для получения истинных значений параметра X h который используется непосредственно при моделировании, случайные числа умножают на соответствующий масштаб Miy

т.е. Xi = Mfci.

Обобщенный алгоритм статистического имитационного моде­ лирования системы массового обслуживания (сложной ТС) при­ веден на рис. 4.4. В алгоритме формируются два цикла. Во внут­ реннем цикле имитируются периоды времени, характерные для производственных систем, например продолжительность смены, рабочего дня или суток Ткс шагом At. На каждом шаге по времени опрашиваются состояния всех без исключения элементов систе­ мы. Проверяется наличие поступления отказа, если ранее данный элемент был работоспособным, или окончание времени обслу­ живания, если ранее он подвергался восстановлению. Когда мо­ делирование ведется со счетчиком изготовляемых изделий, то выполняется проверка окончания времени выполнения опера­ ции по изготовлению изделия на данном ТМ.

Внешний цикл моделирования определяет количество стати­ стических испытаний по времени [О, Тк]. Количество испыта­ ний L может быть задано в исходных данных программы. Как правило, минимальное количество L > 25. Обычно оно составляет несколько сот или тысяч испытаний. Можно использовать для

задания количества циклов статистических испытаний и расчет приведенной погрешности статистических испытаний ^ по всем или некоторым характерным параметрам. Обычно для анализа точности используют величину дисперсии математического ожи­ дания имитируемого параметра или достигаемую относительную точность по формуле (4.25). Как только разница дисперсий или относительная точность испытаний становится меньше некото­ рого установленного в исходных данных числа ^ после заверше­ ния очередного временного цикла, статистическое моделирование прекращается. По окончании моделирования производится рас­ чет общих статистических характеристик показателей надеж­ ности, обслуживания, производительности и др.

Генерация по времени случайных параметров потоков отказов и восстановлений может производиться двумя способами: поша­ говая генерация; генерация на отрезке [О, Тк] по схеме испытаний Бернулли.

Пошаговая генерация (например, времени между отказами) применяется, если имеется возможность установления матема­ тически однозначной взаимосвязи между случайным числом равномерно распределенным на отрезке [0, 1], и соответствую­ щим этому числу параметром времени t§. Допустим, что мы име­ ем соотношение для экспоненциального закона 4 = или ^- 1 = - е ~*г, откуда время между соседними событиями находится как ц = -1Д1п(1-£). Время обслуживания отказа (восстановления отказавшего элемента ТС), если оно распределено по экспонен­ циальному закону, находится точно так же. Подобные формулы можно вывести для любой функции распределения, если ее об­ ратное преобразование возможно.

Пусть, например, имеется специальная подпрограмма генера­ ции случайных чисел по тому или иному закону на отрезке [0,1], тогда полученное с помощью такой подпрограммы случайное число можно преобразовать с использованием масштаба до нужной ве­ личины следующим образом:

где — время наступления или продолжительности события, масштабированное в параметры времени моделирования; Мв — масштаб соответствия между полученной реализацией числа

иверхнего значения временного отрезка (длительности смены),

впределах которого ведется имитационное моделирование; £г— случайное число, сгенерированное на отрезке [0, 1].

промежутках времени моделирования с перерывами (смена, су­ тки и т.п.) пошаговая генерация дает существенные искажения при имитации процессов производства. Дело в том, что закон редких событий Пуассона и получаемый на его основе экспонен­ циальный закон являются следствием более общего закона, вы­ текающего из схемы испытаний Бернулли.

Закон Пуассона, определяющий вероятность наступления k событий на отрезке t, имеет вид Pn(k) = e~Xt(Xt)k/kl при условии, что число опытов п -4 °°, пр = Xt —» а пр 0. Последнее условие определяет «редкость» событий. Однако процессы, происходящие в производственных системах, имеют высокую интенсивность. Например, стойкость инструмента определяется минутами. По­ этому гораздо правильнее на ограниченных отрезках времени моделирования производственных процессов использовать схе­ му испытаний Бернулли.

Вероятность появления k событий на отрезке [0, Тк] нахо­ дится по формуле

Pn(k) = C*Jqn- h.

При этом можно считать, чтор = ХТК, q = l-X t. Если величина р = ХТК> 1, то отрезок Тк разбивается на части Тк = рТр (где р — некоторое натуральное число).

Метод статистических испытаний Бернулли не нуждается в ограничениях по интенсивности событий, последействию, ре­ гулярности, стационарности. При реализации этого метода сразу используется весь отрезок [0, Тк]. Блок-схема алгоритма генера­ ции параметров потоков отказов и обслуживания по схеме испы­ таний Бернулли приведена на рис. 4.5. На этой схеме использу­ ются следующие обозначения:

/ — счетчик элементов системы;

k — общее количество элементов системы;

I — счетчик количества отказов (заявок на обслуживание); L — расчетное случайно сгенерированное количество отказов

на отрезке [0, Тк] для ;-го элемента системы;

GAU3S — подпрограмма генерации случайных чисел, распре­ деленных по нормальному закону;

RANDU — подпрограмма генерации случайных чисел, рав­ номерно распределенных на отрезке [0, 1].

166 4. Методы расчета показателей надежности ТС

При использовании схемы Бернулли перед началом каждого цикла моделирования внутри отрезка [О, !ГК] генерируется весь массив потоков отказов и обслуживания отдельно для каждого элемента системы. С этой целью в алгоритме сформировано два цикла: внутренний цикл формирования параметров отказов и об­ служивания для одного элемента системы и внешний цикл, опре­ деляющий переход к следующему элементу. С целью упрощения алгоритма реализации делается допущение о том, что количество заявок на обслуживание для одного элемента на отрезке [О, Тк] распределено по закону Гаусса с математическим ожиданием ML и средним квадратическим отклонением cL. Полученное после обращения к подпрограмме GAUSS число округляется до цело­ го L, определяющего количество заявок на обслуживание в ин­ тервале [0, Тк].

Время поступления заявки на обслуживание (отказа) опреде­ ляется по схеме испытаний Бернулли. При этом случайное чис­ ло равномерно распределенное на отрезке [О, Тк], умножается на масштаб М г. Время восстановления (продолжительности об­ служивания) определяется по экспоненциальному закону или по закону Вейбулла. Кроме того, могут быть сгенерированы де­ терминированные потоки заявок, например плановые замены и поднастройки инструмента или процедуры планово-предупре­ дительного ремонта.

После генерации потоков на обслуживание (отказов) на от­ резке [О, Тк] — при использовании схемы испытаний Бернулли обязательно должна быть произведена сортировка по возраста­ нию времени начала их реализации. После сортировки парамет­ ры потоков отказов и восстановления направляются в алгоритм моделирования и функционирования ТС.

Довольно часто плотность потока отказов на отрезке [О, Тк] величина существенно переменная (рис. 4.6). Любое случайное, равномерно распределенное на отрезке [0 ,1 ] число ^ можно лег­ ко преобразовать в другое число, которое имеет произвольное распределение с плотностью вероятности X = /(£), если восполь­ зоваться интегральным соотношением

Ч

M £ = jf(t)d t,

о

где — время, соответствующее числу %для функции f{t).

Тогда вероятность появления события на отрезке [0, *] равна:

к

p(t) = ) X(t)dt = J а0/2 + YXansinni +Ьпcosnt) dt =

о OL л=1

1 А

= a0t/2+ — £ ( - а л cosnt+bnsin7it)]dt. (4.27) » n=i

Для вычисления времени наступления отказа (начала реали­ зации заявки на обслуживание), поскольку полученное уравне­ ние является трансцедентным, целесообразнее воспользоваться численным методом, т.е вычислять с достаточно малым шагом At правую часть уравнения (4.27), пока не будет с изначально установленной точностью выполнено равенство

п л=1

Время t, при котором выполняется равенство (4.28), будет соответствовать времени наступления отказа или како­ го-либо иного события, например окон­ чания обработки заготовки на ТМ. Схе­ ма наступления детерминированных (заранее запланированных) событий Lp представлена на рис. 4.7.

Потоки событий, полученных раз­ ными способами (случайными, полуслучайными, детерминированными), обра­

зуют так называемые дискретные смеси распределений. Послед­ ние после окончания их генерации и смешивания на отрезке [О, Тк] в процессе статистического имитационного моделирования ТС по схеме испытаний Бернулли сортируются по возрастанию вре­ мени начала их реализации.

Таким образом, при относительно небольших плотностях пото­ ка заявок допустимо использовать пошаговую во времени генера­ цию заявок на обслуживание с использованием экспоненциаль­ ного закона распределения. Для более точного моделирования при произвольных потоках заявок и конечной величине отрезка [О, Тк] наиболее целесообразна схема испытаний Бернулли. В этом

случае можно учесть практически все вероятные производствен­ ные ситуации.

В процессе собственно моделирования функционирования ТС организуется цикл опроса состояний сложной системы с шагом АТ. На рис. 4.8 приведена блок-схема алгоритма имитации отказов, восстановления и функционирования ТМ. В алгоритме приняты следующие обозначения состояний ТМ и их параметров:

Рг= 0 — работоспособное состояние ТМ; Рг = 1 — неработоспособное состояние ТМ; Тв — время восстановления отказа;

tB— время, оставшееся до окончания восстановления отказа; / — количество отказов (текущее); Тт— текущее время;

Тизг — время на выполнение технологической операции по изготовлению детали;

у — индекс (номер) деталей в порядке их изготовления; *изг — время, оставшееся до окончания технологической опе­

рации;

D — количество изготовленных деталей;

*раб — время нахождения ТМ в работоспособном состоянии; fnp — время простоя, т.е. нахождения ТМ в неработоспособ­ ном состоянии при осуществлении восстановления или ремонта;

Z — количество циклов статистических испытаний;

k — текущий номер цикла статистических испытаний;

Тк— величина отрезка времени, в течение которого осущест­ вляется моделирование;

*от — календарное время наступления текущего отказа ТМ. Предполагается, что посредством обращения к соответствую­

щим генераторам случайных чисел (блок 1) установлены масси­ вы (множества) следующих случайных величин:

{Тjjgp j} — время изготовления у-й детали; {*от /} — время наступления /-го отказа; {Тв1) — время восстановления /-го отказа.

В блоке 2 индексам /г, /, у и вспомогательным переменным D, *пр> *раб присваиваются начальные значения. На каждом шаге моделирования по времени сначала устанавливается состояние ТМ (логический блок 5), в котором запрашивается состояние моде­ лируемого модуля Pr = 1. Если Pr = 1, то моделируется процесс восстановления. Если (Рг= 0) < 1, то запрашивается следующий